У математиці ознака Абеля також відома як критерій Абеля є методом тестування збіжності нескінченного ряду Ознака назван

У математиці ознака Абеля (також відома як критерій Абеля) є методом тестування збіжності нескінченного ряду. Ознака названа на честь математика Нільса Генріка Абеля. Існує дві трохи різні версії ознаки Абеля — одна використовується для рядів дійсних чисел, а інша — для степеневих рядів у комплексному аналізі. Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій, що залежать від параметрів.

Ознака Абеля збіжності числових рядів

Нехай виконуються такі умови:

$\sum b_{n}$ — збіжний ряд,
$\{a_{n}\}$ — монотонна послідовність,
$\{a_{n}\}$ — обмежена, тобто $|a_{n}|\leqslant K,$ для деякого $K>0$ і всіх натуральних $n.$

Тоді ряд $\sum a_{n}b_{n}$ також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду $\sum b_{n}$ . Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Доведення

Теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумування частинами).

Згідно критерію Коші збіжності числових рядів достатньо довести, що для довільного $\varepsilon >0$ існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівність ${\textstyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+m}a_{k}b_{k}\right|<\varepsilon .}$

Нехай $\varepsilon >0$ — довільне додатне число. Оскільки ряд $b_{n}$ є збіжним, то згідно ознаки Коші існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівності:

\left|\sum _{k=n+1}^{n+m}b_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{3K}}.

Якщо у цьому випадку позначити ${\textstyle B_{i}=\sum _{k=n+1}^{n+i}b_{k}}$ то ${\textstyle \max B_{i}<{\frac {\varepsilon }{3K}}}$ і можна застосувати нерівність із статті Дискретне перетворення Абеля:

{\bigg |}\sum _{k=1}^{m}a_{k+n}b_{k+n}{\bigg |}\leqslant (|a_{n+1}|+2|a_{n+m}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,m}|B_{k}|<3K{\frac {\varepsilon }{3K}}=\varepsilon .

Таким чином для $\varepsilon >0$ ряд $\sum a_{n}b_{n}$ задовольняє умову Коші для числа $N$ . Таким чином згідно критерію Коші ряд $\sum a_{n}b_{n}$ є збіжним.

Ознака Абеля в комплексному аналізі

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел $(a_{n})$ монотонно спадає (або принаймні для всіх $n$ , більших за деяке натуральне число $m$ , маємо $a_{n}\geq a_{n+1}$ ), причому

\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,

тоді степеневий ряд

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли $z=1$ . Ознаку Абеля не можна застосовувати для $z=1$ , тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності $R\neq 1$ за допомогою простої заміни змінних $\zeta =z/R$ . Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти $z=-1$ .

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка $z$ належить одиничному колу, $z\neq 1$ . Для кожного значення $n\geq 1$ визначимо

f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.

Помноживши цю функцію на $(1-z)$ , отримаємо

{\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}=\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність $\{a_{n}\}$ збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

\sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k}),

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність $\{a_{n}\}$ — спадна.

Звідси, послідовність $\{(1-z)f_{n}(z)\}$ збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо $z\neq 1$ , то можна поділити на $(1-z)$ і отримуємо результат.

Ознаки рівномірної збіжності Абеля

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай $\{g_{n}\}$ рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині $E$ така, що $g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)$ для всіх $x\in E$ та натуральних чисел $n$ , і нехай $\{f_{n}\}$ — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд $\sum f_{n}(x)$ рівномірно збігається на $E$ . Тоді ряд $\sum f_{n}(x)g_{n}(x)$ рівномірно збігається на $E$ .

Ознака Абеля збіжності невласних інтегралів

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції $\ f(x)$ і $\ g(x)$ визначені на проміжку $\ [a,\infty )$ . Тоді невласний інтеграл $\ \int _{a}^{\infty }{f(x)g(x)}\mathrm {d} x$ є збіжним, якщо виконуються такі умови:

Функція $\ f(x)$ є інтегровна на $\ [a,\infty )$ .
Функція $\ g(x)$ обмежена і монотонна.

Див. також

Примітки

(Moretti, 1964, p. 91)

Література

Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN
Weisstein, Eric W. Abel's uniform convergence test(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] (Moretti, 1964, p. 91)