Рівномірна обмеженість

В математиці, обмеженими функціями є функції для яких існує нижня межа та верхня межа, іншими словами, константа, що є більшою ніж абсолютна величина будь-якого значення цієї функції. Для довільної послідовності обмежених функцій, ця константа може дуже різнитися. Якщо існує константа, що обмежує всі функції цієї послідовності, то така послідовність функцій називається рівномірно обмеженою.

Означення

Випадок дійснозначних та комплекснозначних функцій

Нехай

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

деяка послідовність функцій, де ${\displaystyle I}$ — деяка множина індексів, ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle K}$ — множина дійсних чи комплексних чисел. Послідовність ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Метричний та нормований простори

• Нехай ${\displaystyle Y}$ — метричний простір з метрикою ${\displaystyle d}$. Тоді множина відображень

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

називається рівномірно обмеженою, якщо існує елемент ${\displaystyle a}$ з ${\displaystyle Y}$ і дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

• Нехай тепер ${\displaystyle Y}$ — нормований простір з нормою ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Тоді множина відображень ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle \|f_{i}(x)\|\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Приклади

• Кожна рівномірно збіжна послідовність обмежених функцій рівномірно обмежена.

• Послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx\,}$ визначена для всіх дійсних ${\displaystyle x}$, де ${\displaystyle n}$ приймає значення на множині цілих чисел, буде рівномірно обмежена одиницею.

• Послідовність похідних наведеденої вище послідовності ${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$ не є рівномірно обмеженою. Кожна з функцій ${\displaystyle f'_{n}\,}$ обмежена величиною ${\displaystyle |n|,\,}$ але не існує дійсного числа ${\displaystyle M}$ такого, що ${\displaystyle |n|\leqslant M}$ для всіх цілих ${\displaystyle n.}$

Див. також

• Інфімум
• Супремум

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)

• Кадец В. М. Курс функционального анализа. — Харьков : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с.