Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

У математиці діофантова геометрія дослідження діофантових рівнянь за допомогою потужних методів алгебричної геометрії У

Діофантова геометрія

Діофантова геометрія

У математиці діофантова геометрія — дослідження діофантових рівнянь за допомогою потужних методів алгебричної геометрії. У XX столітті окремі математики зрозуміли, що методи алгебричної геометрії - ідеальний засіб для вивчення цих рівнянь. Діофантова геометрія є частиною ширшої галузі арифметичної геометрії .

Чотири теореми діофантової геометрії, які мають фундаментальне значення:

Підґрунтя

1962 року Серж Ленг опублікував книгу «Діофантова геометрія» (англ. Diophantine Geometry) в якій і ввів термін «діофантова геометрія». Матеріал щодо діофантових рівнянь традиційно викладали за степенем і кількістю змінних, як у «Діофантових рівняннях» [en] (1969). Книга Морделла починається із зауваження щодо однорідних рівнянь f = 0 над раціональним полем, яке приписують К. Ф. Гауссу, що ненульові розв’язки в цілих числах (як і прості точки решітки) існують, якщо існують ненульові раціональні розв’язки, і зауважує застереження [en] стосовно параметричних розв'язків. Результат Гільберта — Гурвіца 1890 року, що зменшує діофантову геометрію кривих роду 0 до степенів 1 і 2 (конічні перетини), вміщено в розділі 17, як і гіпотезу Морделла. [en] зустрічається в розділі 28. [en] про скінченну генерацію групи на еліптичній кривій міститься в розділі 16, а цілих точок на — в розділі 26.

У критичній рецензії на книгу Ленга Морделл написав:

Останнім часом розроблено потужні нові геометричні ідеї та методи, за допомогою яких знайдено та доведено важливі нові арифметичні теореми та відповідні результати, і деякі з них нелегко довести інакше. Крім того, спостерігалася тенденція одягати старі результати, їх розширення та докази в нову геометричну мову. Іноді, однак, повне значення результатів найкраще описується в геометричній обстановці. У цій книзі Ленг дуже добре пам’ятає про ці аспекти і, здається, не втрачає можливості для геометричної презентації. Це пояснює його назву «Діофантова геометрія».

Він зазначає, що зміст книги переважно складається з версій [en], теореми Туе — Зігеля — Рота, теореми Зігеля, з трактуванням [en] та її застосувань (у стилі Зігеля). Залишаючи осторонь проблеми загальності та абсолютно різного стилю, основна математична відмінність між двома книгами полягає в тому, що Ленг використав абелеві многовиди та запропонував доведення теореми Зігеля, тоді як Морделл зазначив, що доведення «має дуже складний характер» (стор. 263).

Попри початкові погані відгуки, 2006 року концепцію Ленга прийнято досить широко, щоб назвати книгу «візійною». Ширша сфера, яку іноді називають [en], тепер включає діофантову геометрію разом із теорією полів класів, [en], локальними дзета-функціями та L-функціями. [en] написав:

Хоча одні тоді поділяли цю точку зору (наприклад, Вейль, [en], Серр), легко забути, що інші не поділяли такої точки зору, що підтверджує рецензія Морделла на «Діофантову геометрію».

Підходи

Одне рівняння визначає гіперповерхню, а система діофантових рівнянь породжує загальний алгебричний многовид V над K; типове питання стосується природи множини V(K) точок на V з координатами в K, і, за допомогою [en], можна поставити кількісні питання про «розмір» цих розв'язків, а також якісні питання про те, чи існують будь-які точки, і якщо так, чи існує їх нескінченна кількість. Враховуючи геометричний підхід, розгляд однорідних рівнянь і однорідних координат є фундаментальним з тих же причин, що проєктивна геометрія є домінівним підходом у алгебричній геометрії. Отже, основним питанням є розв'язки в раціональних числах; але цілочисельні розв'язки (тобто точки ґратки) можна розглядати так само, як афінний многовид можна розглядати всередині проєктивного многовиду, який має додаткові точки на нескінченності.

Загальний підхід діофантової геометрії ілюструє теорема Фалтінгса (гіпотеза Морделла), яка стверджує, що алгебрична крива C роду g > 1 над раціональними числами має лише скінченну кількість . Першим результатом такого роду, можливо, була теорема Гільберта і Гурвіца, що стосується випадку g = 0.

Теорія складається як з теорем, так і з багатьох припущень і відкритих питань.

Див. також

  • [en]

Примітки

  1. Hindry та Silverman, 2000, с. vii, Preface.
  2. Hindry та Silverman, 2000, с. viii, Preface.
  3. Mordell, 1969, с. 1.
  4. Mordell : Review: Serge Lang, Diophantine geometry. Projecteuclid.org. 4 липня 2007. Процитовано 7 жовтня 2015.
  5. Marc Hindry. (PDF). Gazette des mathématiciens. Архів оригіналу (PDF) за 26 лютого 2012. Процитовано 7 жовтня 2015.
  6. Jay Jorgenson; Steven G. Krantz. The Mathematical Contributions of Serge Lang (PDF). Ams.org. Процитовано 7 жовтня 2015.

Джерела

Посилання

  • Рецензія Ланга на Діофантові рівняння Морделла
  • Рецензія Морделла на Діофантову геометрію Ланга

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

U matematici diofantova geometriya doslidzhennya diofantovih rivnyan za dopomogoyu potuzhnih metodiv algebrichnoyi geometriyi U XX stolitti okremi matematiki zrozumili sho metodi algebrichnoyi geometriyi idealnij zasib dlya vivchennya cih rivnyan Diofantova geometriya ye chastinoyu shirshoyi galuzi arifmetichnoyi geometriyi Chotiri teoremi diofantovoyi geometriyi yaki mayut fundamentalne znachennya en Teorema Tue Zigelya Rota en Teorema FaltingsaPidgruntya1962 roku Serzh Leng opublikuvav knigu Diofantova geometriya angl Diophantine Geometry v yakij i vviv termin diofantova geometriya Material shodo diofantovih rivnyan tradicijno vikladali za stepenem i kilkistyu zminnih yak u Diofantovih rivnyannyah en 1969 Kniga Mordella pochinayetsya iz zauvazhennya shodo odnoridnih rivnyan f 0 nad racionalnim polem yake pripisuyut K F Gaussu sho nenulovi rozv yazki v cilih chislah yak i prosti tochki reshitki isnuyut yaksho isnuyut nenulovi racionalni rozv yazki i zauvazhuye zasterezhennya en stosovno parametrichnih rozv yazkiv Rezultat Gilberta Gurvica 1890 roku sho zmenshuye diofantovu geometriyu krivih rodu 0 do stepeniv 1 i 2 konichni peretini vmisheno v rozdili 17 yak i gipotezu Mordella en zustrichayetsya v rozdili 28 en pro skinchennu generaciyu grupi na eliptichnij krivij mistitsya v rozdili 16 a cilih tochok na v rozdili 26 U kritichnij recenziyi na knigu Lenga Mordell napisav Ostannim chasom rozrobleno potuzhni novi geometrichni ideyi ta metodi za dopomogoyu yakih znajdeno ta dovedeno vazhlivi novi arifmetichni teoremi ta vidpovidni rezultati i deyaki z nih nelegko dovesti inakshe Krim togo sposterigalasya tendenciya odyagati stari rezultati yih rozshirennya ta dokazi v novu geometrichnu movu Inodi odnak povne znachennya rezultativ najkrashe opisuyetsya v geometrichnij obstanovci U cij knizi Leng duzhe dobre pam yataye pro ci aspekti i zdayetsya ne vtrachaye mozhlivosti dlya geometrichnoyi prezentaciyi Ce poyasnyuye jogo nazvu Diofantova geometriya Vin zaznachaye sho zmist knigi perevazhno skladayetsya z versij en teoremi Tue Zigelya Rota teoremi Zigelya z traktuvannyam en ta yiyi zastosuvan u stili Zigelya Zalishayuchi ostoron problemi zagalnosti ta absolyutno riznogo stilyu osnovna matematichna vidminnist mizh dvoma knigami polyagaye v tomu sho Leng vikoristav abelevi mnogovidi ta zaproponuvav dovedennya teoremi Zigelya todi yak Mordell zaznachiv sho dovedennya maye duzhe skladnij harakter stor 263 Popri pochatkovi pogani vidguki 2006 roku koncepciyu Lenga prijnyato dosit shiroko shob nazvati knigu vizijnoyu Shirsha sfera yaku inodi nazivayut en teper vklyuchaye diofantovu geometriyu razom iz teoriyeyu poliv klasiv en lokalnimi dzeta funkciyami ta L funkciyami en napisav Hocha odni todi podilyali cyu tochku zoru napriklad Vejl en Serr legko zabuti sho inshi ne podilyali takoyi tochki zoru sho pidtverdzhuye recenziya Mordella na Diofantovu geometriyu PidhodiOdne rivnyannya viznachaye giperpoverhnyu a sistema diofantovih rivnyan porodzhuye zagalnij algebrichnij mnogovid V nad K tipove pitannya stosuyetsya prirodi mnozhini V K tochok na V z koordinatami v K i za dopomogoyu en mozhna postaviti kilkisni pitannya pro rozmir cih rozv yazkiv a takozh yakisni pitannya pro te chi isnuyut bud yaki tochki i yaksho tak chi isnuye yih neskinchenna kilkist Vrahovuyuchi geometrichnij pidhid rozglyad odnoridnih rivnyan i odnoridnih koordinat ye fundamentalnim z tih zhe prichin sho proyektivna geometriya ye dominivnim pidhodom u algebrichnij geometriyi Otzhe osnovnim pitannyam ye rozv yazki v racionalnih chislah ale cilochiselni rozv yazki tobto tochki gratki mozhna rozglyadati tak samo yak afinnij mnogovid mozhna rozglyadati vseredini proyektivnogo mnogovidu yakij maye dodatkovi tochki na neskinchennosti Zagalnij pidhid diofantovoyi geometriyi ilyustruye teorema Faltingsa gipoteza Mordella yaka stverdzhuye sho algebrichna kriva C rodu g gt 1 nad racionalnimi chislami maye lishe skinchennu kilkist Pershim rezultatom takogo rodu mozhlivo bula teorema Gilberta i Gurvica sho stosuyetsya vipadku g 0 Teoriya skladayetsya yak z teorem tak i z bagatoh pripushen i vidkritih pitan Div takozh en PrimitkiHindry ta Silverman 2000 s vii Preface Hindry ta Silverman 2000 s viii Preface Mordell 1969 s 1 Mordell Review Serge Lang Diophantine geometry Projecteuclid org 4 lipnya 2007 Procitovano 7 zhovtnya 2015 Marc Hindry PDF Gazette des mathematiciens Arhiv originalu PDF za 26 lyutogo 2012 Procitovano 7 zhovtnya 2015 Jay Jorgenson Steven G Krantz The Mathematical Contributions of Serge Lang PDF Ams org Procitovano 7 zhovtnya 2015 DzherelaBaker Alan 2007 Logarithmic Forms and Diophantine Geometry New Mathematical Monographs T 9 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 88268 2 Zbl 1145 11004 Bombieri Enrico Gubler Walter 2006 Heights in Diophantine Geometry New Mathematical Monographs T 4 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 71229 3 Zbl 1115 11034 Hindry Marc 2000 Diophantine Geometry An Introduction T 201 ISBN 0 387 98981 1 Zbl 0948 11023 Lang Serge 1997 Survey of Diophantine Geometry Springer Verlag ISBN 3 540 61223 8 Zbl 0869 11051 1969 Diophantine Equations Academic Press ISBN 978 0125062503 Hazewinkel Michiel red 2001 geometry Diophantine geometry Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4PosilannyaRecenziya Langa na Diofantovi rivnyannya Mordella Recenziya Mordella na Diofantovu geometriyu Langa

Дата публікації:
Топ