Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

У математиці арифметична геометрія це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел Арифмет

Арифметична геометрія

Арифметична геометрія

У математиці арифметична геометрія — це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел. Арифметична геометрія зосереджена навколо діофантової геометрії, вивчення алгебричних многовидів.

image
Згідно з теоремою Фалтінгса, , задана рівнянням має лише скінченну кількість [en] (таких як точки і ).

В абстрактніших термінах арифметичну геометрію можна визначити як дослідження схем [en] над спектром кільця цілих чисел.

Огляд

Класичним об'єктом інтересу в арифметичній геометрії є раціональні точки: множини розв'язків [en] над числовими полями, скінченними полями, p-адичними полями або [en], тобто полями, які не є алгебрично замкнутими, за винятком дійсних чисел. Раціональні точки можна безпосередньо схарактеризувати [en], які вимірюють їх арифметичну складність.

Структура алгебричних многовидів, визначених над неалгебрично замкнутими полями, стала центральною сферою інтересів, яка виникла з розвитком алгебричної геометрії. [en] забезпечує [en] над скінченними полями, пов'язані з алгебричними многовидами. [en] дає інструменти для дослідження того, коли когомологічні властивості многовидів над комплексними числами поширюються на многовиди над p-адичними полями.

Історія

XIX століття: рання арифметична геометрія

На початку XIX століття Карл Фрідріх Гаусс зауважив, що ненульові цілі розв'язки однорідних поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами існують, якщо існують ненульові раціональні розв'язки.

У 1850-х роках Леопольд Кронекер сформулював теорему Кронекера — Вебера, представив теорію дивізорів і встановив численні інші зв'язки між теорією чисел і алгеброю. Потім він сформулював свою [en] («найдорожча мрія юності»), узагальнення, яку пізніше Гільберт висунув у модифікованій формі як його дванадцяту проблему, яка окреслює мету змусити теорію чисел працювати лише з кільцями, які є частками кілець многочленів над цілими числами.

Початок-середина XX століття: алгебричні розробки та гіпотези Вейля

Наприкінці 1920-х років Андре Вейль продемонстрував глибокі зв'язки між алгебричною геометрією та теорією чисел у своїй докторській праці, яка привела до [en], яка демонструє, що множина раціональних точок абелевого многовиду є скінченнопородженою абелевою групою.

Сучасні основи алгебричної геометрії розробили на основі сучасної комутативної алгебри, включно з теорією нормування та теорією ідеалів, Оскар Зарицький та інші в 1930-х і 1940-х роках.

У 1949 році Вайль висунув знакові гіпотези Вейля про локальні дзета-функції алгебричних многовидів над скінченними полями. Ці гіпотези заклали зв'язок між алгебричною геометрією та теорією чисел, що спонукало Александра Гротендіка в 1950-х і 1960-х роках переробити основи, використовуючи теорію пучків (разом із Жаном-П'єром Серром), а пізніше теорію схем. 1960 року [en] довів одну з чотирьох гіпотез Вейля (раціональність локальної дзета-функції). Гротендік розробив теорію етальної когомології і до 1965 року довів дві гіпотези Вейля (разом із [en] і [en]). Останню з гіпотез Вейля (аналог гіпотези Рімана) остаточно довів 1974 року П'єр Делінь.

Середина-кінець XX століття: розвиток модульності, p-адичних методів і далі

Між 1956 і 1957 роками [en] і Горо Шимура висунули гіпотезу Таніями — Шимури (тепер відому як теорема модулярності), яка пов'язує еліптичні криві з модульними формами. Цей зв'язок, зрештою, приведе до [en] великої теореми Ферма в теорії чисел за допомогою методів алгебричної геометрії ([en]), які 1995 року розробив Ендрю Вайлс.

У 1960-х роках Горо Шимура ввів [en] як узагальнення [en]. Від 1979 року многовиди Шимури відіграють вирішальну роль у [en] як природне джерело прикладів для перевірки припущень.

У статтях 1977 та 1978 років [en] довів [en], надавши повний список можливих торсійних підгруп еліптичних кривих над раціональними числами. Перше Мазурове доведення цієї теореми залежало від повного аналізу на деяких модулярних кривих. 1996 року [en] поширив доведення торсійної гіпотези на всі числові поля.

1983 року Герд Фалтінгс довів гіпотезу Морделла, продемонструвавши, що крива роду, більшого від 1, має лише скінченну кількість раціональних точок (де теорема Морделла — Вейля демонструє лише скінченне породження множини раціональних точок на відміну від скінченності).

2001 року доведення [en] ґрунтувалося на геометрії деяких многовидів Шимури.

У 2010-х роках Петер Шольце розробив [en] та нові теорії когомології в арифметичній геометрії над p-адичними полями із застосуванням до [en] та деяких випадків гіпотези вагової монодромії.

Див. також

Примітки

  1. Sutherland, Andrew V. (5 вересня 2013). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 March 2019.
  2. Klarreich, Erica (28 червня 2016). Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. Процитовано 22 березня 2019.
  3. (2009). Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). Процитовано 22 березня 2019.
  4. Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. с. 43—67. ISBN . Zbl 0869.11051.
  5. Grothendieck, Alexander (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. с. 103—118. MR 0130879.
  6. Serre, Jean-Pierre (1967). Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France. Paris: 49—58.
  7. (1969). Diophantine Equations. Academic Press. с. 1. ISBN .
  8. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. с. 773—774. ISBN .
  9. A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers .
  10. Zariski, Oscar (2004). ; ; Mumford, David (ред.). Algebraic surfaces. Classics in mathematics (вид. second supplemented). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 0469915.
  11. Weil, André (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497—508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. ISSN 0002-9904. MR 0029393. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil
  12. Serre, Jean-Pierre (1955). Faisceaux Algebriques Coherents. The Annals of Mathematics. 61 (2): 197—278. doi:10.2307/1969915. JSTOR 1969915.
  13. Dwork, Bernard (1960). On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 82 (3): 631—648. doi:10.2307/2372974. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494.
  14. Grothendieck, Alexander (1995). Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L. Séminaire Bourbaki. Т. 9. Paris: Société Mathématique de France. с. 41—55. MR 1608788.
  15. Deligne, Pierre (1974). La conjecture de Weil. I. . 43 (1): 273—307. doi:10.1007/BF02684373. ISSN 1618-1913. MR 0340258.
  16. Taniyama, Yutaka (1956). Problem 12. Sugaku (яп.). 7: 269.
  17. Shimura, Goro (1989). Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections. The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186—196. doi:10.1112/blms/21.2.186. ISSN 0024-6093. MR 0976064.
  18. Wiles, Andrew (1995). (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443—551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Архів оригіналу (PDF) за 10 травня 2011. Процитовано 22 березня 2019.
  19. Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. ISBN .
  20. Langlands, Robert (1979). Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen. У Borel (ред.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Т. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. с. 205—246.
  21. (1977). Modular curves and the Eisenstein ideal. . 47 (1): 33—186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287.
  22. Mazur, Barry (1978). with appendix by . Rational isogenies of prime degree. Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129—162. Bibcode:1978InMat..44..129M. doi:10.1007/BF01390348. MR 0482230.
  23. Merel, Loïc (1996). Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (фр.). 124 (1): 437—449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424.
  24. Faltings, Gerd (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (нім.). 73 (3): 349—366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
  25. Faltings, Gerd (1984). Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae (нім.). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
  26. Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Annals of Mathematics Studies. Т. 151. Princeton University Press. ISBN . MR 1876802.
  27. Fields Medals 2018. International Mathematical Union. Процитовано 2 August 2018.
  28. Scholze, Peter. Perfectoid spaces: A survey (PDF). University of Bonn. Процитовано 4 November 2018.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

U matematici arifmetichna geometriya ce nablizhene zastosuvannya metodiv algebrichnoyi geometriyi do zadach teoriyi chisel Arifmetichna geometriya zoseredzhena navkolo diofantovoyi geometriyi vivchennya algebrichnih mnogovidiv Zgidno z teoremoyu Faltingsa zadana rivnyannyamy 2 x x 1 x 3 x 2 x 2 displaystyle y 2 x x 1 x 3 x 2 x 2 maye lishe skinchennu kilkist en takih yak tochki 2 0 displaystyle 2 0 i 1 0 displaystyle 1 0 V abstraktnishih terminah arifmetichnu geometriyu mozhna viznachiti yak doslidzhennya shem en nad spektrom kilcya cilih chisel OglyadKlasichnim ob yektom interesu v arifmetichnij geometriyi ye racionalni tochki mnozhini rozv yazkiv en nad chislovimi polyami skinchennimi polyami p adichnimi polyami abo en tobto polyami yaki ne ye algebrichno zamknutimi za vinyatkom dijsnih chisel Racionalni tochki mozhna bezposeredno sharakterizuvati en yaki vimiryuyut yih arifmetichnu skladnist Struktura algebrichnih mnogovidiv viznachenih nad nealgebrichno zamknutimi polyami stala centralnoyu sferoyu interesiv yaka vinikla z rozvitkom algebrichnoyi geometriyi en zabezpechuye en nad skinchennimi polyami pov yazani z algebrichnimi mnogovidami en daye instrumenti dlya doslidzhennya togo koli kogomologichni vlastivosti mnogovidiv nad kompleksnimi chislami poshiryuyutsya na mnogovidi nad p adichnimi polyami IstoriyaXIX stolittya rannya arifmetichna geometriya Na pochatku XIX stolittya Karl Fridrih Gauss zauvazhiv sho nenulovi cili rozv yazki odnoridnih polinomialnih rivnyan iz racionalnimi koeficiyentami isnuyut yaksho isnuyut nenulovi racionalni rozv yazki U 1850 h rokah Leopold Kroneker sformulyuvav teoremu Kronekera Vebera predstaviv teoriyu divizoriv i vstanoviv chislenni inshi zv yazki mizh teoriyeyu chisel i algebroyu Potim vin sformulyuvav svoyu en najdorozhcha mriya yunosti uzagalnennya yaku piznishe Gilbert visunuv u modifikovanij formi yak jogo dvanadcyatu problemu yaka okreslyuye metu zmusiti teoriyu chisel pracyuvati lishe z kilcyami yaki ye chastkami kilec mnogochleniv nad cilimi chislami Pochatok seredina XX stolittya algebrichni rozrobki ta gipotezi Vejlya Naprikinci 1920 h rokiv Andre Vejl prodemonstruvav gliboki zv yazki mizh algebrichnoyu geometriyeyu ta teoriyeyu chisel u svoyij doktorskij praci yaka privela do en yaka demonstruye sho mnozhina racionalnih tochok abelevogo mnogovidu ye skinchennoporodzhenoyu abelevoyu grupoyu Suchasni osnovi algebrichnoyi geometriyi rozrobili na osnovi suchasnoyi komutativnoyi algebri vklyuchno z teoriyeyu normuvannya ta teoriyeyu idealiv Oskar Zarickij ta inshi v 1930 h i 1940 h rokah U 1949 roci Vajl visunuv znakovi gipotezi Vejlya pro lokalni dzeta funkciyi algebrichnih mnogovidiv nad skinchennimi polyami Ci gipotezi zaklali zv yazok mizh algebrichnoyu geometriyeyu ta teoriyeyu chisel sho sponukalo Aleksandra Grotendika v 1950 h i 1960 h rokah pererobiti osnovi vikoristovuyuchi teoriyu puchkiv razom iz Zhanom P yerom Serrom a piznishe teoriyu shem 1960 roku en doviv odnu z chotiroh gipotez Vejlya racionalnist lokalnoyi dzeta funkciyi Grotendik rozrobiv teoriyu etalnoyi kogomologiyi i do 1965 roku doviv dvi gipotezi Vejlya razom iz en i en Ostannyu z gipotez Vejlya analog gipotezi Rimana ostatochno doviv 1974 roku P yer Delin Seredina kinec XX stolittya rozvitok modulnosti p adichnih metodiv i dali Mizh 1956 i 1957 rokami en i Goro Shimura visunuli gipotezu Taniyami Shimuri teper vidomu yak teorema modulyarnosti yaka pov yazuye eliptichni krivi z modulnimi formami Cej zv yazok zreshtoyu privede do en velikoyi teoremi Ferma v teoriyi chisel za dopomogoyu metodiv algebrichnoyi geometriyi en yaki 1995 roku rozrobiv Endryu Vajls U 1960 h rokah Goro Shimura vviv en yak uzagalnennya en Vid 1979 roku mnogovidi Shimuri vidigrayut virishalnu rol u en yak prirodne dzherelo prikladiv dlya perevirki pripushen U stattyah 1977 ta 1978 rokiv en doviv en nadavshi povnij spisok mozhlivih torsijnih pidgrup eliptichnih krivih nad racionalnimi chislami Pershe Mazurove dovedennya ciyeyi teoremi zalezhalo vid povnogo analizu na deyakih modulyarnih krivih 1996 roku en poshiriv dovedennya torsijnoyi gipotezi na vsi chislovi polya 1983 roku Gerd Faltings doviv gipotezu Mordella prodemonstruvavshi sho kriva rodu bilshogo vid 1 maye lishe skinchennu kilkist racionalnih tochok de teorema Mordella Vejlya demonstruye lishe skinchenne porodzhennya mnozhini racionalnih tochok na vidminu vid skinchennosti 2001 roku dovedennya en gruntuvalosya na geometriyi deyakih mnogovidiv Shimuri U 2010 h rokah Peter Sholce rozrobiv en ta novi teoriyi kogomologiyi v arifmetichnij geometriyi nad p adichnimi polyami iz zastosuvannyam do en ta deyakih vipadkiv gipotezi vagovoyi monodromiyi Div takozh en en Gipoteza Bercha ta Svinnertona Dajyera Moduli rimanovoyi poverhni en en Teoriya kategorij en PrimitkiSutherland Andrew V 5 veresnya 2013 Introduction to Arithmetic Geometry PDF Procitovano 22 March 2019 Klarreich Erica 28 chervnya 2016 Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry Procitovano 22 bereznya 2019 2009 Introduction to Arithmetic Geometry PDF Procitovano 22 bereznya 2019 Lang Serge 1997 Survey of Diophantine Geometry Springer Verlag s 43 67 ISBN 3 540 61223 8 Zbl 0869 11051 Grothendieck Alexander 1960 The cohomology theory of abstract algebraic varieties Proc Internat Congress Math Edinburgh 1958 Cambridge University Press s 103 118 MR 0130879 Serre Jean Pierre 1967 Resume des cours 1965 66 Annuaire du College de France Paris 49 58 1969 Diophantine Equations Academic Press s 1 ISBN 978 0125062503 Gowers Timothy Barrow Green June Leader Imre 2008 The Princeton companion to mathematics Princeton University Press s 773 774 ISBN 978 0 691 11880 2 A Weil L arithmetique sur les courbes algebriques Acta Math 52 1929 p 281 315 reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0 387 90330 5 Zariski Oscar 2004 Mumford David red Algebraic surfaces Classics in mathematics vid second supplemented Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 58658 6 MR 0469915 Weil Andre 1949 Numbers of solutions of equations in finite fields Bulletin of the American Mathematical Society 55 5 497 508 doi 10 1090 S0002 9904 1949 09219 4 ISSN 0002 9904 MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques Collected Papers by Andre Weil ISBN 0 387 90330 5 Serre Jean Pierre 1955 Faisceaux Algebriques Coherents The Annals of Mathematics 61 2 197 278 doi 10 2307 1969915 JSTOR 1969915 Dwork Bernard 1960 On the rationality of the zeta function of an algebraic variety American Journal of Mathematics American Journal of Mathematics Vol 82 No 3 82 3 631 648 doi 10 2307 2372974 ISSN 0002 9327 JSTOR 2372974 MR 0140494 Grothendieck Alexander 1995 Formule de Lefschetz et rationalite des fonctions L Seminaire Bourbaki T 9 Paris Societe Mathematique de France s 41 55 MR 1608788 Deligne Pierre 1974 La conjecture de Weil I 43 1 273 307 doi 10 1007 BF02684373 ISSN 1618 1913 MR 0340258 Taniyama Yutaka 1956 Problem 12 Sugaku yap 7 269 Shimura Goro 1989 Yutaka Taniyama and his time Very personal recollections The Bulletin of the London Mathematical Society 21 2 186 196 doi 10 1112 blms 21 2 186 ISSN 0024 6093 MR 0976064 Wiles Andrew 1995 PDF Annals of Mathematics 141 3 443 551 CiteSeerX 10 1 1 169 9076 doi 10 2307 2118559 JSTOR 2118559 OCLC 37032255 Arhiv originalu PDF za 10 travnya 2011 Procitovano 22 bereznya 2019 Shimura Goro 2003 The Collected Works of Goro Shimura Springer Nature ISBN 978 0387954158 Langlands Robert 1979 Automorphic Representations Shimura Varieties and Motives Ein Marchen U Borel red Automorphic Forms Representations and L Functions Symposium in Pure Mathematics T XXXIII Part 1 Chelsea Publishing Company s 205 246 1977 Modular curves and the Eisenstein ideal 47 1 33 186 doi 10 1007 BF02684339 MR 0488287 Mazur Barry 1978 with appendix by Rational isogenies of prime degree Inventiones Mathematicae 44 2 129 162 Bibcode 1978InMat 44 129M doi 10 1007 BF01390348 MR 0482230 Merel Loic 1996 Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields Inventiones Mathematicae fr 124 1 437 449 Bibcode 1996InMat 124 437M doi 10 1007 s002220050059 MR 1369424 Faltings Gerd 1983 Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Finiteness theorems for abelian varieties over number fields Inventiones Mathematicae nim 73 3 349 366 Bibcode 1983InMat 73 349F doi 10 1007 BF01388432 MR 0718935 Faltings Gerd 1984 Erratum Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Inventiones Mathematicae nim 75 2 381 doi 10 1007 BF01388572 MR 0732554 Harris Michael Taylor Richard 2001 The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties Annals of Mathematics Studies T 151 Princeton University Press ISBN 978 0 691 09090 0 MR 1876802 Fields Medals 2018 International Mathematical Union Procitovano 2 August 2018 Scholze Peter Perfectoid spaces A survey PDF University of Bonn Procitovano 4 November 2018

Дата публікації:
Топ