Гіпотеза Морделла

Гіпотеза Морделла — гіпотеза про скінченність множини раціональних точок на алгебричній кривій роду ${\displaystyle g>1}$. Висунута Морделлою в 1922 році. Пізніше гіпотеза була узагальнена з поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на довільне числове поле. Була доведено Гердом Фалтінгсом в 1983 році і тепер також називається теоремою Герда Фалтінгса.

Цей результат є аналогічним більш простому, але ідейного близькому твердженню де Франчіса: нехай ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ - ріманові поверхні та рід ${\displaystyle X}$ є більшим від одиниці; тоді існує скінченне чисто непостійних голоморфних відображень з ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle C}$ — неособлива алгебрична крива роду ${\displaystyle g}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Тоді множина раціональних точок ${\displaystyle C}$ наступна:

• Випадок ${\displaystyle g=0}$: раціональних точок немає, або нескінченно багато; ${\displaystyle C}$ є конічним перетином.
• Випадок ${\displaystyle g=1}$: раціональних точок немає, або ${\displaystyle C}$ є еліптичною кривою, а її раціональні точки утворюють скінченнопороджену абелеву групу. (Це теорема Морделла, пізніше узагальнена до теореми Морделла — Вейля). Більш того теорема Мазура про кручення обмежує можливу структуру (підгрупи кручення).
• Випадок ${\displaystyle g>1}$: відповідно до гіпотези Морделла, що зараз є теоремою Фалгтінса, ${\displaystyle C}$ має скінченне число раціональних точок.

Доведення

Доведення Герда Фалтінгса використовує відомий спосіб зведення гіпотези до випадку гіпотези Тейта та інструменти алгебричної геометрії, включаючи теорію моделей Нерона. Інше доведення, засноване на діофантових апроксимаціях, було дано Пауло Войта. Елементарніший варіант доведення Войта був дан Енріко Бомбьері.

Джерела

• Parsin, A. N. (1971). Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne. Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. Gauthier-Villars. с. 467—471.
• Parshin, A. N. (2001), M/m064910, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN