Дискримінант (теорія полів)

Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Означення

Нехай ${\displaystyle K}$ скінченне розширення поля ${\displaystyle k}$ степеня ${\displaystyle n}$. Відображення ${\displaystyle K\times K\to k:(x,y)\to \operatorname {Tr} (x,y)}$ де ${\displaystyle x,y\in K}$, a ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі ${\displaystyle K}$, що розглядається як лінійний простір над ${\displaystyle k}$. Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ з ${\displaystyle K}$ називається дискримінантом системи ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ і позначається ${\displaystyle D(w_{1},...,w_{m})}$. Тобто, ${\displaystyle D(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}):=\det \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)}$.

Зокрема, якщо зазначена система є базисом ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle k}$, то її дискримінант називається дискримінантом базиса ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle k}$.

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел

Нехай ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$ — поле раціональних чисел, ${\displaystyle K}$ — поле алгебричних чисел і ${\displaystyle M}$ — деяка ґратка рангу ${\displaystyle n}$. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки ${\displaystyle M}$ значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки ${\displaystyle M}$.

Якщо ${\displaystyle M}$ є кільцем цілих чисел поля ${\displaystyle K}$, то дискримінант ґратки ${\displaystyle M}$ називається просто дискримінантом поля ${\displaystyle K}$ і позначається ${\displaystyle D_{K}}$. Число ${\displaystyle D_{K}}$, є важливою характеристикою поля ${\displaystyle K}$.

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли ${\displaystyle k}$ — поле часток дедекіндового кільця ${\displaystyle A}$, a ${\displaystyle K}$ — скінченне сепарабельне розширення поля ${\displaystyle k}$ степеня ${\displaystyle n}$. Нехай ${\displaystyle B}$ — ціле замикання кільця ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ — довільний дробовий ідеал кільця ${\displaystyle B}$. Тоді дискримінантом ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ називається ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle D({\mathfrak {b}})}$, породжений всіма дискримінантами виду ${\displaystyle D(w_{1},...,w_{n})}$, де ${\displaystyle \{w_{1},...,w_{n}\}}$ пробігає усі базиси поля ${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle k}$, що належать ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$. ${\displaystyle D({\mathfrak {b}})}$ буде дробовим ідеалом кільця ${\displaystyle A}$. У випадку ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=B}$ для ${\displaystyle D(B)}$ також використовуються позначення ${\displaystyle D_{K/k}}$ і ${\displaystyle D_{B/A}}$. У цьому випадку ${\displaystyle D(B)}$ є ідеалом кільця ${\displaystyle A}$.

Зокрема якщо ${\displaystyle A}$ — кільце головних ідеалів і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=B}$, то ${\displaystyle B}$ є вільним модулем над ${\displaystyle A}$ розмірності ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle D(B)}$ є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса ${\displaystyle B}$ над ${\displaystyle A}$. Кожен такий базис є також базисом розширення ${\displaystyle K/k}$ і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для ${\displaystyle k=\mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$. У випадку коли ${\displaystyle A}$ не є кільцем головних ідеалів, ${\displaystyle B}$ може не бути вільним модулем і ${\displaystyle D(B)}$ може не бути головним ідеалом.

Властивості

• Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля ${\displaystyle k}$.

Дійсно якщо ${\displaystyle w_{1},...,w_{n}}$ і ${\displaystyle z_{1},...,z_{n}}$ — два такі базиси і ${\displaystyle A_{ij}}$ — матриця переходу між ними, то, ${\displaystyle \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)=A\left(\mathrm {Tr} (z_{i}\cdot z_{j})\right)A^{T}}$. Тому з властивостей визначника випливає, що ${\displaystyle D(w_{1},...,w_{n})=(\det(A))^{2}D(z_{1},...,z_{n})}$.

• Дискримінант будь-якого базису${\displaystyle K}$ над ${\displaystyle k}$ не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення ${\displaystyle K/k}$ є сепарабельним.
• Якщо ${\displaystyle f_{x}(t)}$ — многочлен степеня ${\displaystyle m}$, що є мінімальним многочленом елемента ${\displaystyle x}$ із сепарабельного розширення ${\displaystyle K/k}$, то ${\displaystyle D(1,x,x^{2},...,x^{m})}$ збігається із стандартним дискримінантом многочлена ${\displaystyle f_{x}(t)}$.
• У разі сепарабельного розширення ${\displaystyle K/k}$ дискримінант базиса ${\displaystyle w_{1},...,w_{n}}$ може бути обчислений за формулою

${\displaystyle \Delta (w_{1},...,w_{n})=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(w_{1})&\sigma _{1}(w_{2})&\cdots &\sigma _{1}(w_{n})\\\sigma _{2}(w_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(w_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(w_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.}$

де ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{n}}$ — усі різні вкладення ${\displaystyle K}$ у фіксоване алгебричне замикання поля ${\displaystyle k}$, що залишають нерухомими елементи ${\displaystyle k}$.

Дискримінанти числового поля

• Теорема Бриля: Знак дискримінанта числового поля є рівним ${\displaystyle (-1)^{r_{2}}}$ де ${\displaystyle r_{2}}$ є кількістю спряжених пар вкладень ${\displaystyle K}$ у поле комплексних чисел.
• Просте число ${\displaystyle p}$ розгалужується у ${\displaystyle K}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle p}$ ділить ${\displaystyle D_{K}}$.
• Теорема Штікельбергера:

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• Обмеження Мінковського: Нехай ${\displaystyle n}$ — степінь розширення ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle r_{2}}$ — кількість спряжених пар вкладень ${\displaystyle K}$ у поле комплексних чисел. Тоді

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Теорема Мінковського: Якщо ${\displaystyle K}$ не є рівним ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle |D_{K}|>1}$.
• Теорема Ерміта — Мінковського:Нехай ${\displaystyle N}$ — додатне ціле число. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів ${\displaystyle K}$ для яких ${\displaystyle |D_{K}|\leqslant N}$.
• Якщо ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді

${\displaystyle \lim _{q\to 1^{+}}(q-1)\zeta _{k}(q)={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}R}{m{\sqrt {|}}D_{K}|}}h}$

де ${\displaystyle \zeta _{k}(q)}$ — , ${\displaystyle h}$ — порядок групи класів ідеалів, ${\displaystyle R}$ — регулятор поля ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle m}$ — кількість коренів з одиниці в полі ${\displaystyle K}$.

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда

Тут всюди ${\displaystyle A}$ — кільце дедекінда з полем часток ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle K}$ — скінченне сепарабельне розширення поля ${\displaystyle k}$ степеня ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle B}$ — ціле замикання кільця ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ — довільний дробовий ідеал кільця ${\displaystyle B}$.

• ${\displaystyle D({\mathfrak {b}})}$ є дробовим ідеалом кільця ${\displaystyle A}$ і має місце рівність ${\displaystyle D({\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {b}})2D(B)}$, де ${\displaystyle N({\mathfrak {b}})}$ — норма ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.
• Дискримінант ${\displaystyle D(B)}$ збігається з нормою диферента кільця ${\displaystyle B}$ над ${\displaystyle A}$.
• Якщо ${\displaystyle S\subset A}$ — мультиплікативна підмножина то ${\displaystyle D_{B_{S}/A_{S}}=(D_{B/A})_{S}}$, де ${\displaystyle S}$ у нижньому індексі позначає локалізацію по мультиплікативній системі.

Приклади

• Квадратичні поля: нехай ${\displaystyle d}$ вільне від квадратів ціле число. Тоді дискримінант поля ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ є рівним

${\displaystyle D_{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

• Кругові поля: нехай ${\displaystyle n>2}$ — ціле число і ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$ — n-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним

${\displaystyle D_{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

де ${\displaystyle \varphi (n)}$ — функція Ейлера і добуток береться по всіх простих числах, що ділять ${\displaystyle n}$.

Див. також

• Визначник
• Дискримінант
• Слід (теорія полів)

Література

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М. : Наука, 1972. — 510 с.
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)