Група кубика Рубіка — підгрупа симетричної групи S48, елементи якої відповідають рухам кубика Рубіка. Під рухом йдеться про поворот однієї з граней або послідовність таких поворотів.
Визначення
У 3×3×3 кубика 6 граней по 9 етикеток, але центральні етикетки граней при будь-яких рухах залишаються на своїх місцях.
Позначимо центри граней літерами (див. малюнок), а інші етикетки — числами від 1 до 48.
Тепер поворотам відповідних граней на 90° за годинниковою стрілкою ми можемо зіставити елементи симетричної групи етикеток кубика Рубіка, які не є центрами граней:
Тоді група кубика Рубіка визначається як підгрупа , породжена поворотами шести граней на 90°:
Властивості
Порядок групи дорівнює
Нехай — граф Келі групи з 18 утворюючими, які відповідають 18 ходам (метрики FTM).
Кожна з конфігурацій може бути вирішена не більше ніж за 20 ходів FTM. Іншими словами, (ексцентриситет вершини) графу , яка відповідає «зібраному» стану головоломки, дорівнює 20.
також дорівнює 20.
Найбільший порядок елемента в дорівнює 1260. Наприклад, послідовність ходів необхідно повторити 1260 разів, перш ніж кубик Рубіка повернеться до початкового стану.
не є абелевою групою, оскільки, наприклад, . Іншими словами, не всі пари поворотів комутують.
Підгрупи
Група квадратів
Група квадратів (square group) — підгрупа групи , породжувана поворотами граней на 180°:
Порядок групи квадратів дорівнює 663 552.
Група квадратів використовується в , за допомогою якого вдалося довести достатність 45 ходів для складання кубика Рубика.
Центр групи
Центр групи складається з елементів, що комутують з кожним елементом групи. Центр групи кубика Рубіка складається з двох елементів: тотожна перестановка та [en].
Супергрупа кубика Рубіка
Етикетки, що знаходяться в центрах граней кубика Рубіка, не переміщаються, але повертаються. На звичайному кубику Рубіка орієнтація центрів граней невидима.
Група всіх рухів кубика Рубіка з видимими орієнтаціями центрів граней називається супергрупою кубика Рубика. Вона в разів більше групи .
Гамільтонів цикл на графі Келі
На графі Келі групи з 12 утворюючими, які відповідають ходам метрики QTM, існує гамільтонів цикл. Знайдений цикл використовує повороти лише 5 з 6 граней.
Існує відповідна гіпотеза Ласло Ловаса для довільного графа Келі.
Див. також
Примітки
- Schönert, Martin. (англ.). Архів оригіналу за 20 січня 2013. Процитовано 19 липня 2013.
- В. Дубровский. . — № 8.
- Jaap Scherphuis. (англ.). Архів оригіналу за 28 липня 2013. Процитовано 19 липня 2013.
{{}}
: Проігноровано невідомий параметр|subtitle=
() - Jaap Scherphuis. (англ.). Архів оригіналу за 24 листопада 2012. Процитовано 22 липня 2013.
- Ryan Heise. (англ.). Архів оригіналу за 2 серпня 2013. Процитовано 21 липня 2013.
- Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J. (англ.). Архів оригіналу за 21 липня 2013. Процитовано 19 липня 2013.
- Weisstein, Eric W. (англ.). Архів оригіналу за 2 червня 2013. Процитовано 22 липня 2013.
- Lucas Garron. (R U2 D' B D')1260 (англ.). Архів оригіналу за 5 вересня 2013. Процитовано 22 липня 2013.
- Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Baltimore: Johns Hopkins University Press. с. 7. ISBN .
- Davis, Tom (2006). (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 2 жовтня 2013. Процитовано 22 липня 2013.
- Jaap Scherphuis. (англ.). Архів оригіналу за 20 січня 2013. Процитовано 22 липня 2013.
- Bruce Norskog. . Domain of the Cube Forum. Архів оригіналу за 18 серпня 2013. Процитовано 21 липня 2013.
- Bruce Norskog. . Speedsolving.com. Архів оригіналу за 30 травня 2014. Процитовано 21 липня 2013.
Джерела
- Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN .
Посилання
- W. D. Joyner. Lecture notes on the mathematics of the Rubik's cube (англ.). Архів оригіналу за 5 вересня 2013. Процитовано 22 липня 2013.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Grupa kubika Rubika pidgrupa simetrichnoyi grupi S48 elementi yakoyi vidpovidayut ruham kubika Rubika Pid ruhom jdetsya pro povorot odniyeyi z granej abo poslidovnist takih povorotiv Rozgortka kubika Rubika Kozhnomu z povorotiv granej vidpovidaye element grupi S48 ViznachennyaU 3 3 3 kubika 6 granej po 9 etiketok ale centralni etiketki granej pri bud yakih ruhah zalishayutsya na svoyih miscyah Poznachimo centri granej literami L F R B U D displaystyle L F R B U D div malyunok a inshi etiketki chislami vid 1 do 48 Teper povorotam vidpovidnih granej na 90 za godinnikovoyu strilkoyu mi mozhemo zistaviti elementi simetrichnoyi grupi S48 displaystyle S 48 etiketok kubika Rubika yaki ne ye centrami granej L 1 3 8 6 2 5 7 4 33 9 41 32 36 12 44 29 38 14 46 27 displaystyle L 1 3 8 6 2 5 7 4 33 9 41 32 36 12 44 29 38 14 46 27 F 9 11 16 14 10 13 15 12 38 17 43 8 39 20 42 5 40 22 41 3 displaystyle F 9 11 16 14 10 13 15 12 38 17 43 8 39 20 42 5 40 22 41 3 R 17 19 24 22 18 21 23 20 48 16 40 25 45 13 37 28 43 11 35 30 displaystyle R 17 19 24 22 18 21 23 20 48 16 40 25 45 13 37 28 43 11 35 30 B 25 27 32 30 26 29 31 28 19 33 6 48 21 34 4 47 24 35 1 46 displaystyle B 25 27 32 30 26 29 31 28 19 33 6 48 21 34 4 47 24 35 1 46 U 33 35 40 38 34 37 39 36 25 17 9 1 26 18 10 2 27 19 11 3 displaystyle U 33 35 40 38 34 37 39 36 25 17 9 1 26 18 10 2 27 19 11 3 D 41 43 48 46 42 45 47 44 6 14 22 30 7 15 23 31 8 16 24 32 displaystyle D 41 43 48 46 42 45 47 44 6 14 22 30 7 15 23 31 8 16 24 32 dd Todi grupa kubika Rubika G displaystyle G viznachayetsya yak pidgrupa S48 displaystyle S 48 porodzhena povorotami shesti granej na 90 G L F R B U D displaystyle G langle L F R B U D rangle dd VlastivostiPoryadok grupi G displaystyle G dorivnyuye G 8 12 38 1 212 12 43 252 003 274 489 856 000 227 314 53 72 11 displaystyle G dfrac 8 cdot 12 cdot 3 8 1 cdot 2 12 1 2 43 252 003 274 489 856 000 2 27 cdot 3 14 cdot 5 3 cdot 7 2 cdot 11 dd Nehaj Kf displaystyle K f graf Keli grupi G displaystyle G z 18 utvoryuyuchimi yaki vidpovidayut 18 hodam metriki FTM Kozhna z 4 32 1019 displaystyle 4 32 cdot 10 19 konfiguracij mozhe buti virishena ne bilshe nizh za 20 hodiv FTM Inshimi slovami ekscentrisitet vershini grafu Kf displaystyle K f yaka vidpovidaye zibranomu stanu golovolomki dorivnyuye 20 Kf displaystyle K f takozh dorivnyuye 20 Najbilshij poryadok elementa v G displaystyle G dorivnyuye 1260 Napriklad poslidovnist hodiv R U2 D B D displaystyle R U 2 D prime B D prime neobhidno povtoriti 1260 raziv persh nizh kubik Rubika povernetsya do pochatkovogo stanu G displaystyle G ne ye abelevoyu grupoyu oskilki napriklad FR RF displaystyle FR neq RF Inshimi slovami ne vsi pari povorotiv komutuyut PidgrupiGrupa kvadrativ Grupa kvadrativ square group pidgrupa grupi G displaystyle G porodzhuvana povorotami granej na 180 Gsq L2 F2 R2 B2 U2 D2 displaystyle G sq langle L 2 F 2 R 2 B 2 U 2 D 2 rangle dd Poryadok grupi kvadrativ dorivnyuye 663 552 Grupa kvadrativ vikoristovuyetsya v za dopomogoyu yakogo vdalosya dovesti dostatnist 45 hodiv dlya skladannya kubika Rubika Centr grupi Centr grupi skladayetsya z elementiv sho komutuyut z kozhnim elementom grupi Centr grupi kubika Rubika skladayetsya z dvoh elementiv totozhna perestanovka ta en Supergrupa kubika RubikaEtiketki sho znahodyatsya v centrah granej kubika Rubika ne peremishayutsya ale povertayutsya Na zvichajnomu kubiku Rubika oriyentaciya centriv granej nevidima Grupa vsih ruhiv kubika Rubika z vidimimi oriyentaciyami centriv granej nazivayetsya supergrupoyu kubika Rubika Vona v 462 2048 displaystyle dfrac 4 6 2 2048 raziv bilshe grupi G displaystyle G Gamiltoniv cikl na grafi KeliNa grafi Keli Kq displaystyle K q grupi G displaystyle G z 12 utvoryuyuchimi yaki vidpovidayut hodam metriki QTM isnuye gamiltoniv cikl Znajdenij cikl vikoristovuye povoroti lishe 5 z 6 granej Isnuye vidpovidna gipoteza Laslo Lovasa dlya dovilnogo grafa Keli Div takozhGamiltoniv graf Graf Keli Matematika kubika Rubika Normalna pidgrupa Perestanovka Teoriya grupPrimitkiSchonert Martin angl Arhiv originalu za 20 sichnya 2013 Procitovano 19 lipnya 2013 V Dubrovskij 8 Jaap Scherphuis angl Arhiv originalu za 28 lipnya 2013 Procitovano 19 lipnya 2013 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Proignorovano nevidomij parametr subtitle dovidka Jaap Scherphuis angl Arhiv originalu za 24 listopada 2012 Procitovano 22 lipnya 2013 Ryan Heise angl Arhiv originalu za 2 serpnya 2013 Procitovano 21 lipnya 2013 Rokicki T Kociemba H Davidson M and Dethridge J angl Arhiv originalu za 21 lipnya 2013 Procitovano 19 lipnya 2013 Weisstein Eric W angl Arhiv originalu za 2 chervnya 2013 Procitovano 22 lipnya 2013 Lucas Garron R U2 D B D 1260 angl Arhiv originalu za 5 veresnya 2013 Procitovano 22 lipnya 2013 Joyner David 2002 Adventures in group theory Rubik s Cube Merlin s machine and Other Mathematical Toys Baltimore Johns Hopkins University Press s 7 ISBN 0 8018 6947 1 Davis Tom 2006 PDF Arhiv originalu PDF za 2 zhovtnya 2013 Procitovano 22 lipnya 2013 Jaap Scherphuis angl Arhiv originalu za 20 sichnya 2013 Procitovano 22 lipnya 2013 Bruce Norskog Domain of the Cube Forum Arhiv originalu za 18 serpnya 2013 Procitovano 21 lipnya 2013 Bruce Norskog Speedsolving com Arhiv originalu za 30 travnya 2014 Procitovano 21 lipnya 2013 DzherelaJoyner David 2002 Adventures in group theory Rubik s Cube Merlin s machine and Other Mathematical Toys Baltimore Johns Hopkins University Press ISBN 0 8018 6947 1 PosilannyaW D Joyner Lecture notes on the mathematics of the Rubik s cube angl Arhiv originalu za 5 veresnya 2013 Procitovano 22 lipnya 2013