Багатокутні числа

Не плутати з центрованими багатокутними числами.

Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle d}$ — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел (${\displaystyle d=1}$). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці ${\displaystyle d}$. Наведемо приклади:

Трикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=1}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел ${\displaystyle 1,3,6,10,\dots }$.

Квадратні числа. Різниця ${\displaystyle d=2}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+3+5+7+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел ${\displaystyle 1,4,9,16,\dots }$.

П'ятикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=3}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+4+7+11+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел ${\displaystyle 1,5,12,22,\dots }$.

Шестикутні числа. Різниця ${\displaystyle d=4}$ приводить нас до суми ${\displaystyle 1+5+9+13+\cdots }$, часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел ${\displaystyle 1,6,15,28,\dots }$.

Інколи ${\displaystyle 0}$ визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд ${\displaystyle 0,1,3,6,10}$.

• 10 — четверте число з трикутних чисел Трикутні числа.
• 16 — четверте число з квадратних чисел Квадратні числа.
• 22 — четверте число з п'ятикутних чисел П'ятикутні числа.
• 28 — четверте число з шестикутних чисел Шестикутні числа.

Формула

Якщо ${\displaystyle s}$ — кількість сторін у многокутнику, формула ${\displaystyle n}$-го ${\displaystyle s}$-кутного числа ${\displaystyle P(s,n)}$ наступна:

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$,

або

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$.

${\displaystyle N}$-те ${\displaystyle s}$-кутного число також пов'язане з трикутними числами ${\displaystyle T_{n}}$ таким чином:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Звідси

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

Для заданого ${\displaystyle s}$-кутного числа ${\displaystyle P(s,n)=x}$ можна знайти ${\displaystyle n}$ та ${\displaystyle s}$ за допомогою формул:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$,

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}}$.

Кожне шестикутне число є трикутним числом

Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$.

Якщо сторін 6, то

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$,

але оскільки

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$,

то звідси випливає, що

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}$.

Отже, кожне ${\displaystyle n}$-те шестикутне число ${\displaystyle P(6,n)}$ також є ${\displaystyle (2n-1)}$-м трикутним числом ${\displaystyle T_{2n-1}}$. Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Таблиця значень

Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.

s	Назва	Формула	n										Сума обернених значень	OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Трикутні	1/2(n^2 + n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2	A000217
4	Квадратні	1/2(2n^2 − 0n) = n^2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	π^2/6	A000290
5	П'ятикутні	1/2(3n^2 − n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	3 ln3 − π√3/3	A000326
6	Шестикутні	1/2(4n^2 − 2n) = 2n^2 — n	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	Семикутні	1/2(5n^2 − 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\displaystyle {\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}}$	A000566
8	Восьмикутні	1/2(6n^2 − 4n) = 3n^2 — 2n	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	3/4 ln 3 + π√3/12	A000567
9	Дев'ятикутні	1/2(7n^2 − 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Десятикутні	1/2(8n^2 − 6n) = 4n^2 — 3n	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2 + π/6	A001107
11	11-кутні	1/2(9n^2 − 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-кутні	1/2(10n^2 − 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-кутні	1/2(11n^2 − 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	14-кутні	1/2(12n^2 − 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + π√3/10	A051866
15	15-кутні	1/2(13n^2 − 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-кутні	1/2(14n^2 − 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-кутні	1/2(15n^2 − 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	18-кутні	1/2(16n^2 − 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	4/7 ln 2 − √2/14 ln (3 − 2√2) + π(1 + √2)/14	A051870
19	19кутні	1/2(17n^2 − 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	20-кутні	1/2(18n^2 − 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-кутні	1/2(19n^2 − 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	22-кутні	1/2(20n^2 − 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	23-кутні	1/2(21n^2 − 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	24-кутні	1/2(22n^2 − 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	10000-кутні	1/2(9998n^2 − 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена  наступною тотожністю (див. A086270 [ 13 квітня 2021 у Wayback Machine.]) :

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),}$

де

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

Чи є число багатокутним

Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число ${\displaystyle N>2}$, потрібно визначити чи є воно багатокутним числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ і якщо так, то для яких значень ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle n}$. Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:.

1. Випишемо всі натуральні дільники числа ${\displaystyle 2N}$ (включаючи ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle 2N}$).
2. Випишемо всі натуральні дільники числа ${\displaystyle 2N-2}$.
3. З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають ${\displaystyle n}$.
4. Для кожного вибраного ${\displaystyle n}$ обчислюємо ${\displaystyle k={\dfrac {2N-2}{n-1}}-{\dfrac {2N}{n}}+2}$.
5. Відкинемо пари ${\displaystyle (n,k)}$, де ${\displaystyle k<3}$.

Відповідно, всі пари ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$, що залишилися, рівні ${\displaystyle N}$.

Приклад 1. Нехай ${\displaystyle N=105}$.

• Дільники ${\displaystyle 2N=210}$: ${\displaystyle 1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210}$.
• Дільники ${\displaystyle 2N-2=208}$: ${\displaystyle 1,2,4,8,13,16,26,52,104,208}$.
• Виписуємо ${\displaystyle n=2,3,5,14,105}$.
• Відповідно ${\displaystyle k=105,36,12,14,2}$. Останнє значення відкинемо.

Відповідь: ${\displaystyle 105}$ зустрічається як ${\displaystyle P_{2}^{(105)}}$, ${\displaystyle P_{3}^{(36)}}$, ${\displaystyle P_{5}^{(12)}}$, ${\displaystyle P_{1}4^{(14)}}$, тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

Задача 2. Дано натуральне число ${\displaystyle N>2}$, потрібно визначити чи є воно ${\displaystyle k}$-кутним числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$. На відміну від попередньої задачі, тут ${\displaystyle k}$ задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта:

${\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2}}$.

Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$. З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо ${\displaystyle N}$ є ${\displaystyle k}$-кутне число, тобто ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)}}$ для деякого ${\displaystyle N}$, то ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ — це деяке квадратне число ${\displaystyle R^{2}}$ і навпаки. При цьому номер ${\displaystyle n}$ знаходиться за формулою

${\displaystyle n={\frac {R+k-4}{2k-4}}}$.

Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ тут рівне ${\displaystyle 98596=314^{2}}$, тому задане число є 10-кутним. ${\displaystyle n=20}$, отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

Твірна функція

Степеневий ряд, коефіцієнти якого ${\displaystyle k}$-кутні числа, збігається при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\displaystyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots ={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}}$.

Вираз справа є твірною функцією для послідовності ${\displaystyle k}$-кутних чисел.

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу ${\displaystyle k}$-кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

При ${\displaystyle k=3}$ : ${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}3x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\cdots }$,

при ${\displaystyle k=4}$ : ${\displaystyle {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}3x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\cdots }$,

при ${\displaystyle k=5}$ : ${\displaystyle {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}3x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\cdots }$.

Див. також

• Фігурні числа
• Центровані багатокутні числа
• Теорема Ферма про багатокутні числа

Примітки

1. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 15 червня 2011. Процитовано 13 червня 2010.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()
2. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 травня 2013. Процитовано 15 травня 2020.
3. Деза Е., Деза М., 2016, с. 37—39.
4. Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—39.
5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.

Література

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Спеціальна:BookSources/0-14-026149-4|ISBN 0-14-026149-4]]].
• Polygonal numbers at PlanetMath [ 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Polygonal Numbers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (вид. 2nd). Oxford University Press. с. 88–89. ISBN .

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), number Polygonal number, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 [Архівовано 20 квітня 2012 у WebCite]
• Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid на YouTube
• Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 [ 29 листопада 2016 у Wayback Machine.]