Шестикутне число

Шестикутне число  — це фігурне число. ${\displaystyle n}$-те шестикутне число ${\displaystyle h_{n}}$ — це кількість різних у шаблоні точок, що утворюють контур правильних шестикутників зі сторонами до ${\displaystyle n}$ точок, коли шестикутники перекриваються так, що вони мають одну спільну вершину.

${\displaystyle n}$-е шестикутне число визначається за допомогою формули

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n\cdot (2n-1)}{2}}.\,\!}$

Першими шестикутними числами (послідовність A000384 в OEIS) є

, , , , , , , , , , 231, 276, 325, 378, 435, , , 630, 703, 780, 861, 946, …

Кожне шестикутне число — це трикутне число, але лише кожне третє трикутне число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е тощо) — це шестикутне число. Як і для трикутного числа, цифровий корінь в основі 10 шестикутного числа може бути лише 1, 3, 6 або 9. Набором цифрових коренів, що повторюється через кожні дев'ять членів, є ''1 6 6 1 9 3 1 3 9''.

Кожне парне досконале число є шестикутним і задається формулою

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=h_{\left({\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}\right)}=h_{2^{p-1}},}$

де ${\displaystyle M_{p}}$ — число Мерсенна. Невідомі непарні досконалі числа, тому всі відомі досконалі числа є шестикутними.

Наприклад, 2-ге шестикутне число ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$; четверте — ${\displaystyle 4\cdot 7=28}$; 16-е — ${\displaystyle 16\cdot 31=496}$, а 64-е — ${\displaystyle 64\cdot 127=8128}$.

Найбільшим числом, яке не можна записати як суму не більше чотирьох шестикутних чисел, є 130. Адрієн-Марі Лежандр довів у 1830 році, що будь-яке натуральне число, що перевищує 1791, може представлене таким чином.

Шестикутні числа не слід плутати з ^[en], які моделюють стандартну упаковку віденських сосисок. Щоб уникнути неоднозначності, шестикутні числа іноді називають «кутовими шестикутними числами».

Тест на шестикутність числа

Можна ефективно перевірити, чи є натуральне число ${\displaystyle x}$ шестикутним числом, за допомогою формули

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+2}}+1}{4}}.}$

Якщо ${\displaystyle n}$ — натуральне число, то ${\displaystyle x}$ — ${\displaystyle n}$-е шестикутне число. Якщо ${\displaystyle n}$ не є натуральним числом, то ${\displaystyle x}$ не є шестикутним.

Інші властивості

Представлення у вигляді суми

${\displaystyle n}$-е число шестикутної послідовності можна представити у вигляді суми як

${\displaystyle h_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}(4i+1),}$

де порожня сума покладається рівною ${\displaystyle 0}$.

Сума обернених шестикутних чисел

Сума обернених шестикутних чисел дорівнює ${\displaystyle 2\ln(2)}$, де ${\displaystyle \ln }$ — натуральний логарифм,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\longrightarrow \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\longrightarrow \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\longrightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\operatorname {d} x\\&=2\ln(1+x){\big |}_{0}^{1}=2\ln {2}\approx 1{,}386294\dots .\end{aligned}}}$

Шестикутні квадратні числа

Послідовність чисел, які одночасно є шестикутними та повними квадратами, починається з ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1225}$, ${\displaystyle 1413721}$, ${\displaystyle \dots }$ (див. послідовність A000384 в OEIS).

Див. також

• ^[en]
• Фігурні числа
• П'ятикутне число
• Трикутне число
• Натуральні числа

Посилання

• ^[en]Hexagonal Number [ 18 березня 2020 у Wayback Machine.] MathWorld.