У математиці інваріантним підпростором лінійного відображення (тобто з деякого векторного простору у себе) називається підпростір простору , який зберігається при відображенні ; тобто .
Загальний опис
Розглянемо лінійне відображення ,
Інваріантний підпростір відображення має наступну властивість: всі вектори перетворюються при відображенні у вектори, які також належать підпростору . Це можна записати як
Тривіальні приклади інваріантних підпросторів
- : оскільки відображає будь-який вектор з у вектор з .
- : оскільки при лінійному відображенні .
Одновимірний інваріантний підпростір
Базисом одновимірного простору є ненульовий вектор . Отже, будь-який вектор можна представити як , де є скаляром. Представимо лінійне відображення як матрицю тоді, для того щоб простір був інваріантним підпростором, він має задовольняти умову
Якщо , то , .
Отже, умову існування одновимірного інваріантного підпростору можна записати як
Зауважимо, що це типове формулювання задачі на власні значення, яке означає, що будь-який власний вектор матриці утворює одновимірний інваріантний підпростір відображення .
Формальний опис
Інваріантний підпростір лінійного відображення
з деякого векторного простору у себе, є підпростором простору , такий що належить . Інваріантний підпростір відображення також називається -інваріантним.
Якщо є -інваріантним, то можна обмежити відображення на підпростір , щоб отримати нове лінійне відображення
Це лінійне відображення називається обмеженням відображення на підпростір і визначається як
- для всіх
Нижче наведемо декілька прикладів інваріантних підпросторів.
Очевидно, що сам простір і підпростір є тривіально інваріантними підпросторами для будь-якого лінійного оператора . Для деяких лінійних операторів не існує нетривіального інваріантного підпростору; наприклад, повороти двовимірного дійсного векторного простору.
Нехай — власний вектор лінійного відображення , тобто . Тоді підпростір є -інваріантним. Як наслідок основної теореми алгебри, будь-який лінійний оператор на ненульовому скінченновимірному комплексному векторному просторі має власний вектор. Отже, будь-який такий лінійний оператор має нетривіальний інваріантний підпростір. Тут використано той факт, що комплексні числа є алгебраїчно замкнутим полем. Порівнюючи з попереднім прикладом, можна побачити, що інваріантні підпростори лінійного перетворення залежать від базового поля простору .
Інваріантний вектор (тобто нерухома точка відображення ), відмінний від 0, породжує інваріантний підпростір розмірності 1. Відображення діє на інваріантний підпростір розмірності 1 за допомогою скаляра і складається з інваріантних векторів тоді й лише тоді, коли цей скаляр дорівнює 1.
Як показують наведені вище приклади, інваріантні підпростори заданого лінійного перетворення проливають світло на структуру відображення . Якщо простір є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкненим полем, то лінійні перетворення, що діють на просторі , характеризуються (з точністю до подібності) жордановою нормальною формою, яка розкладає простір на інваріантні підпростори відображення . Багато фундаментальних питань щодо відображення можна звести до питань про інваріантні підпростори відображення .
Взагалі кажучи, інваріантні підпростори визначаються для множин операторів як підпростори, інваріантні для кожного оператора в множині. Нехай — алгебра лінійних перетворень на просторі , а — сімейство підпросторів, інваріантних відносно відображення . (Використовується позначення «Lat», оскільки утворює ґратку (англ. lattice), див. обговорення нижче). Для заданої непорожньої множини розглядаються інваріантні підпростори інваріантні відносно кожного відображення . У символьній формі
Наприклад, якщо , то .
Для заданого представлення групи на векторному просторі маємо лінійне відображення для будь-якого елемента групи . Якщо підпростір простору є інваріантним відносно всіх цих відображень, то він є [en] і група діє на підпростір природним чином.
Як інший приклад, нехай відображення і — це алгебра породжена , де — тотожний оператор. Тоді . Оскільки відображення належить тривіально, то . З іншого боку, алгебра складається з поліномів від і , і тому має місце і зворотне включення.
Матричне представлення
У скінченновимірному векторному просторі будь-яке лінійне перетворення можна представити матрицею як тільки зафіксовано базис простору .
Нехай — -інваріантний підпростір. Виберемо базис підпростору і доповнимо його до базису простору . Тоді відносно цього базису матричне представлення відображення набуває вигляду:
де верхній лівий блок є обмеженням відображення на підпростір .
Іншими словами, для заданого інваріантного підпростору відображення простір можна розкласти у пряму суму:
Розглядаючи лінійне перетворення як матричний оператор
очевидно, що блок має бути нульовим.
Визначення того, чи є даний підпростір інваріантним відносно відображення , є нібито проблемою геометричного характеру. Матричне представлення дозволяє сформулювати цю проблему алгебраїчно. Оператор проєктування на підпростір визначається як , де і . Оператор проєктування має матричне представлення
Безпосереднє обчислення показує, що підпростір (обмеження ) є інваріантним відносно відображення тоді й лише тоді, коли . Іншими словами, підпростір є елементом сімейства підпросторів еквівалентно, що відповідна проєкція задовольняє співвідношення .
Якщо є проєкцією (тобто ), то й також є проєкцією, де — тотожний оператор. Із вищесказаного випливає, що рівність справджується тоді й лише тоді, коли обидва підпростори і є інваріантними відносно відображення . У цьому випадку відображення має матричне представлення
Іншими словами, проєкція, яка комутує з відображенням , «діагоналізує» відображення .
Задача про інваріантний підпростір
- Основна стаття: [en]
Задача про інваріантний підпростір стосується випадку, коли простір є сепарабельним гільбертовим простором розмірності 1 над полем комплексних чисел, а відображення є обмеженим оператором. Задача полягає в тому, щоб з'ясувати, чи будь-яке таке відображення має нетривіальний, замкнутий, інваріантний підпростір. Станом на 2021 рік ця задача залишається відкритою.
У більш загальному випадку, коли простір є банаховим простором, існує приклад оператора без інваріантного підпростору ([en], 1976). Вперше такий [en] було отримано [en] у 1985 році.
Ґратка інваріантного підпростору
Для заданої непорожньої множини інваріантні підпростори, інваріантні відносно кожного елемента множини , утворюють ґратку, яку іноді називають ґраткою інваріантного підпростору множини і позначають як .
Операції ґратки задаються природним чином: для операція перетину визначається як
тоді як операція об'єднання визначається як
Мінімальний елемент ґратки називається мінімальним інваріантним підпростором.
Основна теорема некомутативної алгебри
Подібно до того, як основна теорема алгебри гарантує, що будь-яке лінійне перетворення, яке діє на скінченновимірному комплексному векторному просторі, має нетривіальний інваріантний підпростір, основна теорема некомутативної алгебри стверджує, що ґратка містить нетривіальні елементи для деякої множини .
Теорема (Бернсайд). Нехай — комплексний векторний простір скінченної розмірності. Для кожної власної підалгебри алгебри ґратка містить нетривіальний елемент.
Теорема Бернсайда має фундаментальне значення в лінійній алгебрі. Одним з її наслідків є те, що будь-яку комутуючу сім'ю в можна одночасно звести до верхньотрикутного вигляду.
Непорожня множина називається звідною до трикутного вигляду, якщо існує базис простору такий, що
- для всіх .
Іншими словами, множина зводиться до трикутного вигляду, якщо існує такий базис в якому будь-який елемент множини має верхньотрикутне матричне представлення. З теореми Бернсайда випливає, що будь-яка комутативна підалгебра алгебри зводиться до трикутного вигляду. Отже, будь-яку комутуючу сім'ю в можна одночасно звести до верхньотрикутного вигляду.
Ліві ідеали
Якщо простір є алгеброю, то можна визначити [en] на : — це [en] з алгебри у простір (алгебра лінійних перетворень на алгебрі ).
Інваріантні підпростори представлення є лівими ідеалами алгебри . Лівий ідеал алгебри визначає підпредставлення алгебри на підпросторі .
Якщо підпростір є лівим (ідеалом) алгебри , то ліве регулярне представлення на підпросторі тепер переходить у представлення на векторному фактор-просторі . Якщо позначає клас еквівалентності в просторі , то . Ядром представлення є множина для всіх .
Представлення є [en] тоді й лише тоді, коли підпростір є максимальним лівим ідеалом, оскільки підпростір є інваріантним відносно тоді й лише тоді, коли його прообраз при фактор-відображенні, , є лівим ідеалом в алгебрі .
Майже інваріантні напівпростіри
З інваріантними підпросторами пов'язані так звані майже інваріантні напівпростори. Замкнений підпростір банахового простору називається майже інваріантним відносно оператора , якщо для деякого скінченновимірного підпростору ; еквівалентно, підпростір є майже інваріантним відносно оператора , якщо існує [en] такий, що , тобто, якщо підпростір інваріантний (у звичайному розумінні) відносно оператора . У цьому випадку мінімально можлива розмірність підпростору (або ранг оператора ) називається дефектом.
Зрозуміло, що будь-який скінченновимірний і скінченноковимірний підпростір є майже інваріантним відносно будь-якого оператора. Тому, щоб зробити речі нетривіальними, прийнято говорити, що підпростір є напівпростором, якщо це замкнений підпростір нескінченної розмірності та нескінченної корозмірності.
Задача майже інваріантного напівпростору полягає в тому, щоб визначити чи будь-який оператор припускає існування майже інваріантного напівпростору. У випадку комплексного поля задача вже розв'язана; тобто, якщо простір є комплексним нескінченновимірним банаховим простором і оператор , тоді оператор допускає майже інваріантний напівпростір з дефектом щонайбільше 1. Наразі невідомо, чи справедливо те саме, якщо простір є дійсним банаховим простором. Проте встановлено деякі частинні результати: наприклад, будь-який [en] у нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі допускає майже інваріантний напівпростір, як і будь-який строго сингулярний (або компактний) оператор, що діє на дійсний нескінченновимірний рефлексивний простір.
Див. також
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). An Invitation to Operator Theory. American Mathematical Society. .
- Beauzamy, Bernard (1988). Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces. North Holland.
- Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001). „Some aspects of the invariant subspace problem“. Handbook of the geometry of Banach spaces. Vol.I. Amsterdam: North-Holland. pp. 533–559.
- Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2006). Invariant Subspaces of Matrices with Applications. Classics in Applied Mathematics. Vol.51 (Reprint, with list of errata and new preface, of the 1986 Wiley ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxii+692. .
- Lyubich, Yurii I. (1988). Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups (Translated from the 1985 Russian-language ed.). Kharkov, Ukraine: Birkhäuser Verlag.
- Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). Invariant Subspaces (Update of 1973 Springer-Verlag ed.). Dover Publications. .
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici invariantnim pidprostorom linijnogo vidobrazhennya T V V displaystyle T colon V rightarrow V tobto z deyakogo vektornogo prostoru V displaystyle V u sebe nazivayetsya pidprostir W displaystyle W prostoru V displaystyle V yakij zberigayetsya pri vidobrazhenni T displaystyle T tobto T W W displaystyle T W subseteq W Zagalnij opisRozglyanemo linijne vidobrazhennya T displaystyle T T Rn Rn displaystyle T colon mathbb R n to mathbb R n Invariantnij pidprostir W displaystyle W vidobrazhennya T displaystyle T maye nastupnu vlastivist vsi vektori v W displaystyle boldsymbol v in W peretvoryuyutsya pri vidobrazhenni T displaystyle T u vektori yaki takozh nalezhat pidprostoru W displaystyle W Ce mozhna zapisati yak v W T v W displaystyle boldsymbol v in W Rightarrow T boldsymbol v in W Trivialni prikladi invariantnih pidprostoriv Rn displaystyle mathbb R n oskilki T displaystyle T vidobrazhaye bud yakij vektor z Rn displaystyle mathbb R n u vektor z Rn displaystyle mathbb R n 0 displaystyle 0 oskilki pri linijnomu vidobrazhenni 0 0 displaystyle 0 longmapsto 0 Odnovimirnij invariantnij pidprostir U displaystyle U Bazisom odnovimirnogo prostoru ye nenulovij vektor v displaystyle boldsymbol v Otzhe bud yakij vektor x U displaystyle boldsymbol x in U mozhna predstaviti yak lv displaystyle lambda boldsymbol v de l displaystyle lambda ye skalyarom Predstavimo linijne vidobrazhennya T displaystyle T yak matricyu A displaystyle A todi dlya togo shob prostir U displaystyle U buv invariantnim pidprostorom vin maye zadovolnyati umovu x U a R Ax av displaystyle forall boldsymbol x in U quad exists alpha in mathbb R colon A boldsymbol x alpha boldsymbol v Yaksho x U displaystyle boldsymbol x in U to x bv displaystyle boldsymbol x beta boldsymbol v b R displaystyle beta in mathbb R Otzhe umovu isnuvannya odnovimirnogo invariantnogo pidprostoru mozhna zapisati yak Av lv displaystyle A boldsymbol v lambda boldsymbol v de l displaystyle lambda skalyar bazovogo polya vektornogo prostoru Zauvazhimo sho ce tipove formulyuvannya zadachi na vlasni znachennya yake oznachaye sho bud yakij vlasnij vektor matrici A displaystyle A utvoryuye odnovimirnij invariantnij pidprostir vidobrazhennya T displaystyle T Formalnij opisInvariantnij pidprostir linijnogo vidobrazhennya T V V displaystyle T colon V rightarrow V z deyakogo vektornogo prostoru V displaystyle V u sebe ye pidprostorom W displaystyle W prostoru V displaystyle V takij sho T W displaystyle T W nalezhit W displaystyle W Invariantnij pidprostir vidobrazhennya T displaystyle T takozh nazivayetsya T displaystyle T invariantnim Yaksho W displaystyle W ye T displaystyle T invariantnim to mozhna obmezhiti vidobrazhennya T displaystyle T na pidprostir W displaystyle W shob otrimati nove linijne vidobrazhennya T W W W displaystyle T W colon W rightarrow W Ce linijne vidobrazhennya nazivayetsya obmezhennyam vidobrazhennya T displaystyle T na pidprostir W displaystyle W i viznachayetsya yak T W x T x displaystyle T W boldsymbol x T boldsymbol x dlya vsih x W displaystyle boldsymbol x in W Nizhche navedemo dekilka prikladiv invariantnih pidprostoriv Ochevidno sho sam prostir V displaystyle V i pidprostir 0 displaystyle 0 ye trivialno invariantnimi pidprostorami dlya bud yakogo linijnogo operatora T V V displaystyle T colon V rightarrow V Dlya deyakih linijnih operatoriv ne isnuye netrivialnogo invariantnogo pidprostoru napriklad povoroti dvovimirnogo dijsnogo vektornogo prostoru Nehaj v displaystyle boldsymbol v vlasnij vektor linijnogo vidobrazhennya T displaystyle T tobto Tv lv displaystyle T boldsymbol v lambda boldsymbol v Todi pidprostir W span v displaystyle W operatorname span boldsymbol v ye T displaystyle T invariantnim Yak naslidok osnovnoyi teoremi algebri bud yakij linijnij operator na nenulovomu skinchennovimirnomu kompleksnomu vektornomu prostori maye vlasnij vektor Otzhe bud yakij takij linijnij operator maye netrivialnij invariantnij pidprostir Tut vikoristano toj fakt sho kompleksni chisla ye algebrayichno zamknutim polem Porivnyuyuchi z poperednim prikladom mozhna pobachiti sho invariantni pidprostori linijnogo peretvorennya zalezhat vid bazovogo polya prostoru V displaystyle V Invariantnij vektor tobto neruhoma tochka vidobrazhennya T displaystyle T vidminnij vid 0 porodzhuye invariantnij pidprostir rozmirnosti 1 Vidobrazhennya T displaystyle T diye na invariantnij pidprostir rozmirnosti 1 za dopomogoyu skalyara i skladayetsya z invariantnih vektoriv todi j lishe todi koli cej skalyar dorivnyuye 1 Yak pokazuyut navedeni vishe prikladi invariantni pidprostori zadanogo linijnogo peretvorennya T displaystyle T prolivayut svitlo na strukturu vidobrazhennya T displaystyle T Yaksho prostir V displaystyle V ye skinchennovimirnim vektornim prostorom nad algebrayichno zamknenim polem to linijni peretvorennya sho diyut na prostori V displaystyle V harakterizuyutsya z tochnistyu do podibnosti zhordanovoyu normalnoyu formoyu yaka rozkladaye prostir V displaystyle V na invariantni pidprostori vidobrazhennya T displaystyle T Bagato fundamentalnih pitan shodo vidobrazhennya T displaystyle T mozhna zvesti do pitan pro invariantni pidprostori vidobrazhennya T displaystyle T Vzagali kazhuchi invariantni pidprostori viznachayutsya dlya mnozhin operatoriv yak pidprostori invariantni dlya kozhnogo operatora v mnozhini Nehaj L V displaystyle L V algebra linijnih peretvoren na prostori V displaystyle V a Lat T displaystyle operatorname Lat T simejstvo pidprostoriv invariantnih vidnosno vidobrazhennya L L V displaystyle L in L V Vikoristovuyetsya poznachennya Lat oskilki Lat T displaystyle operatorname Lat T utvoryuye gratku angl lattice div obgovorennya nizhche Dlya zadanoyi neporozhnoyi mnozhini S L V displaystyle Sigma subset L V rozglyadayutsya invariantni pidprostori invariantni vidnosno kozhnogo vidobrazhennya T S displaystyle T in Sigma U simvolnij formi Lat S T SLat T displaystyle operatorname Lat Sigma bigcap T in Sigma operatorname Lat T Napriklad yaksho S L V displaystyle Sigma L V to Lat S 0 V displaystyle operatorname Lat Sigma 0 V Dlya zadanogo predstavlennya grupi G displaystyle G na vektornomu prostori V displaystyle V mayemo linijne vidobrazhennya T g V V displaystyle T g colon V rightarrow V dlya bud yakogo elementa g displaystyle g grupi G displaystyle G Yaksho pidprostir W displaystyle W prostoru V displaystyle V ye invariantnim vidnosno vsih cih vidobrazhen to vin ye en i grupa G displaystyle G diye na pidprostir W displaystyle W prirodnim chinom Yak inshij priklad nehaj vidobrazhennya T L V displaystyle T in L V i S displaystyle Sigma ce algebra porodzhena 1 T displaystyle 1 T de 1 displaystyle 1 totozhnij operator Todi Lat T Lat S displaystyle operatorname Lat T operatorname Lat Sigma Oskilki vidobrazhennya T displaystyle T nalezhit S displaystyle Sigma trivialno to Lat S Lat T displaystyle operatorname Lat Sigma subset operatorname Lat T Z inshogo boku algebra S displaystyle Sigma skladayetsya z polinomiv vid 1 displaystyle 1 i T displaystyle T i tomu maye misce i zvorotne vklyuchennya Matrichne predstavlennyaU skinchennovimirnomu vektornomu prostori bud yake linijne peretvorennya T V V displaystyle T colon V rightarrow V mozhna predstaviti matriceyu yak tilki zafiksovano bazis prostoru V displaystyle V Nehaj W displaystyle W T displaystyle T invariantnij pidprostir Viberemo bazis C v1 vk displaystyle C v 1 dots v k pidprostoru W displaystyle W i dopovnimo jogo do bazisu B displaystyle B prostoru V displaystyle V Todi vidnosno cogo bazisu B displaystyle B matrichne predstavlennya vidobrazhennya T displaystyle T nabuvaye viglyadu T T11T120T22 displaystyle T begin bmatrix T 11 amp T 12 0 amp T 22 end bmatrix de verhnij livij blok T11 displaystyle T 11 ye obmezhennyam vidobrazhennya T displaystyle T na pidprostir W displaystyle W Inshimi slovami dlya zadanogo invariantnogo pidprostoru W displaystyle W vidobrazhennya T displaystyle T prostir V displaystyle V mozhna rozklasti u pryamu sumu V W W displaystyle V W oplus W Rozglyadayuchi linijne peretvorennya T displaystyle T yak matrichnij operator T T11T12T21T22 W W W W displaystyle T begin bmatrix T 11 amp T 12 T 21 amp T 22 end bmatrix colon begin matrix W oplus W end matrix rightarrow begin matrix W oplus W end matrix ochevidno sho blok T21 W W displaystyle T 21 colon W rightarrow W maye buti nulovim Viznachennya togo chi ye danij pidprostir W displaystyle W invariantnim vidnosno vidobrazhennya T displaystyle T ye nibito problemoyu geometrichnogo harakteru Matrichne predstavlennya dozvolyaye sformulyuvati cyu problemu algebrayichno Operator proyektuvannya P displaystyle P na pidprostir W displaystyle W viznachayetsya yak P w w w displaystyle P w w w de w W displaystyle w in W i w W displaystyle w in W Operator proyektuvannya P displaystyle P maye matrichne predstavlennya P 1000 W W W W displaystyle P begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end bmatrix colon begin matrix W oplus W end matrix rightarrow begin matrix W oplus W end matrix Bezposerednye obchislennya pokazuye sho pidprostir W ran P displaystyle W operatorname ran P obmezhennya P displaystyle P ye invariantnim vidnosno vidobrazhennya T displaystyle T todi j lishe todi koli PTP TP displaystyle PTP TP Inshimi slovami pidprostir W displaystyle W ye elementom simejstva pidprostoriv Lat T displaystyle operatorname Lat T ekvivalentno sho vidpovidna proyekciya zadovolnyaye spivvidnoshennya PTP TP displaystyle PTP TP Yaksho P displaystyle P ye proyekciyeyu tobto P2 P displaystyle P 2 P to j 1 P displaystyle 1 P takozh ye proyekciyeyu de 1 displaystyle 1 totozhnij operator Iz visheskazanogo viplivaye sho rivnist TP PT displaystyle TP PT spravdzhuyetsya todi j lishe todi koli obidva pidprostori ran P displaystyle operatorname ran P i ran 1 P displaystyle operatorname ran 1 P ye invariantnimi vidnosno vidobrazhennya T displaystyle T U comu vipadku vidobrazhennya T displaystyle T maye matrichne predstavlennya T T1100T22 Ran P Ran 1 P Ran P Ran 1 P displaystyle T begin bmatrix T 11 amp 0 0 amp T 22 end bmatrix colon begin matrix operatorname Ran P oplus operatorname Ran 1 P end matrix rightarrow begin matrix operatorname Ran P oplus operatorname Ran 1 P end matrix Inshimi slovami proyekciya yaka komutuye z vidobrazhennyam T displaystyle T diagonalizuye vidobrazhennya T displaystyle T Zadacha pro invariantnij pidprostirOsnovna stattya en Zadacha pro invariantnij pidprostir stosuyetsya vipadku koli prostir V displaystyle V ye separabelnim gilbertovim prostorom rozmirnosti gt displaystyle gt 1 nad polem kompleksnih chisel a vidobrazhennya T displaystyle T ye obmezhenim operatorom Zadacha polyagaye v tomu shob z yasuvati chi bud yake take vidobrazhennya T displaystyle T maye netrivialnij zamknutij invariantnij pidprostir Stanom na 2021 rik cya zadacha zalishayetsya vidkritoyu U bilsh zagalnomu vipadku koli prostir V displaystyle V ye banahovim prostorom isnuye priklad operatora bez invariantnogo pidprostoru en 1976 Vpershe takij en bulo otrimano en u 1985 roci Gratka invariantnogo pidprostoruDlya zadanoyi neporozhnoyi mnozhini S L V displaystyle Sigma subset L V invariantni pidprostori invariantni vidnosno kozhnogo elementa mnozhini S displaystyle Sigma utvoryuyut gratku yaku inodi nazivayut gratkoyu invariantnogo pidprostoru mnozhini S displaystyle Sigma i poznachayut yak Lat S displaystyle operatorname Lat Sigma Operaciyi gratki zadayutsya prirodnim chinom dlya S S displaystyle Sigma subset Sigma operaciya peretinu viznachayetsya yak W S W W S W displaystyle bigwedge W in Sigma W bigcap W in Sigma W todi yak operaciya ob yednannya viznachayetsya yak W S W span W S W displaystyle bigvee W in Sigma W operatorname span bigcup W in Sigma W Minimalnij element gratki Lat S displaystyle operatorname Lat Sigma nazivayetsya minimalnim invariantnim pidprostorom Osnovna teorema nekomutativnoyi algebriPodibno do togo yak osnovna teorema algebri garantuye sho bud yake linijne peretvorennya yake diye na skinchennovimirnomu kompleksnomu vektornomu prostori maye netrivialnij invariantnij pidprostir osnovna teorema nekomutativnoyi algebri stverdzhuye sho gratka Lat S displaystyle operatorname Lat Sigma mistit netrivialni elementi dlya deyakoyi mnozhini S displaystyle Sigma Teorema Bernsajd Nehaj V displaystyle V kompleksnij vektornij prostir skinchennoyi rozmirnosti Dlya kozhnoyi vlasnoyi pidalgebri S displaystyle Sigma algebri L V displaystyle L V gratka Lat S displaystyle operatorname Lat Sigma mistit netrivialnij element Teorema Bernsajda maye fundamentalne znachennya v linijnij algebri Odnim z yiyi naslidkiv ye te sho bud yaku komutuyuchu sim yu v L V displaystyle L V mozhna odnochasno zvesti do verhnotrikutnogo viglyadu Neporozhnya mnozhina S L V displaystyle Sigma subset L V nazivayetsya zvidnoyu do trikutnogo viglyadu yaksho isnuye bazis e1 en displaystyle e 1 dots e n prostoru V displaystyle V takij sho span e1 ek Lat S displaystyle operatorname span e 1 dots e k in operatorname Lat Sigma quad dlya vsih k 1 displaystyle quad k geq 1 Inshimi slovami mnozhina S displaystyle Sigma zvoditsya do trikutnogo viglyadu yaksho isnuye takij bazis v yakomu bud yakij element mnozhini S displaystyle Sigma maye verhnotrikutne matrichne predstavlennya Z teoremi Bernsajda viplivaye sho bud yaka komutativna pidalgebra S displaystyle Sigma algebri L V displaystyle L V zvoditsya do trikutnogo viglyadu Otzhe bud yaku komutuyuchu sim yu v L V displaystyle L V mozhna odnochasno zvesti do verhnotrikutnogo viglyadu Livi idealiYaksho prostir A displaystyle A ye algebroyu to mozhna viznachiti en F displaystyle Phi na A displaystyle A F a b ab displaystyle Phi a b ab ce en z algebri A displaystyle A u prostir L A displaystyle L A algebra linijnih peretvoren na algebri A displaystyle A Invariantni pidprostori predstavlennya F displaystyle Phi ye livimi idealami algebri A displaystyle A Livij ideal M displaystyle M algebri A displaystyle A viznachaye pidpredstavlennya algebri A displaystyle A na pidprostori M displaystyle M Yaksho pidprostir M displaystyle M ye livim idealom algebri A displaystyle A to live regulyarne predstavlennya F displaystyle Phi na pidprostori M displaystyle M teper perehodit u predstavlennya F displaystyle Phi na vektornomu faktor prostori A M displaystyle A M Yaksho b displaystyle b poznachaye klas ekvivalentnosti v prostori A M displaystyle A M to F a b ab displaystyle Phi a b ab Yadrom predstavlennya F displaystyle Phi ye mnozhina a A ab M displaystyle a in A ab in M dlya vsih b displaystyle b Predstavlennya F displaystyle Phi ye en todi j lishe todi koli pidprostir M displaystyle M ye maksimalnim livim idealom oskilki pidprostir V A M displaystyle V subset A M ye invariantnim vidnosno F a a A displaystyle Phi a a in A todi j lishe todi koli jogo proobraz pri faktor vidobrazhenni V M displaystyle V M ye livim idealom v algebri A displaystyle A Majzhe invariantni napivprostiriZ invariantnimi pidprostorami pov yazani tak zvani majzhe invariantni napivprostori Zamknenij pidprostir Y displaystyle Y banahovogo prostoru X displaystyle X nazivayetsya majzhe invariantnim vidnosno operatora T B X displaystyle T in mathcal B X yaksho TY Y E displaystyle TY subseteq Y E dlya deyakogo skinchennovimirnogo pidprostoru E displaystyle E ekvivalentno pidprostir Y displaystyle Y ye majzhe invariantnim vidnosno operatora T displaystyle T yaksho isnuye en F B X displaystyle F in mathcal B X takij sho T F Y Y displaystyle T F Y subseteq Y tobto yaksho pidprostir Y displaystyle Y invariantnij u zvichajnomu rozuminni vidnosno operatora T F displaystyle T F U comu vipadku minimalno mozhliva rozmirnist pidprostoru E displaystyle E abo rang operatora F displaystyle F nazivayetsya defektom Zrozumilo sho bud yakij skinchennovimirnij i skinchennokovimirnij pidprostir ye majzhe invariantnim vidnosno bud yakogo operatora Tomu shob zrobiti rechi netrivialnimi prijnyato govoriti sho pidprostir Y displaystyle Y ye napivprostorom yaksho ce zamknenij pidprostir neskinchennoyi rozmirnosti ta neskinchennoyi korozmirnosti Zadacha majzhe invariantnogo napivprostoru polyagaye v tomu shob viznachiti chi bud yakij operator pripuskaye isnuvannya majzhe invariantnogo napivprostoru U vipadku kompleksnogo polya zadacha vzhe rozv yazana tobto yaksho prostir X displaystyle X ye kompleksnim neskinchennovimirnim banahovim prostorom i operator T B X displaystyle T in mathcal B X todi operator T displaystyle T dopuskaye majzhe invariantnij napivprostir z defektom shonajbilshe 1 Narazi nevidomo chi spravedlivo te same yaksho prostir X displaystyle X ye dijsnim banahovim prostorom Prote vstanovleno deyaki chastinni rezultati napriklad bud yakij en u neskinchennovimirnomu dijsnomu gilbertovomu prostori dopuskaye majzhe invariantnij napivprostir yak i bud yakij strogo singulyarnij abo kompaktnij operator sho diye na dijsnij neskinchennovimirnij refleksivnij prostir Div takozhInvariantnist Invariantnij mnogovidDzherelaGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Abramovich Yuri A Aliprantis Charalambos D 2002 An Invitation to Operator Theory American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 2146 6 Beauzamy Bernard 1988 Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces North Holland Enflo Per Lomonosov Victor 2001 Some aspects of the invariant subspace problem Handbook of the geometry of Banach spaces Vol I Amsterdam North Holland pp 533 559 Gohberg Israel Lancaster Peter Rodman Leiba 2006 Invariant Subspaces of Matrices with Applications Classics in Applied Mathematics Vol 51 Reprint with list of errata and new preface of the 1986 Wiley ed Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM pp xxii 692 ISBN 978 0 89871 608 5 Lyubich Yurii I 1988 Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups Translated from the 1985 Russian language ed Kharkov Ukraine Birkhauser Verlag Radjavi Heydar Rosenthal Peter 2003 Invariant Subspaces Update of 1973 Springer Verlag ed Dover Publications ISBN 0 486 42822 2 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi