Вільний добуток

У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології.

Означення

Вільним добутком множини груп ${\displaystyle G_{i},\;i\in I}$, називається група ${\displaystyle G}$, породжена елементами груп ${\displaystyle G_{i}}$.

Кожен елемент вільного добутку ${\displaystyle G}$, що не дорівнює одиниці єдиним чином можна записати у вигляді нескоротного слова ${\displaystyle g_{i_{1}}g_{i_{2}}\cdots g_{i_{k}}}$, де кожен елемент ${\displaystyle g_{i_{j}}}$ є неодиничним елементом деякої групи ${\displaystyle G_{i}}$ і два сусідні елементи в слові належать різним групам. Добутком при цьому є слово, що отримується внаслідок конкатенації двох слів і подальшого зведення. Зведення полягає в тому, що якщо в слові зустрічаються підряд два елемента, що належать одній групі ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G_{i}}$ то вони заміняються своїм добутком у групі якій вони належать. Якщо добутком є одиничний елемент то його треба вилучити. Одиницею в групі можна вважати пусту стрічку.

Для позначення вільного добутку використовується знак ${\displaystyle *}$, наприклад ${\displaystyle G=\coprod _{i\in I}*G_{i}}$ або ${\displaystyle G=G_{1}*G_{2}*\ldots *G_{n}}$для скінченної множини ${\displaystyle I}$.

Нехай ${\displaystyle G,H}$ - групи. Розгляньмо множину ${\displaystyle {\overline {G*H}}}$, яка складається з ланцюжків (слів) вигляду ${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n},}$ де ${\displaystyle g_{i}\in G,\,\,h_{i}\in H.}$ Розгляньмо відношення еквівалентності, породжене співвідношеннями

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n},}$

якщо ${\displaystyle h_{i}=1,}$ та

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}...g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}h_{i+1}g_{i+2}...g_{n}h_{n},}$

якщо ${\displaystyle g_{i+1}=1.}$ Іншими словами, у кожному слові усі комбінації виду ${\displaystyle g_{1}1g_{2}}$ можна замінити на ${\displaystyle g_{1}g_{2},}$ a ${\displaystyle h_{1}1h_{2}}$ на ${\displaystyle h_{1}h_{2}.}$ Множина класів еквівалентності позначається ${\displaystyle G*H.}$ Слова можна множити:

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}\cdot g_{1}'h_{1}'g_{2}'h_{2}'...g_{n'}'h_{n'}':=g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}g_{1}'h_{1}'g_{2}'h_{2}'...g_{n'}'h_{n'}'.}$

Такий добуток є асоціативним. Таким чином,

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n}h_{n}^{-1}g_{n}^{-1}...h_{2}^{-1}g_{2}^{-1}h_{1}^{-1}g_{1}^{-1}=1,}$

відповідно, ${\displaystyle G*H}$ - це група. Група ${\displaystyle G*H}$ є вільним добутком (амальгамою, або кодобутком) груп ${\displaystyle G,H.}$

Нехай тепер ${\displaystyle {\overline {\coprod _{i}G_{\alpha }}},\,\,\alpha \in I,}$ складається із слів вигляду ${\displaystyle g_{1}g_{2}g_{3}...g_{n},}$ складених з букв ${\displaystyle g_{i}\in G_{\alpha _{i}}}$. Відношення еквівалентності, породжене даними відношеннями

${\displaystyle g_{1}g_{2}...g_{i}g_{i+1}g_{i+2}...g_{n}\sim g_{1}g_{2}...g_{i}g_{i+2}...g_{n},}$

якщо ${\displaystyle g_{i}=1}$ (можна викинути із слова букву ${\displaystyle g_{i+1},}$ якщо ${\displaystyle g_{i+1}=1}$), та

${\displaystyle g_{1}g_{2}...g_{i-1}g_{i}g_{i+1}g_{i+2}...g_{n}\sim g_{1}g_{2}...g_{i-1}(g_{i}g_{i+1})g_{i+2}....g_{n},}$

якщо ${\displaystyle g_{i},g_{i+1}\in G_{\alpha }}$ (можна згрупувати послідовно розташовані букви ${\displaystyle g_{i},g_{i+1}}$ у ${\displaystyle (g_{i}g_{i+1}),}$ якщо вони обидві належать одній і тій самій групі ${\displaystyle G_{\alpha }}$).

Добуток на зворотний елемент у

${\displaystyle \coprod _{\alpha }G_{\alpha }:={\overline {\coprod _{\alpha }G_{\alpha }}}/\sim }$

визначаються тими самими формулами, що й для ${\displaystyle G*H}$.

За допомогою задання груп

Конструкція вільного добутку є важливою у вивченні груп, заданих множиною породжуючих елементів і визначальних співвідношень. У цих термінах вільний добуток може бути визначений в такий спосіб.

Нехай кожна група ${\displaystyle G_{i}}$ задана множинами ${\displaystyle R_{G_{i}}}$ породжуючих елементів і ${\displaystyle S_{G_{i}}}$ визначальних співвідношень ${\displaystyle G_{i}=\langle R_{G_{i}}\mid S_{G_{i}}\rangle .}$ Нехай також ${\displaystyle R_{G_{i}}\cap R_{G_{j}}=\emptyset ,\;i\neq j.}$

Тоді вільний добуток цих груп може бути заданий як ${\displaystyle G=\langle \cup _{i\in I}R_{G_{i}}\mid \cup _{i\in I}S_{G_{i}}\rangle }$ тобто множинами породжуючих елементів і визначальних співвідношень є об'єднанням відповідних множин добутків.

Приклади

Якщо G є циклічною групою порядку 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

і H є циклічною групою порядку 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Тоді група G ∗ H є нескінченною групою заданою як

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Оскільки у вільній групі немає визначальних співвідношень, то вільний добуток довільної множини вільних груп теж є вільною групою. Зокрема,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

де F_n позначає вільну групу з n породжуючими елементами.

Модулярна група ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$ є ізоморфною вільному добутку двох циклічних груп:

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2)\ast (\mathbf {Z} /3).}$

Вільний добуток ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ є ізоморфним нескінченній групі діедра ${\displaystyle D_{\infty }}$.

Властивості

• Будь-яка сім'я гомоморфізмів ${\displaystyle \{\varphi _{i}:G_{i}\to H\}_{i\in I}}$ груп ${\displaystyle G_{i}}$ в будь-яку групу ${\displaystyle H}$ однозначно продовжується до гомоморфізму ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ для якого ${\displaystyle \varphi \circ h_{i}=\varphi _{i},}$ де ${\displaystyle h_{i}:G_{i}\to G}$ позначає вкладення підгрупи ${\displaystyle G_{i}}$ в групу ${\displaystyle G}$. Дана властивість є універсальною: якщо для деякої групи ${\displaystyle G}$ і множини її підгруп ${\displaystyle G_{i}}$ виконується дана властивість, то група ${\displaystyle G}$ є вільним добутком множини груп ${\displaystyle G_{i}}$.

• Будь-яка підгрупа вільного добутку ${\displaystyle G}$ сама розкладається у вільний добуток своїх підгруп, з яких деякі є нескінченними циклічними, а кожна з інших є спряженою з деякою підгрупою якої-небудь групи ${\displaystyle G_{i}}$, що входить у вільний розклад групи ${\displaystyle G}$. Дане твердження називається теоремою Куроша.

Вільний добуток з амальгамацією

Вільний добуток з амальгамацією є узагальненням вільного добутку. Нехай G і H групи і

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G,\;\;\psi :F\rightarrow H,}$

позначають гомоморфізми з деякої групи F. Вільний добуток з амальгамацією задається в той же спосіб, що і G ∗ H проте до множини визначальних співвідношень додаються також співвідношення виду

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

для кожного елемента f групи F.

Аналогічно можна ввести добуток з амальгамацією для довільної множини добутків.

Див. також

• Задання групи

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Магнус В., Каррас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., Москва, 1974.
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)

Посилання

• Free product на PlanetMath
• Free product with amalgamated subgroup на PlanetMath

Примітки

1. Вербицкий Михаил Сергеевич - Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы, сторінки 321-322.