Дотичний простір Зариського

Дотичний простір Зариського — загальне означення в алгебраїчній геометрії, що дозволяє узагальнити дотичний простір в точці алгебраїчного многовида на більш абстрактні об'єкти, зокрема квазіпроективні многовиди, абстрактні алгебричні многовиди і схеми. Дотичні простори Зариського визначені на довільних локальних кільцях і для їх означення використовуються не методи диференціальної геометрії, а тільки методи абстрактної, і, в більш конкретних ситуаціях, лінійної алгебри.

Дотичні простори афіниих многовидів і мотивація загального означення

Дотичний простір в точці x афінного многовида X можна означити як сукупність прямих, що проходять через x і є дотичними до ${\displaystyle X\subset A^{n}.}$ На афінному просторі ${\displaystyle A^{n}}$ можна ввести координати так, що точка x буде на початку координат. Тоді рівняння прямих, що проходять через x = 0 можна записати як ${\displaystyle L=\{ta,\;\;t\in K\},}$ де K алгебрично замкнуте поле над яким визначені всі простори і многовиди, а ${\displaystyle a\in A^{n}}$ — деяка точка афінного простору, яка визначає дану пряму.

Нехай X заданий системою рівнянь ${\displaystyle F_{1}=...=F_{m}=0,}$ де многочлени у цих рівняннях породжують ідеал многовида X.

Множина перетинів прямої L з многовидом X визначиться тоді рівняннями ${\displaystyle F_{1}(ta)=...=F_{m}(ta)=0.}$ Значення параметра t, що визначають точки перетину прямої з многовидом є коренями найбільшого спільного дільника ${\displaystyle F_{1}(ta),...,F_{m}(ta)}$ як многочленів від t. Згідно з означень t = 0 є одним з коренів.

Пряма L називається дотичною до многовида X, якщо кратність кореня t = 0 у попередніх рівняннях є більшою 1. Множина всіх точок ${\displaystyle y\in A^{n},}$ що належать деяким дотичним прямим до точки x називається дотичним простором до многовида X у точці x.

Дотичний простір можна описати також через систему лінійних рівнянь. Для цього треба ввести оператор ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!F=\sum _{i=1}^{n}{\partial F \over \partial T_{i}}(x)(T_{i}-x_{i})}$, який є оператором диференціювання, що кожному многочлену від змінних ${\displaystyle T_{i}}$ присвоює лінійну частину розкладу в ряд Тейлора в точці ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n}).}$ Тоді з означень дотичного простору в точці x, легко отримати, що цей простір є множиною точок ${\displaystyle y\in A^{n},}$ що задовольняють систему рівнянь:

${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!F_{1}(y)=...=\operatorname {d} _{x}\!F_{m}(y)=0.}$

Для довільного многочлена ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}F}$ можна вважати лінійною формою на ${\displaystyle A^{n}}$. Окрім того, якщо многочлен ${\displaystyle F}$ належить ідеалу, що задає многовид X, то, як неважко перевірити, значення ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}F}$ на всіх точках дотичного простору до многовида X у точці x є рівним нулю. Тому ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}}$ задає відображення з кільця ${\displaystyle K[X]}$ (координатного кільця) многовида X у множину всіх лінійних форм на дотичному просторі у точці x. Окрім того це відображення можна обмежити на максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — множину всіх елементів ${\displaystyle K[X]}$, що не рівні 0 в точці x. Це відображення буде сюр'єктивним і його ядро складатиметься з елементів, запис яких в ряд Тейлора не матиме лінійних доданків. Всі такі елементи, очевидно, містяться в ідеалі ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ і тому ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}}$ визначає ізоморфізм між ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ і множиною лінійних форм на дотичному просторі (тобто кодотичним простором). Це дозволяє ввести поняття дотичного і кодотичного просторів інваріантно лише в алгебричних термінах за допомогою простору ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$.

Окрім того якщо ${\displaystyle R:=K[X]_{\mathfrak {m}}}$ — локалізація кільця ${\displaystyle K[X]}$ по максимальному ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ і ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}K[X]_{\mathfrak {m}}}$ — максимальний ідеал кільця R, то узагальнивши оператор диференціювання як ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\left({F \over G}\right)={G(x)\operatorname {d} _{x}F-F(x)\operatorname {d} _{x}G \over G^{2}(x)},\quad G(x)\neq 0,}$ теж отримуємо ізоморфізм між ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {m}}}/{\bar {\mathfrak {m}}}^{2}}$ і кодотичним простором. Відповідно кодотичний простір можна ідентифікувати з ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {m}}}/{\bar {\mathfrak {m}}}^{2}}$ і узагальнити це означення для більш широкого класу об'єктів. Саме такі означення дотичного простору і дав Оскар Зариський.

Означення

Кодотичний простір локального кільця ${\displaystyle R}$ з максимальним ідеалом m за означенням є векторним простором

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

де m² — добуток ідеалів. Кодотичний простір є векторним простором над полем ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$. Векторний простір, до нього, називається дотичним простором R.

Дотичні і кодотичні простори кільця ${\displaystyle R}$ позначаються ${\displaystyle \Theta _{R}}$ і ${\displaystyle \Theta _{R}^{*}}$ відповідно.

Морфізми дотичних і кодотичних просторів

Якщо ${\displaystyle R,S}$ — локальні нетерові кільця з максимальними ідеалами ${\displaystyle {\mathfrak {m}},{\mathfrak {n}}}$ і ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ — локальний гомоморфізм кілець (тобто ${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {n}}}$), то цей гомоморфізм породжує гомоморфізм полів ${\displaystyle {\bar {\varphi }}:R/{\mathfrak {m}}\to S/{\mathfrak {n}}}$ і гомоморфізм кодотичних просторів ${\displaystyle \operatorname {d} ^{*}\varphi :\Theta _{R}^{*}\to \Theta _{S}^{*}.}$ Якщо також ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$ є ізоморфізмом полів, то також він породжує гомоморфізм дотичних просторів ${\displaystyle \operatorname {d} \varphi :\Theta _{S}\to \Theta _{R}.}$

Зокрема гомоморфізм дотичних просторів є визначеним, якщо ${\displaystyle R,S}$ — локальні кільця в точках алгебричних многовидів і гомоморфізм між ними породжується морфізмом ${\displaystyle f}$ відповідних алгебричних многовидів, що переводить одну точку в іншу. Тоді морфізми дотичних і кодотичних просторів в точці p також позначаються ${\displaystyle \operatorname {d} _{p}f}$ і ${\displaystyle \operatorname {d} _{p}^{*}f.}$

Означення за допомогою диференцівань

Якщо кільце ${\displaystyle R}$ містить підполе представників поля ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$, тобто підполе ${\displaystyle k'\subset R,}$ таке що ${\displaystyle k=\{\lambda +{\mathfrak {m}}\;|\;\lambda \in k'\}}$, то ототожнюючи ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle k'}$ можна записати, що ${\displaystyle R=k\oplus {\mathfrak {m}}}$, тобто кожен елемент ${\displaystyle a\in R}$ може бути однозначно записаним як ${\displaystyle a=a_{1}+m_{a},\quad a_{1}\in k,\;m_{a}\in {\mathfrak {m}}.}$

Якщо позначити ${\displaystyle \operatorname {d} a}$ клас елемента ${\displaystyle m_{a}}$ у кодотичному просторі ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},}$ то відображення ${\displaystyle \operatorname {d} }$ є диференціальним оператором, тобто задовольняє умови ${\displaystyle \operatorname {d} (a+b)=\operatorname {d} a+\operatorname {d} b,\quad \operatorname {d} (\lambda a)=\lambda \operatorname {d} a,\;\;\lambda \in k}$ і ${\displaystyle \operatorname {d} (ab)=\operatorname {d} (a)b+a\operatorname {d} (b).}$

Оскільки елементи дотичного простору можна інтерпретувати як лінійні форми на кодотичному просторі то для ${\displaystyle \nu \in \Theta _{R}}$ відображення ${\displaystyle D_{\nu }:a\to \nu (\operatorname {da} )}$є диференціюванням з кільця ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle k}$. До того ж кожне диференціювання з кільця ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle k}$ породжується деяким елементом дотичного простору і до того ж тільки одним. Таким чином елементи дтичного простору можна ідентифікувати з диференціюваннями з кільця ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle k}$, тобто для цього випадку дати еквівалентне означення дотичного простору:

Якщо кільце ${\displaystyle R}$ містить підполе представників поля ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$ то дотичний простір за означенням це множина усіх диференціювань з кільця ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle k}$.

Дотичний простір до схеми в точці

Дотичний простір ${\displaystyle T_{P}(X)}$ і кодотичний простір ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ до схеми x в точці P це (ко)дотичний простір локального кільця ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$. Завдяки функторіальності Spec, природне відображення факторизації ${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$ індукує гомоморфізм ${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$, де x = Spec(R), P — точка Y = Spec(R/I). Цей гомоморфізм часто використовують для вкладення ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ в ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$ (наприклад , дотичний простір многовида, вкладеного в афінний простір, природним чином вкладається в дотичний простір афінного простору). Так як морфізм полів є ін'єктивним, сюр'єкція полів часток, індукована g, є ізоморфізмом. Таким чином, g індукує морфізм k дотичних просторів, оскільки

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Так як k є сюр'єктивним (є гомоморфізмом факторизації), то двоїсте лінійне відображення ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$ ін'єкцією (є вкладенням).

Аналітичний випадок

Якщо V — підмноговид n-вимірного векторного простору, заданий ідеалом I (ідеалом функцій, рівних нулю на цьому многовиді), кільцю R відповідає кільце F_n/I, де F_n — кільце ростків гладких/аналітичних/голоморфних функцій на векторному просторі, I — ростки функцій з ідеалу. Тоді дотичний простір Зариського в точці x —

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ — ідеал функцій відповідного типу, рівних нулю в точці x.

Властивості

Якщо R — нетерове локальне кільце, розмірність дотичного простору не менша розмірності R:

${\displaystyle \mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.}$

R називається регулярним кільцем, якщо виконується рівність. Якщо локальне кільце многовида V в точці x є регулярним, кажуть, що x — регулярна точка многовида. В іншому випадку x називається особливою точкою.

Існує інтерпретація дотичного простору за допомогою гомоморфізмів в кільце дуальних чисел ${\displaystyle k[t]/(t^{2}).}$ Мовою схем, морфізм з Spec k[t]/t² в схему x над k відповідає вибору раціональної точки x ∈ X(k) (точки з координатами з поля k) і елемента дотичного простору в точці x. Таким чином, ці морфізми має сенс називати дотичними векторами .

Примітки

1. Eisenbud, 1998, I.2.2, pg. 26
2. Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Spring 2011 [ 19 лютого 2018 у Wayback Machine.] Lecture 5
3. Hartshorne, 1977, Exercise II 2.8

Література

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — .
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.1-2, Москва: Наука, 1988. (рос.)

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
• Zariski tangent space [ 5 грудня 2014 у Wayback Machine.]. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.