Група Кліфорда

У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.

Означення

Нехай K є деяким полем, V — скінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)}$ позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)}$ — групу оборотних елементів цієї алгебри.

Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення ${\displaystyle \alpha }$ на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.

Для ${\displaystyle x\in \operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)}$ можна ввести лінійне відображення ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}}$ задане як ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}(v)=xv\alpha (x)^{-1}.}$

Якщо ${\displaystyle x\in V}$ є анізотропним елементом (тобто ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, ${\displaystyle \alpha (x)=-x}$ і ${\displaystyle \alpha (x)^{-1}=-{x \over Q(x)}}$. Тоді ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}(x)=-x.}$ Якщо ж вектор ${\displaystyle v\in V}$ є ортогональним до ${\displaystyle x}$, то для добутку Кліффорда ${\displaystyle xv=-vx}$ і ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}(v)={xxv \over Q(x)}=v.}$ Тобто у цьому випадку звуження ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}}$ на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до ${\displaystyle x}$. Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо ${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}}$. Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.

Група Кліфорда ${\displaystyle \Gamma \,}$ є за означенням множиною оборотних елементів ${\displaystyle x\in \operatorname {Cl} ^{*}(V,Q)}$ алгебри Кліфорда для яких

${\displaystyle \operatorname {Ad} '_{x}(v)=xv\alpha (x)^{-1}\in V\,}$, для всіх ${\displaystyle v\in V.}$

Спеціальна група Кліфорда (позначається ${\displaystyle S\Gamma \,}$ або ${\displaystyle \Gamma ^{0}}$) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.

Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм ${\displaystyle \operatorname {Ad} '(x)}$ групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.

Властивості

Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.

• Якщо елемент ${\displaystyle x\in \Gamma }$ то і ${\displaystyle x^{t}\in \Gamma }$
• Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як ${\displaystyle N(x)=x^{t}x\,}$ то ${\displaystyle N(x)\in \operatorname {Ker} (\operatorname {Ad} ')}$ для ${\displaystyle x\in \Gamma .}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ker} (\operatorname {Ad} ')=K^{*}}$ тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K^*.
• Образом групи Кліфорда при відображенні ${\displaystyle \operatorname {Ad} '}$ є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні ${\displaystyle \operatorname {Ad} '}$ є спеціальна ортогональна група.

Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для ${\displaystyle v\in V}$ спінорна норма ${\displaystyle N(v)}$ є рівною ${\displaystyle Q(v)}$ і для всіх ${\displaystyle x\in \Gamma }$ також ${\displaystyle N(x)\in K^{*}.}$ Тоді, якщо ${\displaystyle w=\operatorname {Ad} '(x)v}$ то ${\displaystyle Q(w)=N(w)=N(xv\alpha (x)^{-1})=N(x)N(v)N(\alpha (x)^{-1})=N(v)=Q(v).}$ Тобто ${\displaystyle \operatorname {Ad} '(x)}$ є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать ${\displaystyle \operatorname {Ad} '(\Gamma )}$ і згідно теореми Картана — Д'єдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то ${\displaystyle \operatorname {Ad} '}$ є сюр'єктивним.

• На основі попередніх властивостей одержуються точні послідовності:

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow O_{V}(K)\rightarrow 1,\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow 1.\,}$

• Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.

Див. також

• Алгебра Кліфорда
• Ортогональна група
• Спеціальна ортогональна група
• Спінорна група

Література

• Garling, D. J. H. (2011), Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, т. 78, Cambridge University Press, ISBN , Zbl 1235.15025