Скінченнопородженим модулем над асоціативним кільцем називається такий модуль, який породжується скінченною кількістю своїх елементів. Наприклад, для правого модуля це означає, що існує скінченна множина елементів таких, що будь-який елемент з рівний сумі , де — елементи кільця .
Еквівалентно скінченнопороджені модулі можна визначити такими умовами:
- Для будь-якої сім'ї підмодулів {Ni | i ∈ I} модуля M, якщо , то для деякої скінченної підмножини F множиниI.
- Для будь-якої лінійно впорядкованої множини підмодулів {Ni | i ∈ I} вM, якщо , тоді Ni = M для деякого i в I.
- Якщо є епіморфізмом, тоді для деякої скінченної підмножини F множини I теж є епіморфізмом.
Серед властивостей, тісно пов'язаних з скінченною породженістю — скінченне представлення, скінченна зв'язність і когерентність модуля. Над нетеровим кільцем всі чотири властивості є еквівалентними.
Скінченнопороджені модулі над полем є скінченновимірними .
Приклади
- Якщо модуль породжується лише одним елементом то він називається циклічним молулем.
- Якщо R є областю цілісності і K його полем часток то кожен скінченнопороджений R-підмодуль I поля K є дробовим ідеалом: тобто існує елемент r в кільці R такий що rI є підмножиною R. Справді за елемент r можна взяти добуток знаменників всіх генераторів I. Якщо R є нетеровим кільцем, то кожен дробовий ідеал одержується в цей спосіб.
- Скінченнопородженими модулями над кільцем цілих чисел Z скінченнопороджені абелеві групи.
- Скінченнопородженими модулями над тілом є скінченновимірні векторні простори над тілом.
Властивості
Образ скінченнопородженого модуля при також є скінченнопородженим модулем. У загальному випадку, підмодулі скінченнопородженого модуля не обов'язково є скінченнопородженими. Наприклад, розглянемо кільце R = Z[x1, x2...] многочленів від нескінченного числа змінних. Це кільце є скінченнопородженим Z-модуль. Розглянемо його підмодуль (тобто ідеал), що складається з усіх многочленів з нульовим коефіцієнтом при константі. Якби у цього модуля була скінченна породжуюча множина, то кожен одночлен xi мав би міститися в одному з многочленів цієї множини, що неможливо.
Модуль називається нетеровим, якщо будь-який його підмодуль є скінченнопородженим. Більш того, модуль над нетеровим кільцем є скінченнопородженим тоді і тільки тоді, коли він є нетеровим.
Нехай 0 → M′ → M → M′′ → 0 — точна послідовність модулів. Якщо M′ и M′′ тут скінченно породжені, то і M є скінченнопородженим. Вірні і деякі твердження, частково обернені до даного. Якщо M є скінченнопородженим і M'' скінченнопредставленим (це більш сильне умова, ніж скінченнопородженісь), то M′ є скінченнопородженим.
В комутативній алгебрі існує певний зв'язок між скінченною породженістю і цілими елементами. Комутативна алгебра A над R називається скінченнопородженою над R, якщо існує скінченна множина її елементів, така, що A є найменшим підкільцем A, що містить R і ці елементи. Це більш слабка умова, ніж скінченнопородженість: наприклад, алгебра многочленів R[x] — скінченнопороджена алгебра, але не скінченнопороджений модуль. Наступні твердження еквівалентні :
- A — скінченнопороджений модуль;
- A — скінченнопороджена алгебра, що є цілим розширенням R.
Скінченнопредставлені, скінченнопов'язані і когерентні модулі
Властивість скінченної породженості можна сформулювати так: скінченнопороджений модуль M — це модуль, для якого існує епіморфізм
- f : Rk → M.
Розглянемо тепер епіморфізм
- φ : F → M
з вільного модуля F в M.
- Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим, M називається скінченнопов'язаним модулем. Оскільки M є ізоморфним F/ker(φ), цю властивість можна виразити наступними словами: M одержується з вільного модуля додаванням скінченної кількості співвідношень.
- Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим і ранг модуля F є скінченним, M називається скінченнопредставленим модулем. Тут у M є скінченна кількість генераторів (образи генераторів F) і скінченна кількість (генераторів ker(φ)).
- Когерентний модуль — це скінченнопороджений модуль, все скінченнопороджені підмодулі якого є скінченнопредставленими.
Якщо основне кільце R нетеровим, всі чотири умови еквівалентні.
Хоча умова когерентності здається більш «громіздкою», ніж умови скінченної пов'язаності і представленості, вона також є важливою, тому що категорія когерентних модулів є абелевою, на відміну від категорії скінченнопороджених або скінченнопредставлених модулів.
Примітки
- Kaplansky, 1970, с. 11, Theorem 17.
Джерела
- Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., с. ix+128, MR 0242802 (39 #4129)
{{}}
: Перевірте значення|mr=
() - Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp.
- Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., с. x+180, MR 0254021
- Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN
- Lang, Serge (1997), Algebra (вид. 3rd), Addison-Wesley, ISBN
- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Translated from the Japanese by M. Reid (вид. 2), Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+320, ISBN , MR 1011461 (90i:13001)
{{}}
: Перевірте значення|mr=
() - Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, т. 585, Springer.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Skinchennoporodzhenim modulem M displaystyle M nad asociativnim kilcem R displaystyle R nazivayetsya takij modul yakij porodzhuyetsya skinchennoyu kilkistyu svoyih elementiv Napriklad dlya pravogo modulya ce oznachaye sho isnuye skinchenna mnozhina elementiv m 1 m 2 m n M displaystyle m 1 m 2 ldots m n in M takih sho bud yakij element z M displaystyle M rivnij sumi m 1 a 1 m 2 a 2 m n a n displaystyle m 1 a 1 m 2 a 2 ldots m n a n de a 1 a 2 a n R displaystyle a 1 a 2 ldots a n in R elementi kilcya R displaystyle R Ekvivalentno skinchennoporodzheni moduli mozhna viznachiti takimi umovami Dlya bud yakoyi sim yi pidmoduliv Ni i I modulya M yaksho i I N i M displaystyle sum i in I N i M to i F N i M displaystyle sum i in F N i M dlya deyakoyi skinchennoyi pidmnozhini F mnozhiniI Dlya bud yakoyi linijno vporyadkovanoyi mnozhini pidmoduliv Ni i I vM yaksho i I N i M displaystyle bigcup i in I N i M todi Ni M dlya deyakogo i v I Yaksho ϕ i I R M displaystyle phi bigoplus i in I R to M ye epimorfizmom todi dlya deyakoyi skinchennoyi pidmnozhini F mnozhini I ϕ i F R M displaystyle phi bigoplus i in F R to M tezh ye epimorfizmom Sered vlastivostej tisno pov yazanih z skinchennoyu porodzhenistyu skinchenne predstavlennya skinchenna zv yaznist i kogerentnist modulya Nad neterovim kilcem vsi chotiri vlastivosti ye ekvivalentnimi Skinchennoporodzheni moduli nad polem ye skinchennovimirnimi PrikladiYaksho modul porodzhuyetsya lishe odnim elementom to vin nazivayetsya ciklichnim molulem Yaksho R ye oblastyu cilisnosti i K jogo polem chastok to kozhen skinchennoporodzhenij R pidmodul I polya K ye drobovim idealom tobto isnuye element r v kilci R takij sho rI ye pidmnozhinoyu R Spravdi za element r mozhna vzyati dobutok znamennikiv vsih generatoriv I Yaksho R ye neterovim kilcem to kozhen drobovij ideal oderzhuyetsya v cej sposib Skinchennoporodzhenimi modulyami nad kilcem cilih chisel Z skinchennoporodzheni abelevi grupi Skinchennoporodzhenimi modulyami nad tilom ye skinchennovimirni vektorni prostori nad tilom VlastivostiObraz skinchennoporodzhenogo modulya pri takozh ye skinchennoporodzhenim modulem U zagalnomu vipadku pidmoduli skinchennoporodzhenogo modulya ne obov yazkovo ye skinchennoporodzhenimi Napriklad rozglyanemo kilce R Z x1 x2 mnogochleniv vid neskinchennogo chisla zminnih Ce kilce ye skinchennoporodzhenim Z modul Rozglyanemo jogo pidmodul tobto ideal sho skladayetsya z usih mnogochleniv z nulovim koeficiyentom pri konstanti Yakbi u cogo modulya bula skinchenna porodzhuyucha mnozhina to kozhen odnochlen xi mav bi mistitisya v odnomu z mnogochleniv ciyeyi mnozhini sho nemozhlivo Modul nazivayetsya neterovim yaksho bud yakij jogo pidmodul ye skinchennoporodzhenim Bilsh togo modul nad neterovim kilcem ye skinchennoporodzhenim todi i tilki todi koli vin ye neterovim Nehaj 0 M M M 0 tochna poslidovnist moduliv Yaksho M i M tut skinchenno porodzheni to i M ye skinchennoporodzhenim Virni i deyaki tverdzhennya chastkovo oberneni do danogo Yaksho M ye skinchennoporodzhenim i M skinchennopredstavlenim ce bilsh silne umova nizh skinchennoporodzhenis to M ye skinchennoporodzhenim V komutativnij algebri isnuye pevnij zv yazok mizh skinchennoyu porodzhenistyu i cilimi elementami Komutativna algebra A nad R nazivayetsya skinchennoporodzhenoyu nad R yaksho isnuye skinchenna mnozhina yiyi elementiv taka sho A ye najmenshim pidkilcem A sho mistit R i ci elementi Ce bilsh slabka umova nizh skinchennoporodzhenist napriklad algebra mnogochleniv R x skinchennoporodzhena algebra ale ne skinchennoporodzhenij modul Nastupni tverdzhennya ekvivalentni A skinchennoporodzhenij modul A skinchennoporodzhena algebra sho ye cilim rozshirennyam R Skinchennopredstavleni skinchennopov yazani i kogerentni moduliVlastivist skinchennoyi porodzhenosti mozhna sformulyuvati tak skinchennoporodzhenij modul M ce modul dlya yakogo isnuye epimorfizm f Rk M Rozglyanemo teper epimorfizm f F M z vilnogo modulya F v M Yaksho yadro epimorfizma f ye skinchennoporodzhenim M nazivayetsya skinchennopov yazanim modulem Oskilki M ye izomorfnim F ker f cyu vlastivist mozhna viraziti nastupnimi slovami M oderzhuyetsya z vilnogo modulya dodavannyam skinchennoyi kilkosti spivvidnoshen Yaksho yadro epimorfizma f ye skinchennoporodzhenim i rang modulya F ye skinchennim M nazivayetsya skinchennopredstavlenim modulem Tut u M ye skinchenna kilkist generatoriv obrazi generatoriv F i skinchenna kilkist generatoriv ker f Kogerentnij modul ce skinchennoporodzhenij modul vse skinchennoporodzheni pidmoduli yakogo ye skinchennopredstavlenimi Yaksho osnovne kilce R neterovim vsi chotiri umovi ekvivalentni Hocha umova kogerentnosti zdayetsya bilsh gromizdkoyu nizh umovi skinchennoyi pov yazanosti i predstavlenosti vona takozh ye vazhlivoyu tomu sho kategoriya kogerentnih moduliv ye abelevoyu na vidminu vid kategoriyi skinchennoporodzhenih abo skinchennopredstavlenih moduliv PrimitkiKaplansky 1970 s 11 Theorem 17 DzherelaAtiyah M F Macdonald I G 1969 Introduction to commutative algebra Addison Wesley Publishing Co Reading Mass London Don Mills Ont s ix 128 MR 0242802 39 4129 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Citation title Shablon Citation citation a Perevirte znachennya mr dovidka Bourbaki Nicolas Commutative algebra Chapters 1 7 Translated from the French Reprint of the 1989 English translation Elements of Mathematics Berlin Springer Verlag Berlin 1998 xxiv 625 pp ISBN 3 540 64239 0 Kaplansky Irving 1970 Commutative rings Boston Mass Allyn and Bacon Inc s x 180 MR 0254021 Lam T Y 1999 Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Springer Verlag ISBN 978 0 387 98428 5 Lang Serge 1997 Algebra vid 3rd Addison Wesley ISBN 978 0 201 55540 0 Matsumura Hideyuki 1989 Commutative ring theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 8 Translated from the Japanese by M Reid vid 2 Cambridge Cambridge University Press s xiv 320 ISBN 0 521 36764 6 MR 1011461 90i 13001 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Citation title Shablon Citation citation a Perevirte znachennya mr dovidka Springer Tonny A 1977 Invariant theory Lecture Notes in Mathematics t 585 Springer