У теорії статистичного оцінювання розширений фільтр Калмана (англ. extended Kalman filter, EKF) — це нелінійна версія фільтру Калмана, що лінеаризується навколо оцінки поточного середнього значення та коваріації. У випадку гарно визначених моделей переходу розширений фільтр Калмана було визнано стандатом де-факто у теорії оцінювання нелінійних станів, навігаційних системах та GPS.
Історія
Праці, що встановлюють математичні основи фільтрів типу фільтра Калмана, було опубліковано між 1959 та 1961 роками. Фільтр Калмана є оптимальною оцінкою для моделей лінійних систем з додатковим незалежним білим шумом як у системі переходу, так і в системі вимірювання. На жаль, більшість систем у техніці є нелінійними, тому одразу було зроблено певну спробу застосування цього методу фільтрування до нелінійних систем. Більшість цієї роботи було зроблено у дослідницькому центрі Еймса НАСА. Розширений фільтр Калмана пристосував прийоми з числення, а саме багатовимірні розклади в ряди Тейлора, для лінеаризації моделі навколо робочої точки. Якщо модель системи (як описано нижче) не достатньо добре відома, або є неточною, то для оцінювання застосовуються методи Монте-Карло, зокрема [en]. Методи Монте-Карло передують існуванню розширеного фільтру Калмана, але є обчислювально витратнішими для будь-якого простору станів з помірною кількістю вимірів.
Формулювання
У розширеному фільтрі Калмана моделі переходу стану та спостереження не повинні бути обов'язково лінійними функціями стану, натомість вони можуть бути нелінійними диференційовними функціями.
де wk та vk є шумами процесу та спостереження, що обидва вважаються шумами з багатовимірним нормальним розподілом з нульовим середнім значенням з коваріаціями Qk та Rk відповідно. uk є вектором керування.
Функція f може використовуватися для обчислення передбачуваного стану з попередньої оцінки, і, аналогічно, функція h може використовуватися для обчислення передбачуваного вимірювання з передбаченого стану. Проте, f та h не можуть застосовуватися до коваріації безпосередньо. Натомість обчислюється матриця часткових похідних (матриця Якобі).
На кожному такті матриця Якобі обчислюється для поточних передбачених станів. Ці матриці можуть використовуватися у рівняннях фільтру Калмана. Цей процес, по суті, лінеаризує нелінійну функцію навколо поточної оцінки.
Рівняння передбачення та уточнення для дискретного часу
Передбачення
Передбачена оцінка стану | |
Коваріація передбаченої оцінки |
Уточнення
Нововведення, або відхилення вимірювання | |
Коваріація нововведення (або відхилення) | |
Близький до оптимального передавальний коефіцієнт Калмана | |
Уточнена оцінка стану | |
Коваріація уточненої оцінки |
де матриці переходу стану та спостереження визначено як наступні матриці Якобі
Розширені фільтри Калмана вищих порядків
Наведена вище рекурсія є розширеним фільтром Калмана першого порядку. Розширені фільтри Калмана вищих порядків може бути отримано збереженням більшої кількості членів розкладу в ряд Тейлора. Наприклад, розширені фільтри Калмана другого та третього порядків описано у . Однак, розширеним фільтрам Калмана вищих порядків властиво забезпечувати перевагу в продуктивності лише за малого шуму вимірювання.
Формулювання та рівняння для неадитивного шуму
Типове формулювання розширеного фільтру Калмана включає припущення про адитивність шуму процесу та вимірювання. Однак, це припущення не є обов'язковим для реалізації розширеного фільтру Калмана. Натомість, розгляньмо загальнішу систему вигляду:
Де wk та vk є шумами процесу та спостереження, що, як вважається, обидва мають багатовимірні нормальні розподіли з нульовими середнім значенням з коваріаціями Qk та Rk відповідно. Тоді рівняннями коваріації передбачення та нововведення стають
де матриці та
є матрицями Якобі:
Передбачена оцінка стану та відхилення вимірювання обчислюються на середньому значенні виразів шумів процесу та вимірювання, що вважаються нульовими. Інакше реалізується формулювання для неадитивного шуму в такий самий спосіб, як і розширений фільтр Калмана з адитивним шумом.
Розширений фільтр Калмана для безперервного часу
Модель
Ініціалізація
Передбачення-уточнення
На відміну від розширеного фільтру Калмана для дискретного часу, в розширеному фільтрі Калмана для безперервного часу кроки передбачення та уточнення спарюються.[]
Розширений фільтр Калмана для дискретного часу
Більшість фізичних систем представляються моделями безперервного часу, тоді як вимірювання для оцінки стану цифровим обробником часто беруться в дискретному часі. Тому модель системи та модель вимірювання задаються як
де .
Ініціалізація
Передбачення
де
Уточнення
де
Рівняння уточнення ідентичні тим же рівнянням фільтру Калмана для дискретного часу.
Недоліки розширеного фільтру Калмана
На відміну від свого лінійного двійника, розширений фільтр Калмана не є оптимальним оцінювачем (звісно, він є оптимальним, якщо моделі як вимірювання, так і переходу стану є лінійними, і в цьому випадку розширений фільтр Калмана є ідентичним звичайному). На додачу, якщо початкова оцінка стану є невірною, або якщо процес змодельовано некоректно, фільтр може швидко розходитися внаслідок своєї лінеаризації. Іншою проблемою розширеного фільтру Калмана є те, що оціненій матриці коваріації властиво недооцінювати справжню матрицю коваріації, і відтак призводити до ризику [en] у статистичному сенсі без додавання «стабілізувального шуму».
При всьому цьому, розширений фільтр Калмана може пропонувати прийнятну продуктивність, і певно є стандартом де-факто у навігаційних системах та GPS.
Робастні розширені фільтри Калмана
Розширений фільтр Калмана створюється лінеаризацією моделі сигналу навколо оцінки поточного стану та використанням лінійного фільтру Калмана для передбачення наступної оцінки. Це є намаганням зробити локальний оптимальний фільтр, однак, воно не є обов'язково стабільним, оскільки розв'язки базового рівняння Ріккаті не є гарантовано додатньовизначеними. Одним зі способів покращення продуктивності є штучний алгебраїчний метод Ріккаті, що покращує стабільність ціною оптимальності. Зберігається звична структура розширеного фільтру Калмана, але стабільність досягається вибором додатньовизначеного розв'язку штучного алгебраїчного рівняння Ріккаті для моделі функції передавального коефіцієнту.
Іншим шляхом покращення продуктивності розширеного фільтру Калмана є застосування результатів H-нескінченності з робастного керування. Робастні фільтри отримуються додаванням додатньовизначеного члену до рівняння Ріккаті. Цей додатковий член параметризується скаляром, що розробник може налаштовувати для отримання компромісу між двома критеріями продуктивності, середньоквадратичною помилкою, та піковою помилкою.
Беззапахові фільтри Калмана
Нелінійним фільтром Калмана, що обіцяє поліпшення відносно розширеного фільтру Калмана, є (беззапаховий фільтр Калмана) (англ. unscented Kalman filter, UKF). У беззапаховому фільтрі Калмана щільність ймовірності наближується детермінованою вибіркою точок, що представляють базовий розподіл як нормальний. Нелінійне перетворення цих точок призначене бути оцінкою апостеріорного розподілу, моменти якого потім можна буде вивести з перетвореної вибірки. Це перетворення також відоме як беззапахове перетворення. Беззапаховому фільтрові Калмана властиво бути надійнішим (робастнішим) та точнішим за розширений фільтр Калмана у його оцінці помилки в усіх напрямках.
![]() | Розширений фільтр Калмана є чи не найуживанішим алгоритмом оцінювання для нелінійних систем. Однак, понад 35 років досвіду в спільноті оцінювання показали, що він є складним для реалізації, складним для налаштування, і є надійним лише для систем, що є майже лінійними на масштабі часових проміжків уточнень. Багато з цих складнощів виникають з причини використання ним лінеаризації. Оригінальний текст (англ.) The extended Kalman filter (EKF) is probably the most widely used estimation algorithm for nonlinear systems. However, more than 35 years of experience in the estimation community has shown that is difficult to implement, difficult to tune, and only reliable for systems that are almost linear on the time scale of the updates. Many of these difficulties arise from its use of linearization. | ![]() |
Нещодавня праця включає результати моделювання, що наводять на думку, що деякі опубліковані варіанти беззапахового фільтру Калмана не здатні бути настільки ж точними, як розширений фільтр Калмана другого порядку (англ. Second Order Extended Kalman Filter, SOEKF), що також називається доповненим фільтром Калмана (англ. augmented Kalman filter). Розширений фільтр Калмана другого порядку передує беззапаховому фільтрові Калмана приблизно на 35 років, динамікою моментів, що вперше описали Басс та інші. Складність у реалізації будь-яких фільтрів типу Калмана для нелінійних переходів станів походить від проблем обчислювальної стійкості, необхідної для точності, однак беззапаховий фільтр Калмана не уникає цієї складності, оскільки він також використовує лінеаризацію, а саме лінійну регресію. Проблеми стабільності для беззапахового фільтру Калмана загалом походять від обчислювального наближення квадратного кореня матриці коваріації, тоді як проблеми стабільності для розширеного фільтру Калмана та розширеного фільтру Калмана другого порядку походять від можливих проблем у наближенні рядами Тейлора вздовж траєкторії.
Інваріантний розширений фільтр Калмана
[en] (англ. invariant extended Kalman filter, IEKF) є видозміненою версією розширеного фільтру Калмана для нелінійних систем, що володіють симетріями (або інваріантностями). Він об'єднує переваги як розширеного фільтру Калмана, так і нещодавно представлених [en]. Дійсно, замість використання лінійного члена уточнення на базі лінійної помилки виходу він використовує геометрично пристосований член уточнення на базі інваріантної помилки виходу; аналогічно, матриця передавального коефіцієнту уточнюється не з лінійної, а з інваріантної помилки стану. Головною вигодою є те, що рівняння передавального коефіцієнту та коваріації сходяться до сталих значень на значно більшій множині траєкторій, ніж точки рівноваги, як це є у випадку розширеного фільтру Калмана, що призводить до кращого сходження оцінювання.
Див. також
- Фільтр Калмана
- [en]
- [en]
- [en]
- [en]
- [en]
- (Беззапаховий фільтр Калмана)
Примітки
- Julier, S.J.; Uhlmann, J.K. (2004). . Proceedings of the IEEE: 401—422. Архів оригіналу за 7 липня 2014. Процитовано 15 березня 2014. (англ.)
- Courses, E.; Surveys, T. (2006). Sigma-Point Filters: An Overview with Applications to Integrated Navigation and Vision Assisted Control. Nonlinear Statistical Signal Processing Workshop, 2006 IEEE: 201—202. doi:10.1109/NSSPW.2006.4378854. ISBN . Процитовано 14 липня 2008. (англ.)
- R.E. Kalman (1960). Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Mexicana: 102—119. (англ.)
- R.E. Kalman (1960). A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Journal of Basic Engineering: 35—45. (англ.)
- R.E. Kalman; R.S. Bucy (1961). New results in linear filtering and prediction theory. Journal of Basic Engineering: 95—108. (англ.)
- Bruce A. McElhoe (1966). An Assessment of the Navigation and Course Corrections for a Manned Flyby of Mars or Venus. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on: 613—623. (англ.)
- G.L. Smith; S.F. Schmidt and L.A. McGee (1962). Application of statistical filter theory to the optimal estimation of position and velocity on board a circumlunar vehicle. National Aeronautics and Space Administration. (англ.)
- Einicke, G.A. (2012). . Rijeka, Croatia: Intech. ISBN . Архів оригіналу за 26 квітня 2014. Процитовано 15 березня 2014. (англ.)
- Simon, Dan (2006). Optimal State Estimation. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. ISBN . (англ.)
- Eiugg, G.A.; White, L.B.; Bitmead, R.R. (September 2003). The Use of Fake Algebraic Riccati Equations for Co-channel Demodulation (PDF). IEEE Trans. Signal Processing. 51 (9): 2288—2293. doi:10.1109/tsp.2003.815376. (англ.)
- Einicke, G.A.; White, L.B. (September 1999). Robust Extended Kalman Filtering (PDF). IEEE Trans. Signal Processing. 47 (9): 2596—2599. doi:10.1109/78.782219. (англ.)
- Gustafsson, F.; Hendeby, G. (лютий 2012). Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters. Signal Processing, IEEE Transactions on. 60 (2): 545—555. (англ.)
- R. Bass; V. Norum, L. Schwartz (1966). Optimal multichannel nonlinear filtering(optimal multichannel nonlinear filtering problem of minimum variance estimation of state of n- dimensional nonlinear system subject to stochastic disturbance). J. Mathematical Analysis and Applications. 16: 152—164. (англ.)
- M. Grewal, A. Andrews (січень 2001). Kalman Filtering : Theory and Practice Using MATLAB (вид. 2). Wiley-Interscience. (англ.)
Література
- B.D.O.Anderson, J.B.Moore (1979). Optimal Filtering. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice–Hall. (англ.)
- Gelb, A. (1974). Applied Optimal Estimation. MIT Press. (англ.)
- Jazwinski, Andrew H. (1970). Stochastic Processes and Filtering. Mathematics in Science and Engineering. New York: [en]. с. 376. ISBN . (англ.)
- Maybeck, Peter S. (1979). Stochastic Models, Estimation, and Control. Mathematics in Science and Engineering. Т. 141—1. New York: [en]. с. 423. ISBN . (англ.)
Посилання
- Оцінювання положення колісного робота з диференціалом на базі одометрії та орієнтирів [ 19 січня 2012 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi statistichnogo ocinyuvannya rozshirenij filtr Kalmana angl extended Kalman filter EKF ce nelinijna versiya filtru Kalmana sho linearizuyetsya navkolo ocinki potochnogo serednogo znachennya ta kovariaciyi U vipadku garno viznachenih modelej perehodu rozshirenij filtr Kalmana bulo viznano standatom de fakto u teoriyi ocinyuvannya nelinijnih staniv navigacijnih sistemah ta GPS IstoriyaPraci sho vstanovlyuyut matematichni osnovi filtriv tipu filtra Kalmana bulo opublikovano mizh 1959 ta 1961 rokami Filtr Kalmana ye optimalnoyu ocinkoyu dlya modelej linijnih sistem z dodatkovim nezalezhnim bilim shumom yak u sistemi perehodu tak i v sistemi vimiryuvannya Na zhal bilshist sistem u tehnici ye nelinijnimi tomu odrazu bulo zrobleno pevnu sprobu zastosuvannya cogo metodu filtruvannya do nelinijnih sistem Bilshist ciyeyi roboti bulo zrobleno u doslidnickomu centri Ejmsa NASA Rozshirenij filtr Kalmana pristosuvav prijomi z chislennya a same bagatovimirni rozkladi v ryadi Tejlora dlya linearizaciyi modeli navkolo robochoyi tochki Yaksho model sistemi yak opisano nizhche ne dostatno dobre vidoma abo ye netochnoyu to dlya ocinyuvannya zastosovuyutsya metodi Monte Karlo zokrema en Metodi Monte Karlo pereduyut isnuvannyu rozshirenogo filtru Kalmana ale ye obchislyuvalno vitratnishimi dlya bud yakogo prostoru staniv z pomirnoyu kilkistyu vimiriv FormulyuvannyaU rozshirenomu filtri Kalmana modeli perehodu stanu ta sposterezhennya ne povinni buti obov yazkovo linijnimi funkciyami stanu natomist voni mozhut buti nelinijnimi diferencijovnimi funkciyami xk f xk 1 uk 1 wk 1 displaystyle boldsymbol x k f boldsymbol x k 1 boldsymbol u k 1 boldsymbol w k 1 zk h xk vk displaystyle boldsymbol z k h boldsymbol x k boldsymbol v k de wk ta vk ye shumami procesu ta sposterezhennya sho obidva vvazhayutsya shumami z bagatovimirnim normalnim rozpodilom z nulovim serednim znachennyam z kovariaciyami Qk ta Rk vidpovidno uk ye vektorom keruvannya Funkciya f mozhe vikoristovuvatisya dlya obchislennya peredbachuvanogo stanu z poperednoyi ocinki i analogichno funkciya h mozhe vikoristovuvatisya dlya obchislennya peredbachuvanogo vimiryuvannya z peredbachenogo stanu Prote f ta h ne mozhut zastosovuvatisya do kovariaciyi bezposeredno Natomist obchislyuyetsya matricya chastkovih pohidnih matricya Yakobi Na kozhnomu takti matricya Yakobi obchislyuyetsya dlya potochnih peredbachenih staniv Ci matrici mozhut vikoristovuvatisya u rivnyannyah filtru Kalmana Cej proces po suti linearizuye nelinijnu funkciyu navkolo potochnoyi ocinki Rivnyannya peredbachennya ta utochnennya dlya diskretnogo chasuPeredbachennya Peredbachena ocinka stanu x k k 1 f x k 1 k 1 uk 1 displaystyle hat boldsymbol x k k 1 f hat boldsymbol x k 1 k 1 boldsymbol u k 1 Kovariaciya peredbachenoyi ocinki Pk k 1 Fk 1Pk 1 k 1Fk 1 Qk 1 displaystyle boldsymbol P k k 1 color Blue boldsymbol F k 1 boldsymbol P k 1 k 1 color Blue boldsymbol F k 1 top boldsymbol Q k 1 Utochnennya Novovvedennya abo vidhilennya vimiryuvannya y k zk h x k k 1 displaystyle tilde boldsymbol y k boldsymbol z k h hat boldsymbol x k k 1 Kovariaciya novovvedennya abo vidhilennya Sk HkPk k 1Hk Rk displaystyle boldsymbol S k color Red boldsymbol H k boldsymbol P k k 1 color Red boldsymbol H k top boldsymbol R k Blizkij do optimalnogo peredavalnij koeficiyent Kalmana Kk Pk k 1Hk Sk 1 displaystyle boldsymbol K k boldsymbol P k k 1 color Red boldsymbol H k top boldsymbol S k 1 Utochnena ocinka stanu x k k x k k 1 Kky k displaystyle hat boldsymbol x k k hat boldsymbol x k k 1 boldsymbol K k tilde boldsymbol y k Kovariaciya utochnenoyi ocinki Pk k I KkHk Pk k 1 displaystyle boldsymbol P k k boldsymbol I boldsymbol K k color Red boldsymbol H k boldsymbol P k k 1 de matrici perehodu stanu ta sposterezhennya viznacheno yak nastupni matrici Yakobi Fk 1 f x x k 1 k 1 uk 1 displaystyle color Blue boldsymbol F k 1 left frac partial f partial boldsymbol x right vert hat boldsymbol x k 1 k 1 boldsymbol u k 1 Hk h x x k k 1 displaystyle color Red boldsymbol H k left frac partial h partial boldsymbol x right vert hat boldsymbol x k k 1 Rozshireni filtri Kalmana vishih poryadkivNavedena vishe rekursiya ye rozshirenim filtrom Kalmana pershogo poryadku Rozshireni filtri Kalmana vishih poryadkiv mozhe buti otrimano zberezhennyam bilshoyi kilkosti chleniv rozkladu v ryad Tejlora Napriklad rozshireni filtri Kalmana drugogo ta tretogo poryadkiv opisano u Odnak rozshirenim filtram Kalmana vishih poryadkiv vlastivo zabezpechuvati perevagu v produktivnosti lishe za malogo shumu vimiryuvannya Formulyuvannya ta rivnyannya dlya neaditivnogo shumuTipove formulyuvannya rozshirenogo filtru Kalmana vklyuchaye pripushennya pro aditivnist shumu procesu ta vimiryuvannya Odnak ce pripushennya ne ye obov yazkovim dlya realizaciyi rozshirenogo filtru Kalmana Natomist rozglyanmo zagalnishu sistemu viglyadu xk f xk 1 uk 1 wk 1 displaystyle boldsymbol x k f boldsymbol x k 1 boldsymbol u k 1 boldsymbol w k 1 zk h xk vk displaystyle boldsymbol z k h boldsymbol x k boldsymbol v k De wk ta vk ye shumami procesu ta sposterezhennya sho yak vvazhayetsya obidva mayut bagatovimirni normalni rozpodili z nulovimi serednim znachennyam z kovariaciyami Qk ta Rk vidpovidno Todi rivnyannyami kovariaciyi peredbachennya ta novovvedennya stayut Pk k 1 Fk 1Pk 1 k 1Fk 1 Lk 1Qk 1Lk 1T displaystyle boldsymbol P k k 1 color Red boldsymbol F k 1 color Black boldsymbol P k 1 k 1 color Red boldsymbol F k 1 top color Black color Orange boldsymbol L k 1 color Black boldsymbol Q k 1 color Orange boldsymbol L k 1 T Sk HkPk k 1Hk MkRkMkT displaystyle boldsymbol S k color Blue boldsymbol H k color Black boldsymbol P k k 1 color Blue boldsymbol H k top color Black color Purple boldsymbol M k color Black boldsymbol R k color Purple boldsymbol M k T de matrici Lk 1 displaystyle boldsymbol L k 1 ta Mk displaystyle boldsymbol M k ye matricyami Yakobi Lk 1 f w x k 1 k 1 uk 1 displaystyle color Orange boldsymbol L k 1 left frac partial f partial boldsymbol w right vert hat boldsymbol x k 1 k 1 boldsymbol u k 1 Mk h v x k k 1 displaystyle color Purple boldsymbol M k left frac partial h partial boldsymbol v right vert hat boldsymbol x k k 1 Peredbachena ocinka stanu ta vidhilennya vimiryuvannya obchislyuyutsya na serednomu znachenni viraziv shumiv procesu ta vimiryuvannya sho vvazhayutsya nulovimi Inakshe realizuyetsya formulyuvannya dlya neaditivnogo shumu v takij samij sposib yak i rozshirenij filtr Kalmana z aditivnim shumom Rozshirenij filtr Kalmana dlya bezperervnogo chasuModel x t f x t u t w t w t N 0 Q t z t h x t v t v t N 0 R t displaystyle begin aligned dot mathbf x t amp f bigl mathbf x t mathbf u t bigr mathbf w t amp mathbf w t amp sim N bigl mathbf 0 mathbf Q t bigr mathbf z t amp h bigl mathbf x t bigr mathbf v t amp mathbf v t amp sim N bigl mathbf 0 mathbf R t bigr end aligned Inicializaciya x t0 E x t0 P t0 Var x t0 displaystyle hat mathbf x t 0 E bigl mathbf x t 0 bigr text mathbf P t 0 Var bigl mathbf x t 0 bigr Peredbachennya utochnennya x t f x t u t K t z t h x t P t F t P t P t F t K t H t P t Q t K t P t H t R t 1F t f x x t u t H t h x x t displaystyle begin aligned dot hat mathbf x t amp f bigl hat mathbf x t mathbf u t bigr mathbf K t Bigl mathbf z t h bigl hat mathbf x t bigr Bigr dot mathbf P t amp mathbf F t mathbf P t mathbf P t mathbf F t top mathbf K t mathbf H t mathbf P t mathbf Q t mathbf K t amp mathbf P t mathbf H t top mathbf R t 1 mathbf F t amp left frac partial f partial mathbf x right vert hat mathbf x t mathbf u t mathbf H t amp left frac partial h partial mathbf x right vert hat mathbf x t end aligned Na vidminu vid rozshirenogo filtru Kalmana dlya diskretnogo chasu v rozshirenomu filtri Kalmana dlya bezperervnogo chasu kroki peredbachennya ta utochnennya sparyuyutsya dzherelo Rozshirenij filtr Kalmana dlya diskretnogo chasuBilshist fizichnih sistem predstavlyayutsya modelyami bezperervnogo chasu todi yak vimiryuvannya dlya ocinki stanu cifrovim obrobnikom chasto berutsya v diskretnomu chasi Tomu model sistemi ta model vimiryuvannya zadayutsya yak x t f x t u t w t w t N 0 Q t zk h xk vk vk N 0 Rk displaystyle begin aligned dot mathbf x t amp f bigl mathbf x t mathbf u t bigr mathbf w t amp mathbf w t amp sim N bigl mathbf 0 mathbf Q t bigr mathbf z k amp h mathbf x k mathbf v k amp mathbf v k amp sim N mathbf 0 mathbf R k end aligned de xk x tk displaystyle mathbf x k mathbf x t k Inicializaciya x 0 0 E x t0 P0 0 Var x t0 displaystyle hat mathbf x 0 0 E bigl mathbf x t 0 bigr mathbf P 0 0 Var bigl mathbf x t 0 bigr Peredbachennya x t f x t u t P t F t P t P t F t Q t x tk 1 x k 1 k 1 P tk 1 Pk 1 k 1 x k k 1 x tk Pk k 1 P tk displaystyle begin aligned amp begin cases dot hat mathbf x t f bigl hat mathbf x t mathbf u t bigr dot mathbf P t mathbf F t mathbf P t mathbf P t mathbf F t top mathbf Q t end cases qquad text begin cases hat mathbf x t k 1 hat mathbf x k 1 k 1 mathbf P t k 1 mathbf P k 1 k 1 end cases Rightarrow amp begin cases hat mathbf x k k 1 hat mathbf x t k mathbf P k k 1 mathbf P t k end cases end aligned de F t f x x t u t displaystyle mathbf F t left frac partial f partial mathbf x right vert hat mathbf x t mathbf u t Utochnennya Kk Pk k 1Hk HkPk k 1Hk Rk 1 displaystyle mathbf K k mathbf P k k 1 mathbf H k top bigl mathbf H k mathbf P k k 1 mathbf H k top mathbf R k bigr 1 x k k x k k 1 Kk zk h x k k 1 displaystyle hat mathbf x k k hat mathbf x k k 1 mathbf K k bigl mathbf z k h hat mathbf x k k 1 bigr Pk k I KkHk Pk k 1 displaystyle mathbf P k k mathbf I mathbf K k mathbf H k mathbf P k k 1 de Hk h x x k k 1 displaystyle textbf H k left frac partial h partial textbf x right vert hat textbf x k k 1 Rivnyannya utochnennya identichni tim zhe rivnyannyam filtru Kalmana dlya diskretnogo chasu Nedoliki rozshirenogo filtru KalmanaNa vidminu vid svogo linijnogo dvijnika rozshirenij filtr Kalmana ne ye optimalnim ocinyuvachem zvisno vin ye optimalnim yaksho modeli yak vimiryuvannya tak i perehodu stanu ye linijnimi i v comu vipadku rozshirenij filtr Kalmana ye identichnim zvichajnomu Na dodachu yaksho pochatkova ocinka stanu ye nevirnoyu abo yaksho proces zmodelovano nekorektno filtr mozhe shvidko rozhoditisya vnaslidok svoyeyi linearizaciyi Inshoyu problemoyu rozshirenogo filtru Kalmana ye te sho ocinenij matrici kovariaciyi vlastivo nedoocinyuvati spravzhnyu matricyu kovariaciyi i vidtak prizvoditi do riziku en u statistichnomu sensi bez dodavannya stabilizuvalnogo shumu Pri vsomu comu rozshirenij filtr Kalmana mozhe proponuvati prijnyatnu produktivnist i pevno ye standartom de fakto u navigacijnih sistemah ta GPS Robastni rozshireni filtri KalmanaRozshirenij filtr Kalmana stvoryuyetsya linearizaciyeyu modeli signalu navkolo ocinki potochnogo stanu ta vikoristannyam linijnogo filtru Kalmana dlya peredbachennya nastupnoyi ocinki Ce ye namagannyam zrobiti lokalnij optimalnij filtr odnak vono ne ye obov yazkovo stabilnim oskilki rozv yazki bazovogo rivnyannya Rikkati ne ye garantovano dodatnoviznachenimi Odnim zi sposobiv pokrashennya produktivnosti ye shtuchnij algebrayichnij metod Rikkati sho pokrashuye stabilnist cinoyu optimalnosti Zberigayetsya zvichna struktura rozshirenogo filtru Kalmana ale stabilnist dosyagayetsya viborom dodatnoviznachenogo rozv yazku shtuchnogo algebrayichnogo rivnyannya Rikkati dlya modeli funkciyi peredavalnogo koeficiyentu Inshim shlyahom pokrashennya produktivnosti rozshirenogo filtru Kalmana ye zastosuvannya rezultativ H neskinchennosti z robastnogo keruvannya Robastni filtri otrimuyutsya dodavannyam dodatnoviznachenogo chlenu do rivnyannya Rikkati Cej dodatkovij chlen parametrizuyetsya skalyarom sho rozrobnik mozhe nalashtovuvati dlya otrimannya kompromisu mizh dvoma kriteriyami produktivnosti serednokvadratichnoyu pomilkoyu ta pikovoyu pomilkoyu Bezzapahovi filtri KalmanaNelinijnim filtrom Kalmana sho obicyaye polipshennya vidnosno rozshirenogo filtru Kalmana ye bezzapahovij filtr Kalmana angl unscented Kalman filter UKF U bezzapahovomu filtri Kalmana shilnist jmovirnosti nablizhuyetsya determinovanoyu vibirkoyu tochok sho predstavlyayut bazovij rozpodil yak normalnij Nelinijne peretvorennya cih tochok priznachene buti ocinkoyu aposteriornogo rozpodilu momenti yakogo potim mozhna bude vivesti z peretvorenoyi vibirki Ce peretvorennya takozh vidome yak bezzapahove peretvorennya Bezzapahovomu filtrovi Kalmana vlastivo buti nadijnishim robastnishim ta tochnishim za rozshirenij filtr Kalmana u jogo ocinci pomilki v usih napryamkah Rozshirenij filtr Kalmana ye chi ne najuzhivanishim algoritmom ocinyuvannya dlya nelinijnih sistem Odnak ponad 35 rokiv dosvidu v spilnoti ocinyuvannya pokazali sho vin ye skladnim dlya realizaciyi skladnim dlya nalashtuvannya i ye nadijnim lishe dlya sistem sho ye majzhe linijnimi na masshtabi chasovih promizhkiv utochnen Bagato z cih skladnoshiv vinikayut z prichini vikoristannya nim linearizaciyi Originalnij tekst angl The extended Kalman filter EKF is probably the most widely used estimation algorithm for nonlinear systems However more than 35 years of experience in the estimation community has shown that is difficult to implement difficult to tune and only reliable for systems that are almost linear on the time scale of the updates Many of these difficulties arise from its use of linearization Neshodavnya pracya vklyuchaye rezultati modelyuvannya sho navodyat na dumku sho deyaki opublikovani varianti bezzapahovogo filtru Kalmana ne zdatni buti nastilki zh tochnimi yak rozshirenij filtr Kalmana drugogo poryadku angl Second Order Extended Kalman Filter SOEKF sho takozh nazivayetsya dopovnenim filtrom Kalmana angl augmented Kalman filter Rozshirenij filtr Kalmana drugogo poryadku pereduye bezzapahovomu filtrovi Kalmana priblizno na 35 rokiv dinamikoyu momentiv sho vpershe opisali Bass ta inshi Skladnist u realizaciyi bud yakih filtriv tipu Kalmana dlya nelinijnih perehodiv staniv pohodit vid problem obchislyuvalnoyi stijkosti neobhidnoyi dlya tochnosti odnak bezzapahovij filtr Kalmana ne unikaye ciyeyi skladnosti oskilki vin takozh vikoristovuye linearizaciyu a same linijnu regresiyu Problemi stabilnosti dlya bezzapahovogo filtru Kalmana zagalom pohodyat vid obchislyuvalnogo nablizhennya kvadratnogo korenya matrici kovariaciyi todi yak problemi stabilnosti dlya rozshirenogo filtru Kalmana ta rozshirenogo filtru Kalmana drugogo poryadku pohodyat vid mozhlivih problem u nablizhenni ryadami Tejlora vzdovzh trayektoriyi Invariantnij rozshirenij filtr Kalmana en angl invariant extended Kalman filter IEKF ye vidozminenoyu versiyeyu rozshirenogo filtru Kalmana dlya nelinijnih sistem sho volodiyut simetriyami abo invariantnostyami Vin ob yednuye perevagi yak rozshirenogo filtru Kalmana tak i neshodavno predstavlenih en Dijsno zamist vikoristannya linijnogo chlena utochnennya na bazi linijnoyi pomilki vihodu vin vikoristovuye geometrichno pristosovanij chlen utochnennya na bazi invariantnoyi pomilki vihodu analogichno matricya peredavalnogo koeficiyentu utochnyuyetsya ne z linijnoyi a z invariantnoyi pomilki stanu Golovnoyu vigodoyu ye te sho rivnyannya peredavalnogo koeficiyentu ta kovariaciyi shodyatsya do stalih znachen na znachno bilshij mnozhini trayektorij nizh tochki rivnovagi yak ce ye u vipadku rozshirenogo filtru Kalmana sho prizvodit do krashogo shodzhennya ocinyuvannya Div takozhFiltr Kalmana en en en en en Bezzapahovij filtr KalmanaPrimitkiJulier S J Uhlmann J K 2004 Proceedings of the IEEE 401 422 Arhiv originalu za 7 lipnya 2014 Procitovano 15 bereznya 2014 angl Courses E Surveys T 2006 Sigma Point Filters An Overview with Applications to Integrated Navigation and Vision Assisted Control Nonlinear Statistical Signal Processing Workshop 2006 IEEE 201 202 doi 10 1109 NSSPW 2006 4378854 ISBN 978 1 4244 0579 4 Procitovano 14 lipnya 2008 angl R E Kalman 1960 Contributions to the theory of optimal control Bol Soc Mat Mexicana 102 119 angl R E Kalman 1960 A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems Journal of Basic Engineering 35 45 angl R E Kalman R S Bucy 1961 New results in linear filtering and prediction theory Journal of Basic Engineering 95 108 angl Bruce A McElhoe 1966 An Assessment of the Navigation and Course Corrections for a Manned Flyby of Mars or Venus Aerospace and Electronic Systems IEEE Transactions on 613 623 angl G L Smith S F Schmidt and L A McGee 1962 Application of statistical filter theory to the optimal estimation of position and velocity on board a circumlunar vehicle National Aeronautics and Space Administration angl Einicke G A 2012 Rijeka Croatia Intech ISBN 978 953 307 752 9 Arhiv originalu za 26 kvitnya 2014 Procitovano 15 bereznya 2014 angl Simon Dan 2006 Optimal State Estimation Hoboken NJ John Wiley amp Sons ISBN 978 0 471 70858 2 angl Eiugg G A White L B Bitmead R R September 2003 The Use of Fake Algebraic Riccati Equations for Co channel Demodulation PDF IEEE Trans Signal Processing 51 9 2288 2293 doi 10 1109 tsp 2003 815376 angl Einicke G A White L B September 1999 Robust Extended Kalman Filtering PDF IEEE Trans Signal Processing 47 9 2596 2599 doi 10 1109 78 782219 angl Gustafsson F Hendeby G lyutij 2012 Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters Signal Processing IEEE Transactions on 60 2 545 555 angl R Bass V Norum L Schwartz 1966 Optimal multichannel nonlinear filtering optimal multichannel nonlinear filtering problem of minimum variance estimation of state of n dimensional nonlinear system subject to stochastic disturbance J Mathematical Analysis and Applications 16 152 164 angl M Grewal A Andrews sichen 2001 Kalman Filtering Theory and Practice Using MATLAB vid 2 Wiley Interscience angl LiteraturaB D O Anderson J B Moore 1979 Optimal Filtering Englewood Cliffs New Jersey Prentice Hall angl Gelb A 1974 Applied Optimal Estimation MIT Press angl Jazwinski Andrew H 1970 Stochastic Processes and Filtering Mathematics in Science and Engineering New York en s 376 ISBN 0 12 381550 9 angl Maybeck Peter S 1979 Stochastic Models Estimation and Control Mathematics in Science and Engineering T 141 1 New York en s 423 ISBN 0 12 480701 1 angl PosilannyaOcinyuvannya polozhennya kolisnogo robota z diferencialom na bazi odometriyi ta oriyentiriv 19 sichnya 2012 u Wayback Machine angl