Безза́пахове перетво́рення (англ. Unscented Transform, UT) є математичною функцією, що застосовується для оцінювання результату застосування заданого нелінійного перетворення до розподілу ймовірностей, що описується лише засобами скінченного набору статистики. Найпоширенішим застосуванням беззапахового перетворення є нелінійна проєкція оцінок середнього значення та коваріації у контексті нелінійних розширень фільтру Калмана. Його розробник, [en] (англ. Jeffrey Uhlmann), пояснив у інтерв'ю, що прийшов до цієї назви, побачивши беззапаховий дезодорант на столі колеги, бо не вважає, що технічні терміни зобов'язані бути осмисленими, назвати перетворення своїм прізвищем він не міг, а абсурдність є його керівним принципом. Тим не менш, обрана ним назва англійською починається тією ж літерою, що й його прізвище, тому залишається можливість назвати перетворення його прізвищем без зміни абревіатури (англійською).
Передумови
Багато методів фільтрування та керування представляють оцінку стану системи у формі вектора середнього значення та пов'язаної матриці коваріації помилки. Наприклад, оцінене двовимірне положення об'єкта може представлятися вектором середнього положення, , з невизначеністю, заданою у формі матриці коваріації 2x2, що задає дисперсію в
, дисперсію в
та взаємну коваріацію між ними. Нульова коваріація означає, що немає невизначеності чи помилки в тому, що положення об'єкта є точно таким, як задано вектором середнього значення.
Представлення у вигляді середнього значення та коваріації задає лише перші два моменти гаданого, але в іншому невідомого розподілу ймовірностей. У випадку об'єкта, що рухається, невідомий розподіл ймовірностей може представляти невизначеність положення об'єкта у певний момент часу. Представлення у вигляді середнього значення та коваріації є математично зручним, оскільки до вектора середнього значення та матриці коваріації
може бути застосовано будь-яке лінійне перетворення
, як
та
відповідно. Ця властивість лінійності не виконується поза першим центральним моментом (середнім значенням) та другим центральним моментом (коваріацією), тому в загальному випадку неможливо визначити середнє значення та коваріацію в результаті нелінійного перетворення, оскільки результат залежить від усіх моментів, а задано лише перші два.
Хоча матриця коваріації часто і вважається очікуваною квадратичною помилкою, пов'язаною із середнім значення, на практиці ця матриця підтримується як верхня межа справжньої квадратичної помилки. Точніше, оцінка середнього значення та коваріації консервативно підтримується так, що матриця коваріації
є більшою або рівною справжній квадратичній помилці, пов'язаній з
. Математично це означає, що результат віднімання очікуваної квадратичної помилки (що не є зазвичай відомою) від
є невід'ємновизначеною або додатньовизначеною матрицею. Сенс підтримання консервативної оцінки коваріації в тому, що більшість алгоритмів фільтрування та керування мають властивість розходитися (хибити), якщо коваріація є недооціненою. Це відбувається тому, що неправдиво мала коваріація означає меншу невизначеність, і призводить до того, що фільтр надає більше ваги (довіри), ніж це виправдано точністю середнього значення.
Повертаючись до наведеного вище прикладу, коли коваріація є нульовою, визначення положення об'єкта після його руху у відповідності до довільної нелінійної функції є тривіальним: просто застосуйте функцію до вектора середнього значення. Коли коваріація є ненульовою, перетворене середнє значення у загальному випадку не дорівнюватиме
, і неможливо навіть визначити середнє значення перетвореного розподілу ймовірностей з самих лише його попереднього середнього значення та коваріації. Враховуючи цю невизначеність, нелінійно перетворені середнє значення та коваріацію може бути лише наближено. Найранішим таким наближенням було лінеаризувати нелінійну функцію та застосувати отриману матрицю Якобі до заданих середнього значення та коваріації. Це є основою розширеного фільтру Калмана (англ. Extended Kalman Filter, EKF), і хоча було відомо, що в багатьох умовах він породжує слабкі результати, практичної альтернативи не існувало протягом багатьох десятиліть.
Обґрунтування беззапахового перетворення
У 1994 році [en] зазначив, що розширений фільтр Калмана бере нелінійну функцію та часткову інформацію про розподіл ймовірностей (у формі оцінки середнього значення та коваріації) стану системи, але застосовує наближення до відомої функції, замість застосовувати його до неточно відомого розподілу ймовірностей. Він припустив, що кращим підходом було би використовувати застосовування точної нелінійної функції до наближувального розподілу ймовірностей. Обґрунтування цього підходу наведено в його докторській дисертації, де вперше було визначено термін беззапахове перетворення:
![]() | Розгляньмо наступне припущення: З фіксованим набором параметрів мусить бути простіше наближувати заданий розподіл, ніж наближувати довільну нелінійну функцію/перетворення. Виходячи з цього припущення, метою є знаходження параметризації, що фіксувала би інформацію про середнє значення та коваріацію, дозволяючи в той же час пряме пропускання цієї інформації через довільний набір нелінійних рівнянь. Це може досягатися генеруванням дискретного розподілу, що мав би такі самі перший та другий (і можливо вищі) моменти, де кожну точку цього дискретного наближення може бути перетворювано безпосередньо. Середнє значення та коваріація перетвореного ансамблю тоді може обчислюватися як оцінка нелінійного перетворення початкового розподілу. Загальніше, застосування заданого нелінійного перетворення до дискретного розподілу точок, обчислюване так, щоби фіксувати набір відомої статистики невідомого розподілу, називається беззапаховим перетворенням. Оригінальний текст (англ.) Consider the following intuition: With a fixed number of parameters it should be easier to approximate a given distribution than it is to approximate an arbitrary nonlinear function/transformation. Following this intuition, the goal is to find a parameterization that captures the mean and covariance information while at the same time permitting the direct propagation of the information through an arbitrary set of nonlinear equations. This can be accomplished by generating a discrete distribution having the same first and second (and possibly higher) moments, where each point in the discrete approximation can be directly transformed. The mean and covariance of the transformed ensemble can then be computed as the estimate of the nonlinear transformation of the original distribution. More generally, the application of a given nonlinear transformation to a discrete distribution of points, computed so as to capture a set of known statistics of an unknown distribution, is referred to as an unscented transformation.> | ![]() |
Іншими словами, задану інформацію про середнє значення та коваріацію може бути точно закодовано у множині точок, що називаються сигма-точками (англ. sigma points), які при розгляді як елементи дискретного розподілу ймовірностей мають середнє значення та коваріацію, рівні заданим. Цей розподіл може перетворюватися точно, шляхом застосування нелінійної функції до кожної з точок. Середнє значення та коваріація перетвореної множини точок тоді представляють бажану оцінку перетворення. Принциповою перевагою цього підходу є те, що нелінійна функція використовується повноцінно, на відміну від розширеного фільтру Калмана, що замінює її лінійною. Усунення необхідності лінеаризації також надає переваги, незалежні від покращення якості оцінювання. Однією із безпосередніх переваг є можливість застосовування беззапахового перетворення з будь-якою заданою функцією, тоді як лінеаризація може бути неможливою для функцій, що не є диференційовними. Практичною перевагою є те, що беззапахове перетворення може бути простішим для впровадження, оскільки уникає потреби у виведенні та реалізації матриці Якобі для лінеаризації.
Обчислення беззапахового перетворення
Ульман зазначив, що в загальному випадку для визначення дискретного розподілу, що має задані середнє значення та коваріацію в вимірах, необхідно і достатньо
сигма-точок. Розгляньмо наступний симплекс точок у двох вимірах:
Можна переконатися, що наведений вище набір точок має середнє значення та коваріацію
(одиничну матрицю). При будь-яких заданих двовимірних середньому значенні та коваріації
бажані сигма-точки може бути отримано множенням кожної точки на матричний квадратний корінь
та додаванням
. Аналогічний канонічний набір сигма-точок може бути згенеровано у будь-якому числі вимірів
шляхом взяття нульового вектора та точок, що відповідають рядкам одиничної матриці, обчислення середнього значення цього набору точок, віднімання цього середнього значення від кожної з точок, так що отримуваний в результаті набір матиме нульове середнє значення, потім обчислення коваріації набору точок з нульовим середнім значенням, і застосування її оберненого значення до кожної точки, так що коваріація набору стане дорівнювати одиничній матриці.
Ульман показав, що можливо зручно генерувати симетричний набір сигма-точок зі стовпчиків
, де
є заданою матрицею коваріації, без необхідності обчислення оберненої матриці. Це обчислювально ефективно, та, оскільки точки формують симетричний розподіл, фіксує третій центральний момент (коефіцієнт асиметрії), коли базовий розподіл стану є або може вважатися симетричним. Він також показав, що для впливу на статистику набору можна застосовувати вагові коефіцієнти, включно з від'ємними. Він та Саймон Джуль'є (англ. Simon Julier) опублікували декілька праць, що показали, що використання беззапахового перетворення у фільтрі Калмана, що називається (беззапаховим фільтром Калмана) (англ. Unscented Kalman Filter, UKF), у ряді застосувань забезпечує значне покращення продуктивності у порівнянні з розширеним фільтром Калмана. Джуль'є також розробив та дослідив прийоми для генерування сигма-точок для фіксації третього моменту (коефіцієнту асиметрії) довільного розподілу, та четвертого моменту (коефіцієнту ексцесу) симетричного розподілу.
Слід зазначити, що Джуль'є та Ульман публікували праці, використовуючи специфічну параметризовану форму беззапахового перетворення у контексті беззапахового фільтру Калмана, що використовувала від'ємні вагові коефіцієнти для фіксації інформації про передбачуваний розподіл. Ця форма беззапахового перетворення є вразливою до чисельних помилок, від яких оригінальні формулювання (вище) не страждають. Згодом Джуль'є описав параметризовані форми, що не використовують від'ємних вагових коефіцієнтів, і також не є предметом цих питань.
Приклад
Беззапахове перетворення визначено для застосування заданої функції до будь-якої часткової характеристики в іншому невідомого розподілу, але найпоширенішим його застосування є для випадку, коли задано лише середнє значення та коваріацію. Звичайним прикладом є перетворення з однієї системи координат до іншої, як-от з декартової координатної сітки до полярних координат.
Припустімо, що двовимірні оцінки середнього значення та коваріації задано у декартових координатах як
Функцією перетворення до полярних координат є
(Множення) кожної з сигма-точок канонічного симплекса (наведених вище) на та додавання середнього
дає
Застосування функції перетворення до кожної з наведених вище точок дає
Середнє значення цих трьох перетворених точок, , є оцінкою беззапаховим перетворенням середнього значення у полярних координатах:
Оцінкою коваріації беззапаховим перетворенням є
де кожен квадрат під сумою є (тензорним добутком векторів). Це дає
Це можна порівняти з лінеаризованим середнім значенням та коваріацією
Абсолютна різниця між оцінками беззапаховим перетворенням та лінеаризацією є відносно невеликою, однак у застосуваннях для фільтрування сукупний ефект невеликих помилок може призводити до невиправної розбіжності оцінки. Вплив помилок підсилюється, коли коваріація виявляється недооціненою, оскільки це призводить до надлишкової впевненості фільтру в точності середнього значення. У наведеному вище прикладі видно, що лінеаризована оцінка коваріації є меншою за оцінку беззапахового перетворення, що наводить на думку, що лінеаризація, швидше за все, недооцінила дійсну помилку свого середнього значення.
У цьому прикладі неможливо визначити абсолютну точність оцінок беззапахового перетворення та лінеаризації без експериментальної перевірки форми дійсного розподілу ймовірностей, пов'язаного з початковою оцінкою, та середнього значення і коваріації цього розподілу після застосування нелінійного перетворення (наприклад, визначених аналітично, чи чисельним інтегруванням). Такі аналізи виконувалися для перетворень координат за припущення нормальності базових розподілів, і оцінкам беззапахового перетворення властиво бути суттєво точнішими за отримані лінеаризацією.
Емпіричний аналіз показав, що використання мінімального симплексного набору сигма-точок є значно менш точним за використання симетричного набору
точок, якщо базовий розподіл є нормальним. Це наводить на думку, що використання симплексного набору у наведеному вище прикладі не буде найкращим вибором, якщо базовий розподіл, пов'язаний з
, є симетричним. Навіть якщо базовий розподіл і не є симетричним, цей симплексний набір все одно, швидше за все, є менш точним за симетричний набір, оскільки асиметрія симплексного набору не відповідає асиметрії дійсного розподілу.
Повертаючись до прикладу, мінімальний симетричний набір сигма-точок може бути отримано з матриці коваріації просто як вектор середнього значення,
, плюс та мінус стовпчики
:
Ця конструкція гарантує, що середнім значенням та коваріацією наведених вище сигма-точок є , що можна перевірити безпосередньо. Застосування нелінійної функції
до кожної з цих сигма-точок дає
Середнє значення цих чотирьох перетворених сигма-точок, , є оцінкою беззапаховим перетворенням середнього значення у полярних координатах:
Оцінкою коваріації беззапаховим перетворенням є
де кожен квадрат під сумою є (тензорним добутком векторів). Це дає
Різниця між оцінками середнього значення беззапаховим перетворенням та лінеаризацією дає міру впливу нелінійності перетворення. Наприклад, якщо перетворення є лінійним, то оцінки беззапахового перетворення та лінеаризації будуть ідентичними. Це спонукає використовувати додавання квадрату цієї різниці до коваріації беззапахового перетворення, щоби захиститися від недооцінки дійсної помилки середнього значення. Цей підхід не покращує точність середнього значення, але може значно покращити точність фільтру з плином часу, зменшуючи ймовірність недооцінки коваріації.
Оптимальність беззапахового перетворення
Ульман зазначив, що при заданні лише середнього значення та коваріації в іншому невідомого розподілу ймовірностей задача перетворення є погано визначеною, оскільки існує безліч розподілів з такими самими двома першими моментами. За відсутності жодної апріорної інформації або припущень про характеристики базового розподілу, будь-які розподіли, що використовуються для обчислення перетворених середнього значення та коваріації, є однаково прийнятними. Іншими словами, не існує вибору розподілу із заданими середнім значенням та коваріацією, що є кращим за пропонований набором сигма-точок, отже, беззапахове перетворення є очевидно оптимальним.
Загальна констатація оптимальності, звісно, є марною для здійснення будь-яких чисельних тверджень про продуктивність беззапахового перетворення, наприклад, у порівнянні з лінеаризацією; тому він, Джуль'є та інші виконали аналіз за різних припущень про характеристики розподілу та/або форму нелінійної функції перетворення. Наприклад, якщо функція є диференційовною, що є необхідним для лінеаризації, цей аналіз підтверджує очікувану та підказувану емпірикою перевагу беззапахового перетворення.
Застосування
Беззапахове перетворення, особливо як частина беззапахового фільтру Калмана, широко замінило розширений фільтр Калмана у багатьох застосуваннях для нелінійного фільтрування та керування, включно з підводною, наземною та повітряною навігацією, та космічними апаратами.
Див. також
Примітки
- http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/First-Hand:The_Unscented_Transform [ 22 листопада 2014 у Wayback Machine.] (англ.)
- Uhlmann, Jeffrey (1995). Dynamic Map Building and Localization: New Theoretical Foundations. University of Oxford. (англ.)
- Julier, S.; J. Uhlmann (1997). New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems. Proceedings of the 1997 SPIE Conference on Signal Processing, Sensor Fusion, and Target Recognition. Т. 3068. (англ.)
- Julier, S.; J. Uhlmann (1997). Consistent Debiased Method for Converting Between Between Polar and Cartesian Coordinate Systems. Proceedings of the 1997 SPIE Conference on Acquisition, Tracking, and Pointing. Т. 3086. SPIE. (англ.)
- Julier, Simon; Uhlmann, Jeffrey (2000). A New Method for the Nonlinear Transformation of Means and Covariances in Nonlinear Filters. IEEE Trans. On Automatic Control. (англ.)
- Julier, Simon (1998). A Skewed Approach to Filtering. The Proceedings of the 12th Intl. Symp. On Aerospace/Defense Sensing, Simulation and Controls. Т. 3373. SPIE. (англ.)
- Julier, Simon (2002). The Scaled Unscented Transformation. Proceedings of the American Control Conference. Т. 6. IEEE. (англ.)
- Zhang, W.; M. Liu та Z. Zhao (2009). Accuracy Analysis of Unscented Transformation of Several Sampling Strategies. Proc. of the 10th Intl. Conf. on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking and Parallel/Distributed Computing. ACIS. (англ.)
- Wu, L.; J. Ma та J. Tian (2010). Self-Adaptive Unscented Kalman Filtering for Underwater Gravity Aided Navigation. Proc. of IEEE/ION Plans. (англ.)
- El-Sheimy, N; Shin, EH; Niu, X (2006). Kalman Filter Face-Off: Extended vs. Unscented Kalman Filters for Integrated GPS and MEMS Inertial. [en]: Engineering Solutions for the Global Navigation Satellite System Community. 1 (2). (англ.)
- Crassidis, J.; Markley, F. (2003). Unscented Filtering for Spacecraft Attitude Estimation. AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 26. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bezza pahove peretvo rennya angl Unscented Transform UT ye matematichnoyu funkciyeyu sho zastosovuyetsya dlya ocinyuvannya rezultatu zastosuvannya zadanogo nelinijnogo peretvorennya do rozpodilu jmovirnostej sho opisuyetsya lishe zasobami skinchennogo naboru statistiki Najposhirenishim zastosuvannyam bezzapahovogo peretvorennya ye nelinijna proyekciya ocinok serednogo znachennya ta kovariaciyi u konteksti nelinijnih rozshiren filtru Kalmana Jogo rozrobnik en angl Jeffrey Uhlmann poyasniv u interv yu sho prijshov do ciyeyi nazvi pobachivshi bezzapahovij dezodorant na stoli kolegi bo ne vvazhaye sho tehnichni termini zobov yazani buti osmislenimi nazvati peretvorennya svoyim prizvishem vin ne mig a absurdnist ye jogo kerivnim principom Tim ne mensh obrana nim nazva anglijskoyu pochinayetsya tiyeyu zh literoyu sho j jogo prizvishe tomu zalishayetsya mozhlivist nazvati peretvorennya jogo prizvishem bez zmini abreviaturi anglijskoyu PeredumoviBagato metodiv filtruvannya ta keruvannya predstavlyayut ocinku stanu sistemi u formi vektora serednogo znachennya ta pov yazanoyi matrici kovariaciyi pomilki Napriklad ocinene dvovimirne polozhennya ob yekta mozhe predstavlyatisya vektorom serednogo polozhennya x y displaystyle x y z neviznachenistyu zadanoyu u formi matrici kovariaciyi 2x2 sho zadaye dispersiyu v x displaystyle x dispersiyu v y displaystyle y ta vzayemnu kovariaciyu mizh nimi Nulova kovariaciya oznachaye sho nemaye neviznachenosti chi pomilki v tomu sho polozhennya ob yekta ye tochno takim yak zadano vektorom serednogo znachennya Predstavlennya u viglyadi serednogo znachennya ta kovariaciyi zadaye lishe pershi dva momenti gadanogo ale v inshomu nevidomogo rozpodilu jmovirnostej U vipadku ob yekta sho ruhayetsya nevidomij rozpodil jmovirnostej mozhe predstavlyati neviznachenist polozhennya ob yekta u pevnij moment chasu Predstavlennya u viglyadi serednogo znachennya ta kovariaciyi ye matematichno zruchnim oskilki do vektora serednogo znachennya m displaystyle m ta matrici kovariaciyi M displaystyle M mozhe buti zastosovano bud yake linijne peretvorennya T displaystyle T yak T m displaystyle Tm ta T M T T displaystyle TMT T vidpovidno Cya vlastivist linijnosti ne vikonuyetsya poza pershim centralnim momentom serednim znachennyam ta drugim centralnim momentom kovariaciyeyu tomu v zagalnomu vipadku nemozhlivo viznachiti serednye znachennya ta kovariaciyu v rezultati nelinijnogo peretvorennya oskilki rezultat zalezhit vid usih momentiv a zadano lishe pershi dva Hocha matricya kovariaciyi chasto i vvazhayetsya ochikuvanoyu kvadratichnoyu pomilkoyu pov yazanoyu iz serednim znachennya na praktici cya matricya pidtrimuyetsya yak verhnya mezha spravzhnoyi kvadratichnoyi pomilki Tochnishe ocinka serednogo znachennya ta kovariaciyi m M displaystyle m M konservativno pidtrimuyetsya tak sho matricya kovariaciyi M displaystyle M ye bilshoyu abo rivnoyu spravzhnij kvadratichnij pomilci pov yazanij z m displaystyle m Matematichno ce oznachaye sho rezultat vidnimannya ochikuvanoyi kvadratichnoyi pomilki sho ne ye zazvichaj vidomoyu vid M displaystyle M ye nevid yemnoviznachenoyu abo dodatnoviznachenoyu matriceyu Sens pidtrimannya konservativnoyi ocinki kovariaciyi v tomu sho bilshist algoritmiv filtruvannya ta keruvannya mayut vlastivist rozhoditisya hibiti yaksho kovariaciya ye nedoocinenoyu Ce vidbuvayetsya tomu sho nepravdivo mala kovariaciya oznachaye menshu neviznachenist i prizvodit do togo sho filtr nadaye bilshe vagi doviri nizh ce vipravdano tochnistyu serednogo znachennya Povertayuchis do navedenogo vishe prikladu koli kovariaciya ye nulovoyu viznachennya polozhennya ob yekta pislya jogo ruhu u vidpovidnosti do dovilnoyi nelinijnoyi funkciyi f x y displaystyle f x y ye trivialnim prosto zastosujte funkciyu do vektora serednogo znachennya Koli kovariaciya ye nenulovoyu peretvorene serednye znachennya u zagalnomu vipadku ne dorivnyuvatime f x y displaystyle f x y i nemozhlivo navit viznachiti serednye znachennya peretvorenogo rozpodilu jmovirnostej z samih lishe jogo poperednogo serednogo znachennya ta kovariaciyi Vrahovuyuchi cyu neviznachenist nelinijno peretvoreni serednye znachennya ta kovariaciyu mozhe buti lishe nablizheno Najranishim takim nablizhennyam bulo linearizuvati nelinijnu funkciyu ta zastosuvati otrimanu matricyu Yakobi do zadanih serednogo znachennya ta kovariaciyi Ce ye osnovoyu rozshirenogo filtru Kalmana angl Extended Kalman Filter EKF i hocha bulo vidomo sho v bagatoh umovah vin porodzhuye slabki rezultati praktichnoyi alternativi ne isnuvalo protyagom bagatoh desyatilit Obgruntuvannya bezzapahovogo peretvorennyaU 1994 roci en zaznachiv sho rozshirenij filtr Kalmana bere nelinijnu funkciyu ta chastkovu informaciyu pro rozpodil jmovirnostej u formi ocinki serednogo znachennya ta kovariaciyi stanu sistemi ale zastosovuye nablizhennya do vidomoyi funkciyi zamist zastosovuvati jogo do netochno vidomogo rozpodilu jmovirnostej Vin pripustiv sho krashim pidhodom bulo bi vikoristovuvati zastosovuvannya tochnoyi nelinijnoyi funkciyi do nablizhuvalnogo rozpodilu jmovirnostej Obgruntuvannya cogo pidhodu navedeno v jogo doktorskij disertaciyi de vpershe bulo viznacheno termin bezzapahove peretvorennya Rozglyanmo nastupne pripushennya Z fiksovanim naborom parametriv musit buti prostishe nablizhuvati zadanij rozpodil nizh nablizhuvati dovilnu nelinijnu funkciyu peretvorennya Vihodyachi z cogo pripushennya metoyu ye znahodzhennya parametrizaciyi sho fiksuvala bi informaciyu pro serednye znachennya ta kovariaciyu dozvolyayuchi v toj zhe chas pryame propuskannya ciyeyi informaciyi cherez dovilnij nabir nelinijnih rivnyan Ce mozhe dosyagatisya generuvannyam diskretnogo rozpodilu sho mav bi taki sami pershij ta drugij i mozhlivo vishi momenti de kozhnu tochku cogo diskretnogo nablizhennya mozhe buti peretvoryuvano bezposeredno Serednye znachennya ta kovariaciya peretvorenogo ansamblyu todi mozhe obchislyuvatisya yak ocinka nelinijnogo peretvorennya pochatkovogo rozpodilu Zagalnishe zastosuvannya zadanogo nelinijnogo peretvorennya do diskretnogo rozpodilu tochok obchislyuvane tak shobi fiksuvati nabir vidomoyi statistiki nevidomogo rozpodilu nazivayetsya bezzapahovim peretvorennyam Originalnij tekst angl Consider the following intuition With a fixed number of parameters it should be easier to approximate a given distribution than it is to approximate an arbitrary nonlinear function transformation Following this intuition the goal is to find a parameterization that captures the mean and covariance information while at the same time permitting the direct propagation of the information through an arbitrary set of nonlinear equations This can be accomplished by generating a discrete distribution having the same first and second and possibly higher moments where each point in the discrete approximation can be directly transformed The mean and covariance of the transformed ensemble can then be computed as the estimate of the nonlinear transformation of the original distribution More generally the application of a given nonlinear transformation to a discrete distribution of points computed so as to capture a set of known statistics of an unknown distribution is referred to as an unscented transformation gt Inshimi slovami zadanu informaciyu pro serednye znachennya ta kovariaciyu mozhe buti tochno zakodovano u mnozhini tochok sho nazivayutsya sigma tochkami angl sigma points yaki pri rozglyadi yak elementi diskretnogo rozpodilu jmovirnostej mayut serednye znachennya ta kovariaciyu rivni zadanim Cej rozpodil mozhe peretvoryuvatisya tochno shlyahom zastosuvannya nelinijnoyi funkciyi do kozhnoyi z tochok Serednye znachennya ta kovariaciya peretvorenoyi mnozhini tochok todi predstavlyayut bazhanu ocinku peretvorennya Principovoyu perevagoyu cogo pidhodu ye te sho nelinijna funkciya vikoristovuyetsya povnocinno na vidminu vid rozshirenogo filtru Kalmana sho zaminyuye yiyi linijnoyu Usunennya neobhidnosti linearizaciyi takozh nadaye perevagi nezalezhni vid pokrashennya yakosti ocinyuvannya Odniyeyu iz bezposerednih perevag ye mozhlivist zastosovuvannya bezzapahovogo peretvorennya z bud yakoyu zadanoyu funkciyeyu todi yak linearizaciya mozhe buti nemozhlivoyu dlya funkcij sho ne ye diferencijovnimi Praktichnoyu perevagoyu ye te sho bezzapahove peretvorennya mozhe buti prostishim dlya vprovadzhennya oskilki unikaye potrebi u vivedenni ta realizaciyi matrici Yakobi dlya linearizaciyi Obchislennya bezzapahovogo peretvorennyaUlman zaznachiv sho v zagalnomu vipadku dlya viznachennya diskretnogo rozpodilu sho maye zadani serednye znachennya ta kovariaciyu v n displaystyle n vimirah neobhidno i dostatno n 1 displaystyle n 1 sigma tochok Rozglyanmo nastupnij simpleks tochok u dvoh vimirah s 1 0 2 T s 2 3 2 1 2 T s 3 3 2 1 2 T displaystyle s 1 left 0 sqrt 2 right T quad s 2 left sqrt 3 over 2 sqrt 1 over 2 right T quad s 3 left sqrt 3 over 2 sqrt 1 over 2 right T Mozhna perekonatisya sho navedenij vishe nabir tochok maye serednye znachennya s 0 displaystyle s 0 ta kovariaciyu S I displaystyle S I odinichnu matricyu Pri bud yakih zadanih dvovimirnih serednomu znachenni ta kovariaciyi x X displaystyle x X bazhani sigma tochki mozhe buti otrimano mnozhennyam kozhnoyi tochki na matrichnij kvadratnij korin X displaystyle X ta dodavannyam x displaystyle x Analogichnij kanonichnij nabir sigma tochok mozhe buti zgenerovano u bud yakomu chisli vimiriv n displaystyle n shlyahom vzyattya nulovogo vektora ta tochok sho vidpovidayut ryadkam odinichnoyi matrici obchislennya serednogo znachennya cogo naboru tochok vidnimannya cogo serednogo znachennya vid kozhnoyi z tochok tak sho otrimuvanij v rezultati nabir matime nulove serednye znachennya potim obchislennya kovariaciyi naboru tochok z nulovim serednim znachennyam i zastosuvannya yiyi obernenogo znachennya do kozhnoyi tochki tak sho kovariaciya naboru stane dorivnyuvati odinichnij matrici Ulman pokazav sho mozhlivo zruchno generuvati simetrichnij nabir 2 n displaystyle 2n sigma tochok zi stovpchikiv n X displaystyle pm sqrt nX de X displaystyle X ye zadanoyu matriceyu kovariaciyi bez neobhidnosti obchislennya obernenoyi matrici Ce obchislyuvalno efektivno ta oskilki tochki formuyut simetrichnij rozpodil fiksuye tretij centralnij moment koeficiyent asimetriyi koli bazovij rozpodil stanu ye abo mozhe vvazhatisya simetrichnim Vin takozh pokazav sho dlya vplivu na statistiku naboru mozhna zastosovuvati vagovi koeficiyenti vklyuchno z vid yemnimi Vin ta Sajmon Dzhul ye angl Simon Julier opublikuvali dekilka prac sho pokazali sho vikoristannya bezzapahovogo peretvorennya u filtri Kalmana sho nazivayetsya bezzapahovim filtrom Kalmana angl Unscented Kalman Filter UKF u ryadi zastosuvan zabezpechuye znachne pokrashennya produktivnosti u porivnyanni z rozshirenim filtrom Kalmana Dzhul ye takozh rozrobiv ta doslidiv prijomi dlya generuvannya sigma tochok dlya fiksaciyi tretogo momentu koeficiyentu asimetriyi dovilnogo rozpodilu ta chetvertogo momentu koeficiyentu ekscesu simetrichnogo rozpodilu Slid zaznachiti sho Dzhul ye ta Ulman publikuvali praci vikoristovuyuchi specifichnu parametrizovanu formu bezzapahovogo peretvorennya u konteksti bezzapahovogo filtru Kalmana sho vikoristovuvala vid yemni vagovi koeficiyenti dlya fiksaciyi informaciyi pro peredbachuvanij rozpodil Cya forma bezzapahovogo peretvorennya ye vrazlivoyu do chiselnih pomilok vid yakih originalni formulyuvannya vishe ne strazhdayut Zgodom Dzhul ye opisav parametrizovani formi sho ne vikoristovuyut vid yemnih vagovih koeficiyentiv i takozh ne ye predmetom cih pitan PrikladBezzapahove peretvorennya viznacheno dlya zastosuvannya zadanoyi funkciyi do bud yakoyi chastkovoyi harakteristiki v inshomu nevidomogo rozpodilu ale najposhirenishim jogo zastosuvannya ye dlya vipadku koli zadano lishe serednye znachennya ta kovariaciyu Zvichajnim prikladom ye peretvorennya z odniyeyi sistemi koordinat do inshoyi yak ot z dekartovoyi koordinatnoyi sitki do polyarnih koordinat Pripustimo sho dvovimirni ocinki serednogo znachennya ta kovariaciyi m M displaystyle m M zadano u dekartovih koordinatah yak m 12 3 7 6 T M 1 44 0 0 2 89 displaystyle m 12 3 7 6 T quad M begin bmatrix 1 44 amp 0 0 amp 2 89 end bmatrix Funkciyeyu peretvorennya do polyarnih koordinat f x y r 8 displaystyle f x y rightarrow r theta ye r x 2 y 2 8 arctan y x displaystyle r sqrt x 2 y 2 quad theta arctan y x Mnozhennya kozhnoyi z sigma tochok kanonichnogo simpleksa navedenih vishe na M 1 2 1 2 0 0 1 7 displaystyle M 1 2 begin bmatrix 1 2 amp 0 0 amp 1 7 end bmatrix ta dodavannya serednogo m displaystyle m daye m 1 0 2 40 12 3 7 6 12 3 10 0 displaystyle m 1 0 2 40 12 3 7 6 12 3 10 0 m 2 1 47 1 20 12 3 7 6 10 8 6 40 displaystyle m 2 1 47 1 20 12 3 7 6 10 8 6 40 m 3 1 47 1 20 12 3 7 6 13 8 6 40 displaystyle m 3 1 47 1 20 12 3 7 6 13 8 6 40 Zastosuvannya funkciyi peretvorennya f displaystyle f do kozhnoyi z navedenih vishe tochok daye m 1 f 12 3 10 0 15 85 0 68 displaystyle m 1 f 12 3 10 0 15 85 0 68 m 2 f 10 8 6 40 12 58 0 53 displaystyle m 2 f 10 8 6 40 12 58 0 53 m 3 f 13 8 6 40 15 18 0 44 displaystyle m 3 f 13 8 6 40 15 18 0 44 Serednye znachennya cih troh peretvorenih tochok m U T 1 3 S i 1 3 m i displaystyle m UT frac 1 3 Sigma i 1 3 m i ye ocinkoyu bezzapahovim peretvorennyam serednogo znachennya u polyarnih koordinatah m U T 14 539 0 551 displaystyle m UT 14 539 0 551 Ocinkoyu kovariaciyi bezzapahovim peretvorennyam ye M U T 1 3 S i 1 3 m i m U T 2 displaystyle M UT frac 1 3 Sigma i 1 3 m i m UT 2 de kozhen kvadrat pid sumoyu ye tenzornim dobutkom vektoriv Ce daye M U T 2 00 0 0443 0 0443 0 0104 displaystyle M UT begin bmatrix 2 00 amp 0 0443 0 0443 amp 0 0104 end bmatrix Ce mozhna porivnyati z linearizovanim serednim znachennyam ta kovariaciyeyu m linear f 12 3 7 6 14 46 0 554 T displaystyle m mbox linear f 12 3 7 6 14 46 0 554 T M linear f M f T 1 927 0 047 0 047 0 011 displaystyle M mbox linear nabla f M nabla f T begin bmatrix 1 927 amp 0 047 0 047 amp 0 011 end bmatrix Absolyutna riznicya mizh ocinkami bezzapahovim peretvorennyam ta linearizaciyeyu ye vidnosno nevelikoyu odnak u zastosuvannyah dlya filtruvannya sukupnij efekt nevelikih pomilok mozhe prizvoditi do nevipravnoyi rozbizhnosti ocinki Vpliv pomilok pidsilyuyetsya koli kovariaciya viyavlyayetsya nedoocinenoyu oskilki ce prizvodit do nadlishkovoyi vpevnenosti filtru v tochnosti serednogo znachennya U navedenomu vishe prikladi vidno sho linearizovana ocinka kovariaciyi ye menshoyu za ocinku bezzapahovogo peretvorennya sho navodit na dumku sho linearizaciya shvidshe za vse nedoocinila dijsnu pomilku svogo serednogo znachennya U comu prikladi nemozhlivo viznachiti absolyutnu tochnist ocinok bezzapahovogo peretvorennya ta linearizaciyi bez eksperimentalnoyi perevirki formi dijsnogo rozpodilu jmovirnostej pov yazanogo z pochatkovoyu ocinkoyu ta serednogo znachennya i kovariaciyi cogo rozpodilu pislya zastosuvannya nelinijnogo peretvorennya napriklad viznachenih analitichno chi chiselnim integruvannyam Taki analizi vikonuvalisya dlya peretvoren koordinat za pripushennya normalnosti bazovih rozpodiliv i ocinkam bezzapahovogo peretvorennya vlastivo buti suttyevo tochnishimi za otrimani linearizaciyeyu Empirichnij analiz pokazav sho vikoristannya minimalnogo simpleksnogo naboru n 1 displaystyle n 1 sigma tochok ye znachno mensh tochnim za vikoristannya simetrichnogo naboru 2 n displaystyle 2n tochok yaksho bazovij rozpodil ye normalnim Ce navodit na dumku sho vikoristannya simpleksnogo naboru u navedenomu vishe prikladi ne bude najkrashim viborom yaksho bazovij rozpodil pov yazanij z m M displaystyle m M ye simetrichnim Navit yaksho bazovij rozpodil i ne ye simetrichnim cej simpleksnij nabir vse odno shvidshe za vse ye mensh tochnim za simetrichnij nabir oskilki asimetriya simpleksnogo naboru ne vidpovidaye asimetriyi dijsnogo rozpodilu Povertayuchis do prikladu minimalnij simetrichnij nabir sigma tochok mozhe buti otrimano z matrici kovariaciyi M 1 44 0 0 2 89 displaystyle M begin bmatrix 1 44 amp 0 0 amp 2 89 end bmatrix prosto yak vektor serednogo znachennya m 12 3 7 6 displaystyle m 12 3 7 6 plyus ta minus stovpchiki 2 M 1 2 2 1 2 0 0 1 7 1 697 0 0 2 404 displaystyle 2M 1 2 sqrt 2 begin bmatrix 1 2 amp 0 0 amp 1 7 end bmatrix begin bmatrix 1 697 amp 0 0 amp 2 404 end bmatrix m 1 12 3 7 6 1 697 0 13 997 7 6 displaystyle m 1 12 3 7 6 1 697 0 13 997 7 6 m 2 12 3 7 6 1 697 0 10 603 7 6 displaystyle m 2 12 3 7 6 1 697 0 10 603 7 6 m 3 12 3 7 6 0 2 404 12 3 10 004 displaystyle m 3 12 3 7 6 0 2 404 12 3 10 004 m 4 12 3 7 6 0 2 404 12 3 5 196 displaystyle m 4 12 3 7 6 0 2 404 12 3 5 196 Cya konstrukciya garantuye sho serednim znachennyam ta kovariaciyeyu navedenih vishe sigma tochok ye m M displaystyle m M sho mozhna pereviriti bezposeredno Zastosuvannya nelinijnoyi funkciyi f displaystyle f do kozhnoyi z cih sigma tochok daye m 1 15 927 0 497 displaystyle m 1 15 927 0 497 m 2 13 045 0 622 displaystyle m 2 13 045 0 622 m 3 15 854 0 683 displaystyle m 3 15 854 0 683 m 4 13 352 0 400 displaystyle m 4 13 352 0 400 Serednye znachennya cih chotiroh peretvorenih sigma tochok m U T 1 4 S i 1 4 m i displaystyle m UT frac 1 4 Sigma i 1 4 m i ye ocinkoyu bezzapahovim peretvorennyam serednogo znachennya u polyarnih koordinatah m U T 14 545 0 550 displaystyle m UT 14 545 0 550 Ocinkoyu kovariaciyi bezzapahovim peretvorennyam ye M U T 1 4 S i 1 4 m i m U T 2 displaystyle M UT frac 1 4 Sigma i 1 4 m i m UT 2 de kozhen kvadrat pid sumoyu ye tenzornim dobutkom vektoriv Ce daye M U T 1 823 0 043 0 043 0 012 displaystyle M UT begin bmatrix 1 823 amp 0 043 0 043 amp 0 012 end bmatrix Riznicya mizh ocinkami serednogo znachennya bezzapahovim peretvorennyam ta linearizaciyeyu daye miru vplivu nelinijnosti peretvorennya Napriklad yaksho peretvorennya ye linijnim to ocinki bezzapahovogo peretvorennya ta linearizaciyi budut identichnimi Ce sponukaye vikoristovuvati dodavannya kvadratu ciyeyi riznici do kovariaciyi bezzapahovogo peretvorennya shobi zahistitisya vid nedoocinki dijsnoyi pomilki serednogo znachennya Cej pidhid ne pokrashuye tochnist serednogo znachennya ale mozhe znachno pokrashiti tochnist filtru z plinom chasu zmenshuyuchi jmovirnist nedoocinki kovariaciyi Optimalnist bezzapahovogo peretvorennyaUlman zaznachiv sho pri zadanni lishe serednogo znachennya ta kovariaciyi v inshomu nevidomogo rozpodilu jmovirnostej zadacha peretvorennya ye pogano viznachenoyu oskilki isnuye bezlich rozpodiliv z takimi samimi dvoma pershimi momentami Za vidsutnosti zhodnoyi apriornoyi informaciyi abo pripushen pro harakteristiki bazovogo rozpodilu bud yaki rozpodili sho vikoristovuyutsya dlya obchislennya peretvorenih serednogo znachennya ta kovariaciyi ye odnakovo prijnyatnimi Inshimi slovami ne isnuye viboru rozpodilu iz zadanimi serednim znachennyam ta kovariaciyeyu sho ye krashim za proponovanij naborom sigma tochok otzhe bezzapahove peretvorennya ye ochevidno optimalnim Zagalna konstataciya optimalnosti zvisno ye marnoyu dlya zdijsnennya bud yakih chiselnih tverdzhen pro produktivnist bezzapahovogo peretvorennya napriklad u porivnyanni z linearizaciyeyu tomu vin Dzhul ye ta inshi vikonali analiz za riznih pripushen pro harakteristiki rozpodilu ta abo formu nelinijnoyi funkciyi peretvorennya Napriklad yaksho funkciya ye diferencijovnoyu sho ye neobhidnim dlya linearizaciyi cej analiz pidtverdzhuye ochikuvanu ta pidkazuvanu empirikoyu perevagu bezzapahovogo peretvorennya ZastosuvannyaBezzapahove peretvorennya osoblivo yak chastina bezzapahovogo filtru Kalmana shiroko zaminilo rozshirenij filtr Kalmana u bagatoh zastosuvannyah dlya nelinijnogo filtruvannya ta keruvannya vklyuchno z pidvodnoyu nazemnoyu ta povitryanoyu navigaciyeyu ta kosmichnimi aparatami Div takozhFiltr Kalmana en en Rozshirenij filtr Kalmana Nelinijnij filtrPrimitkihttp www ieeeghn org wiki index php First Hand The Unscented Transform 22 listopada 2014 u Wayback Machine angl Uhlmann Jeffrey 1995 Dynamic Map Building and Localization New Theoretical Foundations University of Oxford angl Julier S J Uhlmann 1997 New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems Proceedings of the 1997 SPIE Conference on Signal Processing Sensor Fusion and Target Recognition T 3068 angl Julier S J Uhlmann 1997 Consistent Debiased Method for Converting Between Between Polar and Cartesian Coordinate Systems Proceedings of the 1997 SPIE Conference on Acquisition Tracking and Pointing T 3086 SPIE angl Julier Simon Uhlmann Jeffrey 2000 A New Method for the Nonlinear Transformation of Means and Covariances in Nonlinear Filters IEEE Trans On Automatic Control angl Julier Simon 1998 A Skewed Approach to Filtering The Proceedings of the 12th Intl Symp On Aerospace Defense Sensing Simulation and Controls T 3373 SPIE angl Julier Simon 2002 The Scaled Unscented Transformation Proceedings of the American Control Conference T 6 IEEE angl Zhang W M Liu ta Z Zhao 2009 Accuracy Analysis of Unscented Transformation of Several Sampling Strategies Proc of the 10th Intl Conf on Software Engineering Artificial Intelligence Networking and Parallel Distributed Computing ACIS angl Wu L J Ma ta J Tian 2010 Self Adaptive Unscented Kalman Filtering for Underwater Gravity Aided Navigation Proc of IEEE ION Plans angl El Sheimy N Shin EH Niu X 2006 Kalman Filter Face Off Extended vs Unscented Kalman Filters for Integrated GPS and MEMS Inertial en Engineering Solutions for the Global Navigation Satellite System Community 1 2 angl Crassidis J Markley F 2003 Unscented Filtering for Spacecraft Attitude Estimation AIAA Journal of Guidance Control and Dynamics 26 angl