Нецентрований хі-квадрат розподіл

У теорії ймовірностей і статистиці нецентрований розподіл хі-квадрат (нецентрований ${\displaystyle \chi ^{2}}$ розподіл) — це нецентроване узагальнення розподілу хі-квадрат. Він часто зустрічається при аналізі потужності статистичних тестів, в яких розподіл параметра при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом. Важливими прикладами таких тестів є тести на відношення правдоподібності.

Нецентрований хі-квадрат
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle k>0\,}$ — ступені свободи ${\displaystyle \lambda >0\,}$ — параметр нецентральности,
Носій функції	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$ де${\displaystyle Q_{M}(a,b)\,}$ — Q-функція Маркума
Середнє	${\displaystyle k+\lambda \,}$
Дисперсія	${\displaystyle 2(k+2\lambda )\,}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}2t<1}$
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}}$

Передумови

Нехай ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми ${\displaystyle \mu _{i}}$ та одиничною дисперсією. Тоді випадкова величина

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

розподілена за нецентрованого хі-квадрат розподілу. У цього розподілу два параметри: ${\displaystyle k}$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість ${\displaystyle X_{i}}$) і ${\displaystyle \lambda }$ що пов'язане із середнім значенням випадкових величин ${\displaystyle X_{i}}$ формулою:

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

іноді ${\displaystyle \lambda }$ називають параметром нецентрованості . Зверніть увагу, в деяких джерелах ${\displaystyle \lambda }$визначають інакше, наприклад, половиною вищезазначеної суми чи квадратним коренем з неї.

Цей розподіл виникає у багатовимірній статистиці як похідна від багатовимірного нормального розподілу . Тоді як центрований хі-квадрат розподіл - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом ${\displaystyle N(0_{k},I_{k})}$ (тобто квадрат відстані від початку координат до випадкової точки-реалізації випадкової величини, що має такий розподіл), нецентрований ${\displaystyle \chi ^{2}}$ - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом ${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$. Тут ${\displaystyle 0_{k}}$ - нульовий вектор з k елементів, ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$ і ${\displaystyle I_{k}}$ - k вимірна одинична матриця.

Означення

Функція густини ймовірності (pdf) задається як

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

де ${\displaystyle Y_{q}}$ розподілена за законом хі-квадрат з ${\displaystyle q}$ ступенямии свободи.

З цього запису випливає, що нецентрований хі-квадрат розподіл є зваженою Пуассоном сумішшю центральних хі-квадрат розподілів. Нехай випадкова величина J має розподіл Пуассона із середнім значенням ${\displaystyle \lambda /2}$, та умовний розподіл Z, заданий J = i - хі-квадрат із k + 2 i ступеня свободи. Тоді безумовний розподіл Z є нецентрованим хі-квадрат розподілом з k ступенями свободи та параметром нецентрованості ${\displaystyle \lambda }$ .

Крім того, щільність можна подати формулою

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

де ${\displaystyle I_{\nu }(y)}$ - модифікована функція Бесселя першого роду:

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.}$

Використовуючи зв'язок функції Бесселя з гіпергеометричними функціями, щільність також можна записати як:

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

У Зіґеля (1979) описано випадок k = 0 (нуль ступенів свободи) докладно, у цьому випадку розподіл має дискретну складову в нулі.

Властивості

Твірна функція

Твірна функція моментів, задається формулою

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

Моменти

Перші кілька початкових моментів:

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )}$

Перші кілька центральних моментів:

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

N-а кумулянта є

${\displaystyle K_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

Отже

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

Функція розподілу

Знову використовуючи співвідношення між центрованим та нецентрованим розподілами хі-квадрат, функцію розподілу (cdf) можна записати як

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

де ${\displaystyle Q(x;k)\,}$ - функція розподілу центрованого розподілу хі-квадрат із k ступенями свободи, що записується як

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

і де ${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$ - нижня неповна гамма-функція.

Можна також скористатися Q-функцією Маркума ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$ для запису функції розподілу

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

Наближення (у тому числі для квантилів)

Абдель-Аті виводять (як "перше наближення") нецентроване наближення Вільсона-Гілферті:

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}}$ має приблизно нормальний розподіл, ${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),}$ тобто

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

що є досить точним і добре адаптовним до нецентрованості. Крім того, ${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$ стає ${\displaystyle f=k}$ при ${\displaystyle \lambda =0}$, (центрований) хі-квадрат розподіл.

Санкаран описує ряд аналітичних виразів наближень функції розподілу. В своїх ранніх роботах він отримав та довів наступне наближення:

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}}$

де

${\displaystyle \Phi \lbrace \cdot \rbrace \,}$ позначає функцію розподілу стандартного нормального розподілу;

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};}$

${\displaystyle m=(h-1)(1-3h)\,.}$

Це та інші наближення описані в його пізніших підручниках.

Для даної ймовірності ці формули легко обернути для обчислення досить точних наближеннь ${\displaystyle x}$ відповідних квантилів.

Виведення функції щільности

Виведення функції щільності ймовірності найлегше зробити, виконавши наступні кроки:

1. Оскільки ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ мають одиничні дисперсії, їх спільний розподіл сферично симетричний, аж до зсуву місця.
2. Тоді сферична симетрія означає, що розподіл ${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ залежить від середніх значень лише через квадрат довжини, ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$ . Тому, без обмеження загальности можна взяти ${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$ і ${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$ .
3. Тепер обчислимо щільність ${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$ (тобто k = 1 випадок). Просте перетворення випадкових величин дає

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \phi (\cdot )}$ - функція щільности стандартної нормальної випадкової величини.

1. Розкладемо гіперболічну функцію в ряд Тейлора. Це дає зважену за Пуассоном суміш представлення щільності, поки ще для k = 1. Індекси на випадкових величин в хі-квадрат розподілених випадкових величинах в наведеному вище ряді в цьому випадку є 1 + 2 i.
2. Нарешті, для загального випадку. Припустимо без обмеження загальності ${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$ є стандартні нормальні, отже ${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ має центрований хі-квадрат розподіл з ( k − 1) ступенями свободи, незалежна від ${\displaystyle X_{1}^{2}}$. Використовуючи запис ${\displaystyle X_{1}^{2}}$ у вигляді Пуасонівської суміші, і той факт, що сума хі-квадрат випадкових величин має також хі-квадрат, отримуємо результат. Індексами в ряді є (1 + 2 i ) + ( k − 1) = k + 2 i як і треба показати.

Пов’язані розподіли

• Якщо ${\displaystyle V}$ хі квадрат розподілена в.в.: ${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$, тоді ${\displaystyle V}$ також нецетровано хі квадрат розподілена з нульовим параметром нецетральности: ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• Лінійна комбінація незалежних нецентральних хі квадрат розподілених випадкових величин ${\displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})}$, має узагальнений хі квадрат розподіл.
• Якщо ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$ і ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$ і ${\displaystyle V_{1}}$ незалежна від ${\displaystyle V_{2}}$, тоді нецентрально <i id="mwARo">F</i>-розподілена величину можна отримати як ${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$
• Як ${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)}$, тоді ${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• Якщо ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )}$, тоді ${\displaystyle {\sqrt {V}}}$ - розподілена за розподілом Райса з параметром ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$ випадкова величина.
• Наближення нормальним розподілом: якщо ${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$, тоді ${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)}$ за розподілом при ${\displaystyle k\to \infty }$ чи ${\displaystyle \lambda \to \infty }$.
• Якщо ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$і ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$, де ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ - незалежні, тоді ${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$, де ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}}$.
• Взагальному, для скінченної множини ${\displaystyle V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \left\{1..N\right\}}$, сума цих нецентральних хі квадрат розподілених в.в. ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$ має розподіл ${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$, де ${\displaystyle k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}}$. Це можна покажати використовуючи твірні функції моментів наступним чином: ${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)}$ використовуючи незалежність ${\displaystyle V_{i}}$ випадкових величин. Далі просто підставляємо ТФМ нецентрального хі квадрат розподілу у вираз для добутку і зведенням до нової ТФМ. Або ж зважаючи на інтерпретацію у розділі Передумови як сума квадратів незалежних норомально розподілених в.в. з варіацією 1 і відповідними середніми значеннями.
• Комплексні нецентральні хі квадрат розподіли мають застосування у радіо зв'язку і системах радарів ^[]. Нехай ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})}$ - незалежні скалярні комплексні випадкові величини з нецентральною колоавою симетрією, з середніми ${\displaystyle \mu _{i}}$ і одиничними варіаціями: ${\displaystyle \operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1}$. Тоді дійснозначна випадкова величина ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}}$ розподілена за комплексним нецентральним хі квадрат розподілом:

${\displaystyle f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$



де ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}.}$

Перетворення

Санкаран (1963) описує перетворення типу ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$. Він аналізує розклад кумулянт ${\displaystyle z}$ до порядку ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$ і доводить, що для деяких ${\displaystyle b}$ можна отримати прийнятні результати:

• при ${\displaystyle b=(k-1)/2}$ друга кумулянта ${\displaystyle z}$ асимптотично не залежить від ${\displaystyle \lambda }$,
• при ${\displaystyle b=(k-1)/3}$ третя кумулянта ${\displaystyle z}$ асимптотично не залежить від ${\displaystyle \lambda }$,
• при ${\displaystyle b=(k-1)/4}$ четверта кумулянта ${\displaystyle z}$ асимптотично не залежить від ${\displaystyle \lambda }$.

Крім того, більш просту трансформацію ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$ можна використовувати як дисперсійно-стабілізуюче перетворення, яке дає випадкову величину із середнім значенням ${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$ і дисперсією ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$.

Використанню таких перетворень може завадити необхідність квадратного кореня з від’ємних чисел.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Розподіл Хі	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
Нецентрований хі розподіл	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Використання

Використання в довірчих інтервалах

Двосторонні нормальні довірчі інтервали в регресії можна обчислити на основі нецентрованого хі-квадратрозподілу. Використовуючи його можна обчислити статистичний інтервал, в межах якого з певним рівнем довіри потрапляє певна частина вибіркової сукупності.

Примітки

1. Muirhead (2005) Theorem 1.3.4
2. Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q_M Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95–96, ISSN 0018-9448
3. Abdel-Aty, S. (1954). Approximate Formulae for the Percentage Points and the Probability Integral of the Non-Central χ2 Distribution 41, 538–540. doi:10.2307/2332731
4. Sankaran, M. (1963). Approximations to the non-central chi-squared distribution , 50(1-2), 199–204
5. Sankaran, M. (1959). "On the non-central chi-squared distribution", 46, 235–237
6. Johnson et al. (1995) Continuous Univariate Distributions Section 29.8
7. Derek S. Young (August 2010). tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals. Journal of Statistical Software. 36: 1—39. ISSN 1548-7660. Процитовано 19 лютого 2013., p.32

Список літератури

• Абрамовіц, М. та Стегун, ІА (1972), Довідник з математичних функцій, Дувр. Розділ 26.4.25.
• Джонсон, Нью-Йорк, Коц, С., Балакрішнан, Н. (1995), Безперервні одноваріантні розподіли, том 2 (2-е видання), Wiley.
• Мюрхед, Р. (2005) Аспекти багатовимірної статистичної теорії (2-е видання). Вілі.
• Siegel, AF (1979), "Нецентральний розподіл хі-квадрат з нульовим ступенем свободи та тестування на однорідність", Biometrika, 66, 381 – 386
• Press, S.J. (1966), Linear combinations of non-central chi-squared variates, The Annals of Mathematical Statistics, 37 (2): 480—487, doi:10.1214/aoms/1177699531, JSTOR 2238621