Нецентрований хі розподіл

У теорії ймовірностей та статистиці нецентрований розподіл хі є нецентральним узагальненням розподілу хі.

Нецентрований хі
Параметри	${\displaystyle k>0\,}$ ступені свободи ${\displaystyle \lambda >0\,}$
Носій функції	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)}$, де Q-функція Маркума ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$
Середнє	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,}$
Дисперсія	${\displaystyle k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}}$, де ${\displaystyle \mu }$ середнє

Означення

Якщо ${\displaystyle X_{i}}$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми ${\displaystyle \mu _{i}}$ і дисперсіями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, то статистика

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

має нецентрований розподіл хі. Нецентрований розподіл хі має два параметри: ${\displaystyle k}$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість ${\displaystyle X_{i}}$ ), і ${\displaystyle \lambda }$ що пов'язаний із середнім значенням випадкових величин ${\displaystyle X_{i}}$ рівнянням:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Властивості

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) записується

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

де ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ - модифікована функція Бесселя першого роду.

Початкові моменти

Перші кілька початкових моментів :

${\displaystyle \mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})}$

де ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(z)}$ - функція Лаґерра . Зверніть увагу, що 2 ${\displaystyle n}$ий момент такий самий, як і ${\displaystyle n}$ий момент нецентрованого розподілу хі-квадрат, де ${\displaystyle \lambda }$ замінюється на ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ .

Двовимірний нецентрований розподіл хі

Нехай ${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$, набір n незалежних і однаково розподілених двовимірних нормальних випадкових векторів з граничними розподілами ${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$, кореляцією ${\displaystyle \rho }$, і матрицею середнього вектора та коваріації

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

з ${\displaystyle \Sigma }$ позитивно визначений . Позначимо

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Тоді спільний розподіл U, V є центрованим або нецентрованим двовимірним розподілом хі з n ступенями свободи. Якщо один або обидва ${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$ або ${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$, то розподіл нецентрований двовимірний розподіл хі.

Подібні розподіли

• Якщо ${\displaystyle X}$ є випадкова величина з нецентрованим розподілом хі, випадкова величина ${\displaystyle X^{2}}$ матиме нецентрований розподіл хі-квадрат .
• Якщо ${\displaystyle X}$ має розподіл хі: ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$, тоді ${\displaystyle X}$ також нецентрований хі розподіл: ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$ . Іншими словами, розподіл хі є окремим випадком нецентрованого розподілу хі (тобто з нульовим параметром нецентрованості).
• Нецентрований розподіл хі з 2 ступенями свободи еквівалентний розподілу Райса, де ${\displaystyle \sigma =1}$ .
• Якщо X має нецентрований розподіл хі з 1 ступенем свободи та параметром нецентрованості λ, то σ X має згорнений нормальний розподіл, параметри якого дорівнюють σλ і σ ² для будь-якого значення σ.

Список літератури

1. Marakatha Krishnan (1967). The Noncentral Bivariate Chi Distribution. SIAM Review. 9 (4): 708—714. doi:10.1137/1009111.
2. P. R. Krishnaiah, P. Hagis, Jr. and L. Steinberg (1963). A note on the bivariate chi distribution. SIAM Review. 5: 140—144. doi:10.1137/1005034. JSTOR 2027477.