Міра Малера

Міра Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена ${\displaystyle p(z)}$ з комплексними коефіцієнтами визначається як

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$

де ${\displaystyle p(z)}$ розкладається в полі комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ на множники

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$

Міру Малера можна розглядати як вид . Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел ${\displaystyle |p(z)|}$ для ${\displaystyle z}$ на одиничному колі (тобто, ${\displaystyle |z|=1}$):

${\displaystyle M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа ${\displaystyle \alpha }$ визначається як міра Малера мінімального многочлена від ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Зокрема, якщо ${\displaystyle \alpha }$ є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто ${\displaystyle \alpha }$.

Названо на честь математика Курта Малера.

Властивості

• Міра Малера є мультиплікативною: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),}$ де ${\displaystyle \forall }$ — квантор загальності .
• ${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }}$, де середнє степеневе ${\displaystyle \|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }}$ є нормою ${\displaystyle L_{\tau }}$ для многочлена ${\displaystyle p}$.
• (^[en]) Якщо ${\displaystyle p}$ -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із ${\displaystyle M(p)=1}$, то або ${\displaystyle p(z)=z}$, або ${\displaystyle p}$ є коловим многочленом.
• (^[en]) Якщо існує стала ${\displaystyle \mu >1}$, така, що, якщо ${\displaystyle p}$ є незвідним цілочисельним многочленом, то або ${\displaystyle M(p)=1}$, або ${\displaystyle M(p)>\mu }$.
• Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.

Міра Малера від кількох змінних

Міра Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена з кількома змінними ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ визначається за аналогічною формулою:

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.

Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і ${\displaystyle L}$-функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формули

${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),}$

де ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ — L-функція Діріхле, і

${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)}$ ,

де ${\displaystyle \zeta }$ — дзета-функція Рімана. Тут ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)}}$ називають логарифмічною мірою Малера.

Теорема Лоутона

За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. ^[en]). Якщо ${\displaystyle p}$ перетворюється на нуль на торі ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$, то збіжність інтеграла, який визначає ${\displaystyle M(p)}$, не очевидна, але відомо, що ${\displaystyle M(p)}$ збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінної, що висловив у вигляді гіпотези ^[en] .

Нехай ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ позначає цілі числа, визначимо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{для}}\ 1\leq j\leq N\}}$ . Якщо ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ є многочленом від ${\displaystyle N}$ змінних та ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$, то нехай многочлен ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ від однієї змінної визначається як

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),}$

а ${\displaystyle q(r)}$ — як

${\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$ ,

де ${\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$.

Теорема (Лоутона): нехай ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$):

${\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$

Пропозиція Бойда

Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох змінних.

Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$

де ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ — коловий многочлен степеня m, ${\displaystyle v_{i}}$ — цілі числа, а ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ вбрано найменшим, так що ${\displaystyle \Psi (z)}$ є многочленом від ${\displaystyle z_{i}}$. Нехай ${\displaystyle K_{n}}$ — множина многочленів, які є добутком одночленів ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$ та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.

Теорема (Бойда): нехай ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді ${\displaystyle M(F)=1,}$ тільки коли ${\displaystyle F}$ є елементом ${\displaystyle K_{n}}$.

Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:

${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$

та об'єднання ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$. Він висунув більш «просунуту» гіпотезу, що множина ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ є замкнутою підмножиною ${\displaystyle \mathbb {R} }$. З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$, Бойд пізніше висловив гіпотезу, що

${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.}$

Див. також

• ^[en]

Примітки

1. Хоча це не є істинною нормою для значень ${\displaystyle \tau <1}$.
2. Schinzel, 2000, с. 224.
3. Smyth, 2008.
4. Lawton, 1983.
5. Boyd, 1981a.
6. Boyd, 1981b.

Література

• Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — , 2002. — Т. 10. — С. 3, 15. — (CMS Books in Mathematics) — .
• David Boyd. Speculations concerning the range of Mahler's measure // Canad. Math. Bull.. — 1981a. — Т. 24, вип. 4. — С. 453–469. — DOI:10.4153/cmb-1981-069-5.
• David Boyd. Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables // Journal of Number Theory. — 1981b. — Т. 13. — С. 116–121. — DOI:10.1016/0022-314x(81)90033-0.
• David Boyd. Number theory for the Millenium / M. A. Bennett. — A. K. Peters, 2002a. — С. 127–143.
• David Boyd. Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm // Canadian Mathematical Society Notes. — 2002b. — Т. 34, вип. 2. — С. 3–4, 26–28.
• David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahler's measure and the dilogarithm, part 1 // Canadian J. Math.. — 2002. — Т. 54. — С. 468–492. — DOI:10.4153/cjm-2002-016-9.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Міра Малера, Математична енциклопедія, , ISBN .
• J.L. Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // . — 1899. — Т. 22. — С. 359–364. — DOI:10.1007/BF02417878.
• Donald E. Knuth. 4.6.2 Factorization of Polynomials // Seminumerical Algorithms. — 3rd. — Addison-Wesley, 1997. — Т. 2. — С. 439–461, 678–691. — (The Art of Computer Programming) — .
• Wayne M. Lawton. A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials // Journal of Number Theory. — 1983. — Т. 16. — С. 356–362. — DOI:10.1016/0022-314X(83)90063-X.
• M.J. Mossinghoff. Polynomials with Small Mahler Measure // . — 1998. — Т. 67, вип. 224. — С. 1697–1706. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-01006-0.
• Andrzej Schinzel. Polynomials with special regard to reducibility. — Cambridge University Press, 2000. — Т. 77. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications) — .
• Chris Smyth. Number Theory and Polynomials / James McKee, Chris Smyth. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 352. — С. 322–349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series) — .

Посилання

• Kevin O'Bryant Міра Малера(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ronald M. Aarts Формула Єнсена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.