Числа Пізо

Число Пізо (або число Пізо — Віджаяраґгавана, або PV-число) — будь-яке ціле алгебричне число, більше від одиниці, модулі всіх спряжених якого строго менші від одиниці. Ці числа відкрив 1912 року ^[en], від 1919 року вивчав Ґодфрі Гарді у зв'язку з діофантовими наближеннями, але популярність вони здобули після опублікування 1938 року дисертації ^[fr]. У 1940-х роках дослідження продовжили ^[en] і Рафаель Салем.

З числами Пізо тісно пов'язані числа Салема: це таке число, модулі всіх спряжених якого не перевищують 1 і серед них є одиничний.

Властивості

Що більший натуральний показник степеня PV-числа, то більше цей степінь наближається до цілого числа. Пізо довів, що серед нецілих додатних алгебричних чисел, модулі яких більші від 1, ця властивість є винятковою для PV-чисел: якщо дійсне число ${\displaystyle \alpha >1}$ таке, що послідовність відстаней ${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$ від його степенів до множини цілих чисел квадратно сумовні (належать (L²))^[], то ${\displaystyle \alpha }$ — число Пізо (і, зокрема, ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне).

Найменшим числом Пізо є єдиний дійсний корінь кубічного рівняння ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$, відомий як пластичне число.

Квадратичні ірраціональності, що є числами Пізо:

Значення	Многочлен	Числове значення
${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-x-1}$	1,618034 … (золотий перетин)
${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-1}$	2,414214… (срібний перетин)
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x+1}$	2,618034…  A104457
${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-2}$	2,732051…  A090388
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-1}$	3,302776…  A098316 ()
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+2}$	3,414214…
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-2}$	3,561553.  A178255
${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+1}$	3,732051…  A019973
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-3}$	3,791288…  A090458
${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x-1}$	4,236068…  A098317

Примітки

1. А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5 (16 липня). — С. 8—13. з джерела 4 вересня 2011.
   А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6 (16 липня). — С. 9—13. з джерела 27 листопада 2011.
2. Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1 (16 липня). — С. 97–131.
4. . Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
5. Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
6. Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
7. Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
8. Тут ${\displaystyle \|a\|}$ означає відстань від ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, тобто ${\displaystyle \min(\{a\},1-\{a\})}$, де ${\displaystyle \{a\}}$ — дробова частина числа ${\displaystyle a}$.