Майже періодична функція

Майже періодична функція — це узагальнення поняття періодичної функції — функція, яка є періодичною з довільним наперед заданим рівнем точності, з відповідними, добре розподіленими «майже періодами». Вперше поняття майже періодичної функції було запроваджене данським математиком Гаральдом Бором та потім розвинене у роботах С. Бохнера, ^[ru], Г. Вейля, А. С. Безиковича, Дж. фон Неймана та інших математиків. Теорія майже періодичних функцій розвивається у зв'язку із задачами теорії диференціальних рівнянь, теорії стійкості, теорії динамічних систем та ін.

Майже періодичні функції мають в собі звичайні періодичні функції, а також тісно пов'язані з тригонометричними поліномами, тобто з сумами вигляду

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{n}\cos(\lambda _{n}x)+b_{n}\sin(\lambda _{n}x))}$ або ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{n}e^{i\lambda _{n}x}}$,

де ${\displaystyle a_{n},b_{n},c_{n},\lambda _{n}}$ — довільні дійсні числа. Зауважимо, що якщо ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$, то вказані поліноми є періодичними функціями.

Мотивація

Перша проблема, яку можна віднести до теорії майже періодичних функцій, була поставлена Ж. Л. Лагранжем у 1782 році у зв'язку з вивченням руху планет. А саме, Ж. Л. Лагранж порушив питання про існування так званого середнього руху в узагальненого тригонометричного полінома й розв'язав це питання в окремому випадку. Цій проблемі присвячено багато досліджень, її вивчали , , Г. Вейль; остаточне розв'язання цієї проблеми запропонували і .

Г. Бор помітив, що питання Лагранжа має істотне відношення до більш широкого класу функцій. У зв'язку з цим, а також у зв'язку з вивченням ${\displaystyle \zeta }$ — функції Рімана ним була створена теорія майже періодичних функцій. Зокрема, Г. Бор узагальнив задачу Лагранжа й довів існування аналога середнього руху для довільної майже періодичної функції, відмежованої від нуля.

Подальший розвиток ця теорія одержала, окрім робіт Г. Бора, у роботах А. С. Безиковича, М. М. Боголюбова, , Г. Вейля, Н. Вінера, Б. Я. Левіна, , В. О. Марченка, Дж. фон Неймана, В. В. Степанова та інших. Зокрема, В. В. Степанов, Г. Вейль, А. С. Безикович розглядали функції, майже періодичні не в рівномірній метриці, як у Бора, а майже періодичні щодо тієї або іншої інтегральної метрики.

Основне застосування майже періодичні функції знайшли в теорії диференціальних рівнянь як звичайних, так і з частинними похідними, у нескінченновимірних еволюційних рівняннях, у теорії чисел. Майже періодичні за Безиковичем функції також використовуються в теорії ймовірностей, в теорії ${\displaystyle \zeta }$ — функції Рімана, та при вивченні майже періодичних перерізів багатозначних відображень.

Майже періодичні функції Бора

Означення

Спочатку наведемо деякі допоміжні означення. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — деяка неперервна функція дійсного аргументу.

Означення 1. Число ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$ називається ${\displaystyle \varepsilon }$-майже періодом функції ${\displaystyle f(x)}$, якщо для всіх ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ виконується нерівність

${\displaystyle |f(x+\tau )-f(x)|<\varepsilon .}$

Означення 2. Підмножина ${\displaystyle E}$ дійсних чисел називається відносно щільною в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, якщо існує таке число ${\displaystyle l>0}$, що в довільному інтервалі ${\displaystyle [a,a+l]}$ довжини ${\displaystyle l}$ знайдеться хоча б одне число з ${\displaystyle E}$.

Означення 3. (за Бором) Неперервна в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ функція ${\displaystyle f(x)}$ називається рівномірною майже періодичною функцією або майже періодичною функцією Бора, якщо для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує відносно щільна множина векторів ${\displaystyle \varepsilon }$-майже періодів функції ${\displaystyle f(x)}$.

Іншими словами для довільної майже періодичної функції ${\displaystyle f(x)}$ та довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдуться такі числа ${\displaystyle \tau }$, які досить «густо» заповнюють всю числову пряму, що виконуватиметься нерівність із означення 1.

Означення 4. (за Бохнером). Функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною тоді і тільки тоді, коли послідовність ${\displaystyle \{f(x+t_{n})\}}$ (послідовність зсувів функції ${\displaystyle f(x)}$) є відносно компактною для кожного ${\displaystyle x}$, тобто з неї можна виділити рівномірно збіжну підпослідовність.

Означення майже періодичності за Бором та за Бохнером є еквівалентними.

Властивості

• Майже періодична функція є рівномірно обмеженою.
• Якщо ${\displaystyle \tau }$ — ${\displaystyle \varepsilon }$-майже період функції ${\displaystyle f(x)}$, то ${\displaystyle -\tau }$- ${\displaystyle \varepsilon }$-майже період функції ${\displaystyle f(x)}$.
• Якщо ${\displaystyle \tau _{1}}$, ${\displaystyle \tau _{2}}$ — ${\displaystyle \varepsilon }$-майже періоди функції ${\displaystyle f(x)}$, то ${\displaystyle \tau _{1}\pm \tau _{2}}$ — ${\displaystyle 2\varepsilon }$-майже період функції ${\displaystyle f(x)}$.

• Майже періодична функція є рівномірно неперервною на всій осі.
• Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною, то ${\displaystyle |f(x)|}$ — майже періодична функція.
• Якщо дійснозначна функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною, то ${\displaystyle \max(|f(x)|,0)}$ — майже періодична функція.

• Якщо комплекснозначна функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною, то ${\displaystyle Re(f(x))}$ та ${\displaystyle Im(f(x))}$ — майже періодичні функції.

• Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною, то ${\displaystyle f^{2}(x)}$ — майже періодична функція.
• Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною і ${\displaystyle |f(x)|\geqslant k>0}$, то ${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}}$ — майже періодична функція.
• Множина майже періодичних функцій є замкнутою відносно норми ${\displaystyle ||f||=\sup _{x}|f(x)|}$.

Критерій Бохнера майже періодичності неперервної функції

Неперервна функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною тоді і тільки тоді, коли для ${\displaystyle \forall }$ послідовності ${\displaystyle \{h_{n}\}}$ ${\displaystyle \exists }$ підпослідовність ${\displaystyle \{h_{n'}\}\subset \{h_{n}\}}$ така, що послідовність функцій ${\displaystyle \{f(x+h_{n'})\}}$ збігається за нормою ${\displaystyle ||f||=\sup _{x}|f(x)|}$.

Узагальнення критерію Бохнера:

Нехай ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ — сім'я функцій з наступними властивостями:

1) ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ — рівномірно обмежена;

2) ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ — рівностепенево неперервна;

3) ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ — рівномірно майже періодична(тобто має відносно щільну множину загальних майже періодів).

Тоді існує підпослідовність ${\displaystyle \{f_{n'}(x)\}}$, що збігається за нормою ${\displaystyle ||f||=\sup _{x}|f(x)|}$.

Наслідки:

• Якщо функції ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ є майже періодичними, то ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ — майже періодична функція.
• Якщо функції ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ є майже періодичними, то ${\displaystyle f(x)g(x)}$ — майже періодична функція.

• Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ є майже періодичною, а ${\displaystyle f'(x)}$ є рівномірно неперервною, то ${\displaystyle f'(x)}$ — майже періодична функція.

Узагальнення поняття майже періодичних функцій

Майже періодичні функції Безиковича

А. С. Безикович узагальнив поняття майже періодичності та розглянув простір B^p, що є замиканням множини експоненціальних сум у метриці, що визначається напівнормою:

${\displaystyle ||f||_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

Майже періодичні функції Степанова

Простір S^p був введений В. В. Степановим і є замиканням множини тригонометричних поліномів за нормою:

${\displaystyle ||f||_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

для будь-якого додатнього значення r.

Майже періодичні функції Вейля

Простір W^p був введений Г. Вейлем і є замиканням множини тригонометричних поліномів за напівнормою:

${\displaystyle ||f||_{W,p}=\lim _{r\mapsto \infty }||f||_{S,r,p}}$

Див. також

• Періодична послідовність

Література

• Гутер Р.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.В. Элементы теории функций. — М. : ФИЗМАТГИЗ, 1963. — 244 с.

• Besicovitch A.S. Almost periodic functions. — Cambridge : Dover Publications, Inc, 1954. — 180 с.

• Левитан Б.М. Почти-периодические функции. — M : ГИТТЛ, 1953. — 398 с.

• Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. — M : МГУ, 1978. — 206 с.

• Bohr H. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I // Acta Math. — 1925. — № 45. — С. 29–127.

• Шубин М.А. Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы в пространствах почти периодических функций // Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы.. — 1974. — Т. 95, № 4. — С. 561-589.