Періодична послідовність

У математиці періодична послідовність — це послідовність, у якій ті самі терми повторюються знову і знову:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Кількість р повторюваних доданків називають періодом.

Визначення

(Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a₁, a₂, a₃, ..., у якій

a_n+p = a_n

для всіх значень n. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом або точним періодом. 

Приклади

Кожна стала функція є 1-періодичною.

Послідовність ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$ є періодичною з найменшим періодом 2.

Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче). 

Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі^[].

Періодична точка для функції f : X → X — точка x, якої

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

є періодичною послідовністю. Тут, ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означає n-разову композицію f, застосовану до x.  Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

Тотожності

Часткові суми

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$, де k і m<p — натуральні числа^[].

Часткові добутки

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$, де k і m<p — натуральні числа^[].

Періодичні послідовності нулів і одиниць

Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$ — період 1,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$ — період 2,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$ — період 3,

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1}$ — період ${\displaystyle N}$.

Узагальнення

Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

1/56 = 0. 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ... ^[]

Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$ для деякого r і достатньо великого k.

Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x₁, х₂, х₃, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a₁, a₂, a₃, ... для якої

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$ 

Наприклад, послідовність

1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  4/5,  . . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... 

Примітки

1. Ultimately periodic sequence - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. 7 лютого 2011. Процитовано 13 серпня 2021.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()
2. Weisstein, Eric W. Periodic Sequence. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
3. Bosma, Wieb. Complexity of Periodic Sequences (PDF). www.math.ru.nl. Процитовано 13 серпня 2021.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()
4. Janglajew, Klara; Schmeidel, Ewa (14 листопада 2012). Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations. Advances in Difference Equations. 2012 (1): 195. doi:10.1186/1687-1847-2012-195. ISSN 1687-1847.
5. Menezes, Alfred J.; Oorschot, Paul C. van; Vanstone, Scott A. (7 грудня 2018). Handbook of Applied Cryptography (англ.). CRC Press. ISBN .
6. Weisstein, Eric W. Least Period. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
7. Hosch, William L. (1 червня 2018). Rational number. Encyclopedia Britannica (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()
8. Cheng, SuiSun (29 вересня 2017). New Developments in Difference Equations and Applications: Proceedings of the Third International Conference on Difference Equations (англ.). Routledge. ISBN .
9. Shlezinger, Nir; Todros, Koby (1 січня 2019). Performance analysis of LMS filters with non-Gaussian cyclostationary signals (PDF). Signal Processing (англ.). 154: 260—271. arXiv:1708.00635. doi:10.1016/j.sigpro.2018.08.008. ISSN 0165-1684.