Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.
Означення
Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність
Нехай
деяка сім'я неперервних функцій, де — деяка підмножина дійсної осі, — множина індексів.
Множина функцій — рівностепенево неперервна в точці , якщо
Множина функцій — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з . Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить від та , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .
Множина функцій — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо
Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить тільки від , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .
Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір залежить і від , і від . У випадку рівномірної рівностепенової неперервності залежить тільки від . Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.
Метричний простір
Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів
Нехай , — метричні простори і — множина всіх неперервних відображень з в .
Підмножина відображень — рівностепенево неперервна в точці , якщо
Множина — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з .
Підмножина відображень називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо
Більш загально, якщо — топологічний простір, то множина відображень з в називається рівностепенево неперервною в точці , якщо
де позначає деякий окіл точки .
Властивості
- Якщо — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
- Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
- Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
- Нехай — рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді — неперервна .
- Нехай — рівностепенево неперервна сім'я функцій з в повний метричний простір і для всіх з деякої щільної в підмножини, тоді для всіх .
- Нехай — компактний простір і — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді рівномірно.
- Згідно узагальненої теореми Арцела якщо — компактні простори, то підмножина компактна в як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою тоді і тільки тоді, коли рівностепенево неперервна.
Приклади
- Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
- Нехай — неперервна на функція. Розглянемо відображення , яке задається формулою
Тоді множина рівностепенево неперервна .
Узагальнення
Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку наділена певними властивостями).
Див. також
Примітки
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 42-43.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 43.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 49.
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва : Мир, 1977. — 355 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z Rivnomirna neperervnist Rivnostepeneva neperervnist vlastivist sim yi neperervnih funkcij yaka polyagaye v tomu sho vsi funkciyi zminyuyutsya odnakovo v mezhah zadanogo okolu OznachennyaRivnostepeneva neperervnist i rivnomirna rivnostepeneva neperervnist Nehaj F f i x X R i I displaystyle mathcal F f i x X rightarrow mathbb R i in I deyaka sim ya neperervnih funkcij de X R displaystyle X subseteq mathbb R deyaka pidmnozhina dijsnoyi osi I displaystyle I mnozhina indeksiv Mnozhina funkcij F displaystyle mathcal F rivnostepenevo neperervna v tochci x 0 X displaystyle x 0 in X yaksho e gt 0 d d e gt 0 x X x x 0 lt d displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists delta delta varepsilon gt 0 quad forall x in X quad x x 0 lt delta f i F f i x f i x 0 lt e displaystyle qquad forall f i in mathcal F quad f i x f i x 0 lt varepsilon Mnozhina funkcij F displaystyle mathcal F rivnostepenevo neperervna yaksho vona rivnostepenevo neperervna v kozhnij tochci z X displaystyle X Inshimi slovami dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 znajdetsya take d gt 0 displaystyle delta gt 0 yake zalezhit vid e displaystyle varepsilon ta x 0 displaystyle x 0 sho dlya dovilnih x X displaystyle x in X takih sho x x 0 lt d displaystyle x x 0 lt delta viplivaye sho nerivnist f i x f i x 0 lt e displaystyle f i x f i x 0 lt varepsilon vikonuyetsya odnochasno dlya vsih funkcij z F displaystyle mathcal F Mnozhina funkcij F displaystyle mathcal F rivnomirno rivnostepenevo neperervna yaksho e gt 0 d d e gt 0 x 1 x 2 X x 1 x 2 lt d displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists delta delta varepsilon gt 0 quad forall x 1 x 2 in X quad x 1 x 2 lt delta f i F f i x 1 f i x 2 lt e displaystyle qquad forall f i in mathcal F quad f i x 1 f i x 2 lt varepsilon Inshimi slovami dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 znajdetsya take d gt 0 displaystyle delta gt 0 yake zalezhit tilki vid e displaystyle varepsilon sho dlya dovilnih x 1 x 2 X displaystyle x 1 x 2 in X takih sho x 1 x 2 lt d displaystyle x 1 x 2 lt delta viplivaye sho nerivnist f i x 1 f i x 2 lt e displaystyle f i x 1 f i x 2 lt varepsilon vikonuyetsya odnochasno dlya vsih funkcij z F displaystyle mathcal F Riznicya mizh rivnostepenevoyu neperervnistyu i rivnomirnoyu rivnostepenevoyu neperervnistyu v tomu sho u pershomu vipadku vibir d displaystyle delta zalezhit i vid x 0 displaystyle x 0 i vid e displaystyle varepsilon U vipadku rivnomirnoyi rivnostepenovoyi neperervnosti d displaystyle delta zalezhit tilki vid e displaystyle varepsilon Chasto koli govoryat pro rivnostepenevu neperervnist to pid neyu rozumiyut rivnomirnu rivnostepenevu neperervnist Metrichnij prostir Navedeni oznachennya bezposeredno perenosyatsya na vipadok metrichnih prostoriv Nehaj X d X displaystyle X d X Y d Y displaystyle Y d Y metrichni prostori i C X Y displaystyle C X Y mnozhina vsih neperervnih vidobrazhen z X displaystyle X v Y displaystyle Y Pidmnozhina vidobrazhen D C X Y displaystyle D subset C X Y rivnostepenevo neperervna v tochci x 0 X displaystyle x 0 in X yaksho e gt 0 d d e gt 0 x X d X x x 0 lt d displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists delta delta varepsilon gt 0 quad forall x in X quad d X x x 0 lt delta f i F d Y f x f x 0 lt e displaystyle qquad forall f i in mathcal F quad d Y f x f x 0 lt varepsilon Mnozhina D displaystyle D rivnostepenevo neperervna yaksho vona rivnostepenevo neperervna v kozhnij tochci z X displaystyle X Pidmnozhina vidobrazhen D C X Y displaystyle D subset C X Y nazivayetsya rivnomirno rivnostepenevo neperervnoyu yaksho e gt 0 d d e gt 0 x 1 x 2 X d X x 1 x 2 lt d displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists delta delta varepsilon gt 0 quad forall x 1 x 2 in X quad d X x 1 x 2 lt delta f C X Y d Y f x 1 f x 2 lt e displaystyle qquad forall f in C X Y quad d Y f x 1 f x 2 lt varepsilon Bilsh zagalno yaksho X displaystyle X topologichnij prostir to mnozhina F displaystyle F vidobrazhen z X displaystyle X v Y d Y displaystyle Y d Y nazivayetsya rivnostepenevo neperervnoyu v tochci x 0 X displaystyle x 0 in X yaksho e gt 0 U x 0 x U x 0 f F d Y f x f x 0 lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists U x 0 quad forall x in U x 0 quad forall f in F quad d Y f x f x 0 lt varepsilon de U x 0 displaystyle U x 0 poznachaye deyakij okil tochki x 0 displaystyle x 0 VlastivostiYaksho X displaystyle X kompaktnij prostir to mnozhina funkcij rivnomirno rivnostepenevo neperervna todi i tilki todi koli vona rivnostepenevo neperervna Kozhna z funkcij rivnomirno rivnostepenevoyi mnozhini funkcij rivnomirno neperervna Bud yaka skinchenna mnozhina rivnomirno neperervnih funkcij rivnomirno rivnostepenevo neperervna Nehaj f n x n N displaystyle f n x n in mathbb N rivnostepenevo neperervna sim ya funkcij i f n x f x displaystyle f n x rightarrow f x potochkovo dlya dovilnogo x displaystyle x todi f x displaystyle f x neperervna Nehaj f n x n N displaystyle f n x n in mathbb N rivnostepenevo neperervna sim ya funkcij z X d X displaystyle X d X v povnij metrichnij prostir Y d Y displaystyle Y d Y i lim n f n x f x displaystyle lim n rightarrow infty f n x f x dlya vsih x displaystyle x z deyakoyi shilnoyi v X displaystyle X pidmnozhini todi lim n f n x f x displaystyle lim n rightarrow infty f n x f x dlya vsih x X displaystyle x in X Nehaj X displaystyle X kompaktnij prostir i f n x n N displaystyle f n x n in mathbb N rivnomirno rivnostepenevo neperervna sim ya funkcij i lim n f n x f x displaystyle lim n rightarrow infty f n x f x potochkovo dlya dovilnogo x X displaystyle x in X todi f n x f x displaystyle f n x rightarrow f x rivnomirno Zgidno uzagalnenoyi teoremi Arcela yaksho X Y displaystyle X Y kompaktni prostori to pidmnozhina D C X Y displaystyle D subset C X Y kompaktna v C X Y displaystyle C X Y yak metrichnomu prostori nadilenomu rivnomirnoyu metrikoyu r f g max x X d Y f x g x f g C X Y displaystyle rho f g max x in X d Y f x g x f g in C X Y todi i tilki todi koli D displaystyle D rivnostepenevo neperervna PrikladiPoslidovnist funkcij z odnakovoyu konstantoyu Lipshica utvoryuyut rivnomirno rivnostepenevu mnozhinu funkcij V chastkovomu vipadku takoyu ye mnozhina funkcij pohidni yakih ye rivnomirno obmezhenimi Nehaj F x y displaystyle F x y neperervna na a b a b displaystyle a b times a b funkciya Rozglyanemo vidobrazhennya G C a b C a b displaystyle G C a b rightarrow C a b yake zadayetsya formuloyu G f x a b F x y f y d y displaystyle G cdot f x int a b F x y f y dy Todi mnozhina G f sup y a b f y 1 displaystyle G cdot f mid sup nolimits y in a b f y leqslant 1 rivnostepenevo neperervna UzagalnennyaRivnostepeneva neperervnist uzagalnyuyetsya dlya vidobrazhen mizh topologichnimi prostorami yaki nadileni tak zvanoyu rivnomirnoyu strukturoyu u topologichnomu prostori X displaystyle X vvoditsya specialna topologiya sim ya pidmnozhin z dekartovogo dobutku X X displaystyle X times X nadilena pevnimi vlastivostyami Div takozhNeperervna funkciya Rivnomirna neperervnist Teorema Askoli ArcelaPrimitkiRid M Sajmon B Metody sovremennoj matematicheskoj fiziki T 1 Funkcionalnyj analiz M Mir 1977 S 42 43 Rid M Sajmon B Metody sovremennoj matematicheskoj fiziki T 1 Funkcionalnyj analiz M Mir 1977 S 43 Rid M Sajmon B Metody sovremennoj matematicheskoj fiziki T 1 Funkcionalnyj analiz M Mir 1977 S 49 LiteraturaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Rid M Sajmon B Metody sovremennoj matematicheskoj fiziki T 1 Funkcionalnyj analiz Moskva Mir 1977 355 s