Діаграми Коксетера Динкіна для фундаментальних скінченних груп Коксетера Діаграми Коксетера Динкіна для фундаментальних

Діаграми Коксетера — Динкіна для фундаментальних афінних груп Коксетера

Див. також: Коксетер

В геометрії діаграма Коксетера — Динкіна (або діаграма Коксетера, граф Коксетера, схема Коксетера) — це граф з позначеними числами ребрами (так званими гілками), що представляють просторові зв'язки між набором дзеркальних симетрій (або гіперплощин дзеркальних відображень). Діаграма описує калейдоскопічну побудову — кожна «вершина» графу це дзеркало (грань фундаментальної області), а мітки гілок задають величину двогранного кута між двома дзеркалами (на гребені фундаментальної області, тобто на межі з розмірністю $n-2$ ). Непомічені гілки неявно припускають ступінь 3.Кожна діаграма — це група Коксетера.

Діаграми Динкіна тісно пов'язані з діаграмами Коксетера і відрізняються від них тим, що:

по-перше, гілки з міткою «4» і вище є орієнтованими, в той час як в діаграмах Коксетера — неорієнтовані;

по-друге, діаграми Динкіна повинні задовольняти додатковому (кристалографічному) обмеженню, а саме, мітки дозволені тільки 2, 3, 4 і 6. Діаграми Динкіна відповідають системі коренів і використовуються для їх класифікації, тому відповідають напівпростим групам Лі.

Опис

Гілки діаграми Коксетера — Динкіна позначаються раціональними числами p, відповідними двогранним кутами 180° / p. Якщо p = 2, кут дорівнює 90° і дзеркала не впливають одне на одного, гілка може бути виключена з діаграми. Якщо гілка не позначена, домовляються, що p = 3, що відповідає куту 60°. Два паралельних дзеркала мають гілку, позначену знаком «∞». У загальному випадку, n відображень можуть бути представлені повним графом, в якому всі n(n − 1) / 2 гілок намальовані. На практиці, майже всі цікаві комбінації відображень містять деяку кількість прямих кутів, так що відповідні гілки можуть бути виключені.

Діаграми можуть бути позначені відповідно до структури графу. Першими формами, які вивчав Людвіг Шлефлі, були симплекси, що визначаються сукупністю взаємнопенпердикулярних ребер. Ці симплекси Шлефлі назвав ортосхемами. виникають в різних ситуаціях, особливо при розгляді правильних політопів і правильних стільників. Плагіосхеми — це симплекси, представлені розгалуженими графами, а циклосхеми — симплекси, представлені циклічними графами.

Матриця Грама (Шлефлі)

Будь-яка діаграма Коксетера має відповідну матрицю Шлефлі з елементами $a_{i,\;j}=a_{j,\;i}=-2\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)$ , де $p$ — порядок гілки між парами віддзеркалень. Як матриця косинусів, вона також називається . Всі матриці Грама групи Коксетера симетричні, оскільки їх кореневі вектора нормалізовані. Вони близько пов'язані з матрицями Картана, які використовуються у схожому контексті, але для орієнтованих графів діаграм Динкіна для випадків p = 2,3,4 і 6, в загальному випадку, НЕ симетричні.

Визначник матриці Шлефлі називається шлефіаном (він же граміан), його знак визначає, чи є група скінченною (додатний визначник), афінною (нульовий) або невизначеною (від'ємний). Це правило називається критерієм Шлефлі.

Власні значення матриці Грама визначають, чи є група Коксетера скінченного типу (всі значення додатні), афінного типу (всі невід'ємні, щонайменше одне значення дорівнює нулю) або невизначеного типу (всі інші випадки). Невизначений тип іноді розбивається на підтипи, наприклад, на гіперболічні й інші групи Коксетера. Однак є багато не еквівалентних визначень гіперболічних груп Коксетера. Ми використовуємо наступне визначення: Група Коксетера з відповідною діаграмою є гіперболічною, якщо вона ні скінченного, ні афінного типів, але будь-яка зв'язкова піддіаграма має або скінченний, або афінний тип. Гіперболічна група Коксетера компактна, якщо всі її підгрупи скінченні (тобто мають додатні визначники) і паракомпактна, якщо всі її підгрупи скінченні або афінні (тобто мають невід'ємні визначники).

Скінченні і афінні групи також називаються еліптичними і параболічними відповідно. Гіперболічні групи називаються також групами Ланнера, який перерахував компактні гіперболічні групи в 1950-м, а паракомпактні групи — групами Козуля (або квазіланнеровими групами). Зустрічаються й інші назви. Так, в статті Максвелла скінченні групи називаються додатними, а афінні — евклідові.

Групи Коксетера рангу 2

Для рангу 2 тип групи Коксетера повністю визначений визначником матриці Грама, оскільки він просто дорівнює добутку його власних значень: скінченний тип (додатний визначник), афінний тип (нульовий визначник) або гіперболічний тип (від'ємний визначник). Коксетер використовує еквівалентну дужкову нотацію, яка перераховує послідовності порядків гілок замість графічних діаграм вузол-гілка.

Тип	Скінченна					Афінна	Гіперболічна
Геометрія					…
Коксетер	[ ]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
	2	4	6	8	2p	∞
Прямі відображення розфарбовані відповідно вузлів діаграми Коксетера. Фундаментальні області пофарбовані в альтернативні кольори.

Діаграми групи Коксетера рангу 2
p	Група	Діаграма Коксетера		Матриця Грама
p	Група	Діаграма Коксетера		$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Визначник (4-a₂₁*a₁₂)
Скінченна (Визначник>0)
2	I₂(2) = A₁xA₁		[2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	4
3	I₂(3) = A₂		[3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
4	I₂(4) = B₂		[4]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
5	I₂(5) = H₂		[5]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]$	$4\sin ^{2}(\pi /5)$ = $(5-{\sqrt {5}})/2$ ~1.38196601125
6	I₂(6) = G₂		[6]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1
8	I₂(8)		[8]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /8)\\-2\cos(\pi /8)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {2}}$ ~0.58578643763
10	I₂(10)		[10]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /10)\\-2\cos(\pi /10)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$4\sin ^{2}(\pi /10)$ = $(3-{\sqrt {5}})/2$ ~0.38196601125
12	I₂(12)		[12]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /12)\\-2\cos(\pi /12)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$2-{\sqrt {3}}$ ~0.26794919243
p	I₂(p)		[p]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]$	$4\sin ^{2}(\pi /p)$
Афінна (Визначник=0)
∞	I₂(∞) = ${\tilde {I}}_{1}$ = ${\tilde {A}}_{1}$		[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
Гіперболічна (Визначник≤0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
∞			[iπ/λ]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda )\\-2cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]$	$-4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0$

Геометричне уявлення

Діаграму Коксетера — Динкіна можна розглядати як графічний описфундаментальної області відображень. Дзеркалом (безліччю нерухомих точок відображення) є гіперплощина в заданому сферичному, евклідовому або гіперболічному просторі. (У двовимірному просторі дзеркалом є пряма, а в тривимірному — площина).

Нижче показані фундаментальні області двовимірних і тривимірних евклідових груп, а також двовимірних сферичних груп. Для кожної групи діаграма Коксетера може бути виведена шляхом визначення гіперплощин і розмітки їх зв'язків, ігноруючи двогранні кути в 90 градусів (порядок 2).

Група Коксетера	${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	${\tilde {G}}_{2}$	${\tilde {A}}_{2}$
Група Коксетера	[4,4]	[∞4,∞]	[6,3]	[(3,3,3)] = [3^[3]]
Фундаментальна область
Диаграма Коксетера — Динкіна

Групи Коксетера на евклідовій площині з відповідними діаграмами. Дзеркала позначені як вузли графу R1, R2, і т. д. та розфарбовані відповідно до порядку відображення. Відображення на 90 градусів нічого не змінюють, а тому видалені з діаграми. Паралельні відображення відзначені символом ∞. Призматична група ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$ зображена як подвоєння ${\tilde {C}}_{2}$ , але вона також може бути створена як прямокутні області, отримані з подвоєння трикутників ${\tilde {G}}_{2}$ . ${\tilde {A}}_{2}$ є подвоєнням трикутника ${\tilde {G}}_{2}$ .

Деякі гіперболічні калейдоскопи
Група Коксетера	[n,4]	[∞n,∞]	[n,3]	[(n,3,3)]
Фундаментальна область
Двоїстий граф (повна схема Коксетера)
Диаграма Коксетера — Динкіна
	n=5,6…	n=3,4…	n=7,8…	n=4,5

Багато груп Коксетера нагіперболічній площині можуть бути поширені з евклідового випадку як серії гіперболічних рішень.

Групи Коксетера в тривимірному просторі з відповідними діаграмами. Дзеркала (трикутні грані) позначені протилежними вершинами 0..3. Гілки пофарбовані відповідно до порядку відображень. ${\tilde {C}}_{3}$ заповнює 1/48 частин куба. ${\tilde {B}}_{3}$ заповнює 1/24 частин куба. ${\tilde {A}}_{3}$ заповнює 1/12 частин куба.	Групи Коксетера на сфері з відповідними діаграмами. Одна фундаментальна область виділена жовтим кольором. Вершини області (і гілки графу) пофарбовані відповідно до порядку відображення.

Скінченні групи Коксетера

Див. також для таблиці однорідних багатогранників, пов'язаних з цими групами.

Для кожної групи наведені три різних позначення — буквено-цифрове позначення, набір цифр в дужках і діаграма Коксетера.
Розгалужені групи D_n є половинними або знакозмінними версіями звичайних груп C_n.
Для розгалужених груп D_n і E_n наведені позначення з верхніми індексами [3^a,b,c], де числа a,b і c задають кількість сегментів у кожній з трьох гілок.

Зв'язані графи Динкіна з рангами від 1 до 9
Ранг	Прості групи Лі
Ранг	${A}_{1+}$	${BC}_{2+}$	${D}_{2+}$		${F}_{3-4}$		${H}_{2-4}$	${I}_{2}(p)$
1	A₁=[]
2	A₂=[3]	B₂=[4]	D₂=A₁xA₁			G₂=[6]	H₂=[5]	I₂[p]
3	A₃=[3²]	B₃=[3,4]	D₃=A₃	E₃=A₂A₁	F₃=B₃		H₃
4	A₄=[3³]	B₄=[3²,4]	D₄=[3^1,1,1]	E₄=A₄	F₄		H₄
5	A₅=[3⁴]	B₅=[3³,4]	D₅=[3^2,1,1]	E₅=D₅
6	A₆=[3⁵]	B₆=[3⁴,4]	D₆=[3^3,1,1]	E₆=[3^2,2,1]
7	A₇=[3⁶]	B₇=[3⁵,4]	D₇=[3^4,1,1]	E₇=[3^3,2,1]
8	A₈=[3⁷]	B₈=[3⁶,4]	D₈=[3^5,1,1]	E₈=[3^4,2,1]
9	A₉=[3⁸]	B₉=[3⁷,4]	D₉=[3^6,1,1]
10+	..	..	..	..

Застосування до однорідних політопів

При побудові однорідних багатогранників вузли маркуються як *активні* шляхом додавання кола, якщо генеруюча точка знаходиться поза дзеркалом (гіперплощини, щодо якої проводиться відображення), тим самим утворюючи нове ребро між генеруючою точкою та її відображенням. Вузли без кола це *неактивні* відображення, які не генерують нових точок.

Діаграми Коксетера — Динкіна можуть перерахувати майже всі класи однорідних багатогранників та однорідних мозаїк. Кожен однорідний багатогранник з простою дзеркальною симетрією (всі вони, за винятком декількох спеціальних випадків, мають просту дзеркальну симетрію) можуть бути представлені діаграмами Коксетера — Динкіна з перестановками міток. Кожен однорідний багатогранник можна отримати, використовуючи такі дзеркала й одну генеруючу точку — відображення створюють у результаті симетрії нової точки, потім можна визначити багатогранника між точками і їх дзеркальними відображеннями. Грані можна побудувати при отриманні циклу з ребер і т. д. Для завдання генеруючої вершини один або більше вузлів позначаються колами, що означає, що вершина не знаходиться на дзеркалі, представлених поміченими колами вузлами. (Якщо два або більше дзеркала позначені, вершина розташовується на рівновіддалених відстані від них.) Дзеркало активно (створює відображення), тільки для точок, які не лежать на ньому. Діаграма повинна мати щонайменше один активний вузол для подання багатогранника.

Усі правильні багатовимірні багатогранники, представлені символом Шлефлі ((p, q, r, …), можуть мати фундаментальні області, представлені набором n дзеркал з відповідною діаграмою Коксетера -Динкіна у вигляді послідовності вузлів і гілок, помічених p, q, r, … з першим обведеним колом вузлом.

Однорідні багатогранники з одним колом відповідають генеруючим точкам у кутах симплекса фундаментальної області. Два гуртка відповідають ребрам симплекса й мають свободу вибору, але тільки середина призводить до однорідного рішенням з однаковими довжинами ребер. У загальному випадку генератори з k-колами є (k-1)-вимірним гранями симплекса. Якщо всі вузли позначені колами, генеруюча точка знаходиться всередині симплекса.

Інший елемент розмітки висловлює спеціальний випадок недзеркальної симетрії однорідних багатогранників. Ці випадки існують як альтернації дзеркальної симетрії багатогранників. У цьому елементі розмітки відсутня центральна точка позначеного колом вузла, який тоді називається діркою, і означає такий вузол віддалену альтернуючу вершину. Отриманий багатогранник матиме підсімметрії вихідної групи Коксетера. Усічена альтернація називається відрізком.

Окремий вузол це окреме дзеркало. Відповідна група позначається A₁. Коло навколо вузла призводить до утворення відрізка, перпендикулярного дзеркала, і він позначається як {}.
Два незв'язаних вузла представляють два перпендикулярних дзеркала. Якщо обидва вузла обведені колом, може бути створений прямокутник, або квадрат, якщо точки розташовані на однаковій відстані від обох дзеркал.
Два вузла, з'єднаних гілкою порядку n, можуть створити n — кутник, якщо точка знаходиться на одному з дзеркал, і 2n — кутник, якщо крапка не лежить ні на одному з дзеркал. Ці два вузла утворюють групу I₁(n).
Два паралельних дзеркала можуть представляти групу нескінченного багатокутника I₁(∞), що позначається також Ĩ₁.
Три дзеркала у вигляді трикутника утворюють образи, які спостерігаються в традиційному калейдоскопі і така конфігурація може бути представлена трьома вузлами, з'єднаними в трикутник. Періодичні приклади матимуть гілки, помічені як (3 3 3), (2 4 4) і (2 3 6), хоча останні два можуть побут намальовані як прямі (видаливши гілки 2). Вони генерують однорідні мозаїки.
Три дзеркала можуть створити однорідний багатогранник, наприклад, трикутники Шварца, одержувані з раціональних чисел.
Три дзеркала, де одне дзеркало перпендикулярно двом іншим, можуть створити однорідні призми.

Є 7 дзеркальних однорідних конструкцій для загального трикутника, заснованих на 7 топологічних позиціях генератора всередині фундаментальної області. Будь-яке одиничне активне дзеркало має генератор в куті та утворює ребро, для двох дзеркал генератор знаходиться на одній зі сторін трикутника, а три активних дзеркала мають генератор всередині трикутника. Один або два ступені свободи можна звести до однієї позиції для досягнення однакових довжин ребер результуючого багатогранника або мозаїки.	Приклад семи генераторів при октаедричної симетрії з фундаментальним трикутником (4 3 2) і восьмим генератором обрізка

Подвійні однорідні багатогранники іноді позначаються вертикальними рисками замість позначених кіл вузлів, а перекреслений порожній вузол (без внутрішньої точки) означає відсікання. Наприклад, представляє прямокутник (як два активних ортогональних дзеркала), а представляє його двоїстий багатокутник (ромб).

Приклади багатогранників і мозаїк

Як приклад група Коксетера B ₃ має схему . Вона також називається октаедричною симетрією.

Є 7 опуклих однорідних багатогранників, які можна побудувати за допомогою цієї групи симетрії та 3 з її альтернаційних підсиметрій, кожна з єдиною схемою Коксетера — Динкіна. ^[en] це спеціальний випадок схеми Коксетера для графів рангу 3 з усіма трьома гілками без видалення гілок порядку 2. Символ Вітгофа здатний працювати з обрізками, але не з загальними альтернаціями, коли не всі вузли позначені колами.

Однорідні октаедричні багатогранники
Симетрії: [4,3], *432						[4,3]⁺, (432)	[3⁺,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}
Двоїсті багатогранники


V4³		V(3.4)²		V3⁴	V4.6.8	V3⁴.4	V3⁵

Ті ж побудови можна виконати з незв'язними (ортогональними) групами Коксетера, на зразок групи однорідних призм, і можуть розглядатися з більшою ясністю як мозаїки діедр і осоедр на сфері, на зразок сімейств [6]×[] або [6,2]:

Однорідні шестикутні діедричні сферичні багатогранники
Симетрія\|: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Двоякі їм багатогранники

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

У порівнянні з [6,3], сімейство породжує два паралельних сімейства 7 однорідних мозаїк евклідової площини і їх двоїстих мозаїк. Знову маємо 3 альтернації і кілька напівсиметричних версій.

Є вісім однорідних мозаїк, які базуються на правильних шестикутних мозаїках (або подвійних трикутних мозаїках). Якщо намалювати мозаїку, розмальовуючи елементи мозаїки в червоний для граней, в жовтий для вершин і в блакитний для ребер, отримаємо 8 видів мозаїки, 7 з яких топологічно різні. Усічена трикутна мозаїка топологічно ідентична шестикутній.

Однорідні шестикутні/трикутні мозаїки]]
Симетрія:							[6,3]⁺ (632)	[6,3⁺] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}


6³	3.12²	(3.6)²	6.6.6	3⁶	3.4.12.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Двоякі їм однорідні мозаїки

V6³	V3.12²	V(3.6)²	V6³	V3⁶	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3⁴.6	V3⁶

На гіперболічній площині [7,3] сімейство породжує дві паралельні множини однорідних мозаїк евклідової площині і двоїстих їм мозаїк. Є тільки одна (обрізок), оскільки всі гілки непарні. Багато інших гіперболічних сімейств однорідних мозаїк можна побачити серед однорідних мозаїк на гіперболічної площині.

Однорідні семикутні/трикутні мозаїки
Симетрія: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	2t{7,3}=t{3,7}	2r{7,3}={3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Однорідні двоїсті мозаїки


V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Афінні групи Коксетера

Сімейства опуклих однорідних евклідових мозаїк визначаються афінною групою Коксетера. Ці групи ідентичні скінченним групам з додаванням одного вузла. У літерних позначеннях у них та ж буква, що і у тильди, знак «~» над буквою. Індекс стосується скінченної групи, так що ранг дорівнює індексу + 1. (Символи Вітта для афінних груп дані з позначкою також)

${\tilde {A}}_{n-1}$ : діаграми цього типа це цикли. (Також P_n)
${\tilde {C}}_{n-1}$ асоційована з родиною гіперкубічних правильних мозаїк||hypercubic honeycomb}} (3, …., 4). (Також R_n)
${\tilde {B}}_{n-1}$ зв'язана з С видаленням одного мінору.(Також S_n)
${\tilde {D}}_{n-1}$ зв'язана з С видаленням двох мінорів. (Також Q_n)
${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$ , ${\tilde {E}}_{8}$ . (Також T₇, T₈, T₉)
${\tilde {F}}_{4}$ утворює {3,4,3,3} правильну мозаїку. (Також U₅)
${\tilde {G}}_{2}$ утворює 30-60-90 трикутні фундаментальні області. (Також V₃)
${\tilde {I}}_{1}$ складається з двох паралельних дзеркал. (= ${\tilde {A}}_{1}$ = ${\tilde {C}}_{1}$ ) (Also W₂)

Складові групи можна визначити як ортогональні системи. Найбільш часто використовується ${\tilde {A}}_{1}$ . Таким чином, наприклад, ${\tilde {A}}_{1}^{2}$ представляє квадратні або прямокутні області на евклідовій площині, а ${\tilde {A}}_{1}{\tilde {G}}_{2}$ представляє фундаментальну область у вигляді трикутної призми в евклідовому тривимірному просторі.

Афінні групи Коксетера (від 2 до 10 вузлів)
Ранг	${\tilde {A}}_{1+}$ (P₂₊)	${\tilde {B}}_{3+}$ (S₄₊)	${\tilde {C}}_{1+}$ (R₂₊)	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q₅₊)	${\tilde {E}}_{n}$ (T_n+1) / ${\tilde {F}}_{4}$ (U₅) / ${\tilde {G}}_{2}$ (V₃)
2	${\tilde {A}}_{1}$ =[∞]		${\tilde {C}}_{1}$ =[∞]
3	${\tilde {A}}_{2}$ =[3^[3]] *		${\tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
4	${\tilde {A}}_{3}$ =[3^[4]] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde {D}}_{3}$ =[3^1,1,3⁻¹,3^1,1] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$ =[3^[5]] *	${\tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{4}$ =[4,3²,4] *	${\tilde {D}}_{4}$ =[3^1,1,1,1] *	${\tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3^[6]] *	${\tilde {B}}_{5}$ =[4,3²,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{5}$ =[4,3³,4] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3^1,1,3,3^1,1] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3^[7]] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4,3³,3^1,1]	${\tilde {C}}_{6}$ =[4,3⁴,4]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3^1,1,3²,3^1,1]	${\tilde {E}}_{6}$ =[3^2,2,2]
8	${\tilde {A}}_{7}$ =[3^[8]] *	${\tilde {B}}_{7}$ =[4,3⁴,3^1,1] *	${\tilde {C}}_{7}$ =[4,3⁵,4]	${\tilde {D}}_{7}$ =[3^1,1,3³,3^1,1] *	${\tilde {E}}_{7}$ =[3^3,3,1] *
9	${\tilde {A}}_{8}$ =[3^[9]] *	${\tilde {B}}_{8}$ =[4,3⁵,3^1,1]	${\tilde {C}}_{8}$ =[4,3⁶,4]	${\tilde {D}}_{8}$ =[3^1,1,3⁴,3^1,1]	${\tilde {E}}_{8}$ =[3^5,2,1] *
10	${\tilde {A}}_{9}$ =[3^[10]] *	${\tilde {B}}_{9}$ =[4,3⁶,3^1,1]	${\tilde {C}}_{9}$ =[4,3⁷,4]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3^1,1,3⁵,3^1,1]
11	…	…	…	…

Гіперболічні групи Коксетера

Є нескінченно багато нескінченних гіперболічних груп Коксетера. Гіперболічні групи діляться на компактні й некомпактні, де компактні групи мають обмежені фундаментальні області. Компактні групи гіперболічних симплексів (симплекси Ланнера) існують для рангів від 3 до 5. Паракомпланарні групи симплексів (симплекси Козуля) існують аж до рангу 10. Гіперкомпланарні (багатогранники Вінберга) групи досліджувалися, але повністю ще не вивчені. У 2006 Алкок (Allcock) довів, що є нескінченно компактних багатогранників Винберга для просторів розмірності аж до 6 і нескінченно багато багатогранників Вінберга для розмірностей аж до 19, так що повне перерахування неможливо. Всі ці фундаментальні області відображень, як симплексів, так і не симплексів, часто називають політопами Коксетера, або, іноді, що менш точно, багатогранниками Коксетера .

Гіперболічні групи Коксетера в H²

Докладніше:

фундаментальної області
Приклади прямокутних трикутників [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Приклади трикутників загального виду [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]