Правильні багатовимірні багатогранники

Правильний n-вимірний многогранник — многогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.

Визначення

Прапором n-вимірного многогранника ${\displaystyle P}$ називається набір його граней ${\displaystyle F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{n-1})}$, де ${\displaystyle F_{i}}$ є ${\displaystyle i}$-вимірна грань многогранника Р, причому ${\displaystyle F_{i}\subseteq F_{n-1}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$.

Правильний n-вимірний многогранник — це опуклий n-вимірний многогранник ${\displaystyle P}$, у якого для будь-яких двох його прапорів ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle F'}$ знайдеться рух ${\displaystyle P}$, який переводить ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle F'}$.

Класифікація

В розмірності n = 4

Див. також: 4-політоп

Існує 6 правильних чотиривимірних многогранників (багатокомірників):

Назва	Зображення (діаграма Шлегеля)	Символ Шлефлі	Комірка	Число комірок	Число граней	Число ребер	Число вершин
5-комірник		{3,3,3}	правильний тетраедр	5	10	10	5
Тесеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
16-комірник		{3,3,4}	правильний тетраедр	16	32	24	8
24-комірник		{3,4,3}	октаедр	24	96	96	24
120-комірник		{5,3,3}	додекаедр	120	720	1200	600
600-комірник		{3,3,5}	правильний тетраедр	600	1200	720	120

В розмірності n ≥ 5

У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних многогранники (політопи):

Назва	Символ Шлефлі
n-вимірний правильний симплекс	{3;3;...;3;3}
n-вимірний гіперкуб	{4;3;...;3;3}
n-вимірний гіпероктаедр	{3;3;...;3;4}

Геометричні властивості

Кути

Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника, заданого своїм символом Шлефлі ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}}$, визначається за формулою

${\displaystyle \sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}$

де ${\displaystyle \beta }$ — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника.

Радіуси, об'єми

Радіус вписаної N-вимірної сфери:

${\displaystyle r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },}$

де ${\displaystyle r_{N-1}}$ — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.

Об'єм N-вимірного многогранника:

${\displaystyle V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},}$

де ${\displaystyle V_{N-1}}$ — об'єм (N-1)-вимірної межі, ${\displaystyle A_{N-1}}$ — кількість (N-1)-вимірних граней.

Замощення

В розмірності n = 4

• ^[en]
• ^[en]
• ^[en]

В розмірності n ≥ 5

• ^[en]

Див. також

• Платонове тіло
• ^[ru]

Примітки

1. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
2. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
3. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Посилання

• Наочний приклад на YouTube

• Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D. 2003. Архів оригіналу за 4 травня 2012. Процитовано 30 січня 2011.

• Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М. : МЦНМО, 2009. — 48 с. — .

• Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — 1988. — Т. 29. — С. 147–259.