Дивізор

В алгебраїчній геометрії дивізори є узагальненням підмноговидів деякого алгебричного многовиду корозмірності 1. Існують два різних таких узагальнення — дивізори Вейля і дивізори Картьє (названі на честь Андре Вейля і ), ці поняття еквівалентні в разі многовидів (або схем) без особливих точок.

Дивізори Вейля

Визначення

Дивізор Вейля на алгебричному многовиді ${\displaystyle X}$ (або, загальніше, на нетеровій схемі) — це скінченна лінійна комбінація ${\displaystyle {\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}}$, де ${\displaystyle [Z_{i}]}$ — незвідні замкнуті підмножини ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle n_{i}}$ — цілі коефіцієнти. Очевидно, що дивізори Вейля утворюють абелеву групу відносно додавання; цю групу позначають ${\displaystyle \mathrm {Weil} \,X}$. Дивізор вигляду ${\displaystyle [Z]}$ називають простим, а дивізор, для якого всі коефіцієнти ${\displaystyle n_{i}}$ невід'ємні — ефективним.

Група класів дивізорів

Припустимо, що схема ${\displaystyle X}$ є цілою, віддільною, і регулярною в корозмірності 1 (зокрема, ці властивості виконуються для гладких алгебричних многовидів). Регулярність у корозмірності 1 означає, що локальне кільце загальної точки будь-якої незвідної замкнутої підмножини корозмірності 1 регулярне (і нетерове, оскільки є локалізацією нетерового кільця), а отже, є кільцем дискретного нормування. Будь-яка раціональна функція на ${\displaystyle X}$ (елемент поля часток кільця регулярних функцій ${\displaystyle K[X]}$) має деяку норму в цьому кільці. Якщо норма раціональної функції більша від нуля для деякої незвідної підмножини ${\displaystyle Y}$, то кажуть, що раціональна функція має нуль на ${\displaystyle Y}$, а якщо менша від нуля — має полюс. З нетеровості схеми виводиться, що норма раціональної функції не дорівнює нулю лише для скінченного числа незвідних підмножин, отже кожній раціональній функції зіставляється дивізор, який позначають ${\displaystyle (f)}$. Дивізори, які можна так отримати, називають головними.

Оскільки ${\displaystyle (fg)=(f)+(g)}$, головні дивізори утворюють підгрупу у ${\displaystyle \mathrm {Weil} \,X}$. Фактор-групу за підгрупою головних дивізорів називають групою класів дивізорів і позначають ${\displaystyle \mathrm {Cl} \,X}$. Група класів дивізорів сама є цікавим інваріантом схеми (тривіальність групи класів афінної схеми ${\displaystyle \mathrm {Spec} A}$ є критерієм факторіальності кільця ${\displaystyle A}$ за умови, що ${\displaystyle A}$ нетерівське і цілозамкнуте), а також, у деяких випадках, дозволяє класифікувати всі одновимірні розшарування над даною схемою.

Дивізори Вейля і лінійні розшаровання

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — лінійне розшарування над (цілою, нетерівською, регулярною в корозмірності 1) схемою ${\displaystyle X}$; йому відповідає пучок перетинів, локально ізоморфний кільцю регулярних функцій на ${\displaystyle X}$. Використовуючи ці ізоморфізми, будь-якому раціональному перетину ${\displaystyle s}$ даного пучка (тобто перетину над деякою відкритою щільною підмножиною) можна зіставити дивізор його нулів і полюсів, що позначається ${\displaystyle \mathrm {div} \,s}$. Два різних раціональних перетини відрізняються множенням на раціональну функцію, тому це зіставлення визначає коректно задане відображення з ^[en] в групу класів дивізорів: ${\displaystyle \mathrm {div} :\mathrm {Pic} \,X\to \mathrm {Cl} \,X}$. Можна перевірити також, що це відображення є гомоморфізмом (тензорному добутку розшарувань відповідає сума дивізорів), в разі нормальності схеми воно ін'єктивне, а в разі локальної факторіальності схеми — сюр'єктивне. Зокрема, всі ці умови виконуються для гладких алгебричних многовидів, що дає класифікацію лінійних розшарувань над ними з точністю до ізоморфізму. Наприклад, усі одновимірні розшарування над афінною локально факторіальною схемою тривіальні, оскільки тривіальна її група класів дивізорів.

Дивізори Картьє

Для роботи з довільними схемами, що мають особливі точки, часто виявляється зручнішим інше узагальнення поняття підмноговиду корозмірності 1. Нехай ${\displaystyle U_{i}}$ — деяке покриття схеми ${\displaystyle X}$ афінними схемами, а ${\displaystyle f_{i}}$ — сімейство раціональних функцій на відповідних ${\displaystyle U_{i}}$ (в цьому випадку під раціональною функцією мають на увазі елемент повного кільця). Якщо ці функції узгоджені, в тому сенсі що ${\displaystyle f_{i}}$ і ${\displaystyle f_{j}}$ на ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ відрізняються множенням на оборотну регулярну функцію, то дане сімейство задає дивізор Картьє.

Точніше, нехай ${\displaystyle K(U)}$ — повне кільце часток кільця регулярних функцій ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ (де ${\displaystyle U}$ — довільна афінна відкрита підмножина). Оскільки афінні підмножини утворюють базу топології ${\displaystyle X}$, всі ${\displaystyle K(U)}$ однозначно визначають передпучок на ${\displaystyle X}$, відповідний йому пучок позначають ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}^{*}}$. Дивізором Картьє називають глобальний перетин факторпучка ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}}$, де ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$ — пучок оборотних регулярних функцій. Є точна послідовність ${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$, застосувавши до неї точний зліва функтор глобальних перетинів, отримаємо точну послідовність ${\displaystyle 0\to \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$. Дивізори Картьє, що лежать в образі відображення з ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})}$, називають головними.

Існує природний гомоморфізм з групи дивізорів Картьє (групова операція відповідає множенню функцій) в групу дивізорів Вейля; якщо ${\displaystyle X}$ — ціла відокремлена нетерова схема, всі локальні кільця якої факторіальні, це відображення є ізоморфізмом. У разі ж, коли умова локальної факторіальності не виконується, дивізори Картьє відповідають локально головним дивізорам Вейля (дивізорам, які в околі кожної точки задаються як нулі деякої раціональної функції). Приклад дивізора Вейля, що не є дивізором Картьє — пряма в квадратичному конусі ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})}$, що проходить через його вершину.

Дивізору Картьє, як і дивізору Вейля, можна зіставити лінійне розшарування (або, еквівалентно, оборотний пучок). Відображення з факторгрупи дивізорів Картьє за підгрупою головних дивізорів у групу Пікара є ін'єктивним гомоморфізмом, а в разі проєктивних або цілих схем — сюр'єктивним.

Ефективні дивізори Картьє

Дивізор Картьє називають ефективним, якщо всі функції ${\displaystyle f_{i}}$, що задають його, регулярні на відповідних множинах ${\displaystyle U_{i}}$. У цьому випадку відповідний дивізору оборотний пучок є ^[en], тобто пучком функцій, які занулюються на деякій (замкнутій підсхемі). І навпаки, ця замкнута підсхема однозначно визначає ефективний дивізор, тому ефективні дивізори Картьє на ${\displaystyle X}$ можна визначити як замкнуті підсхеми ${\displaystyle X}$, які локально можна задати як множину нулів однієї функції, що не є дільником нуля. На цілій відокремленій нетеровій схемі, локальні кільця якої факторіальні, ефективні дивізори Картьє відповідають точно ефективним дивізорам Вейля.

Примітки

1. Хартсхорн, 1981, с. 174.
2. Ravi Vakil, с. 388.
3. Ravi Vakil, с. 389, 391.
4. Хартсхорн, 1981, с. 185.
5. Kleiman, 1979.
6. Ravi Vakil, с. 236, 396.
7. Хартсхорн, 1981, с. 191.

Література

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981.
• Kleiman, Steven. Misconceptions about K_X // L'Enseignment Mathématique. — 1979. — № 25 (17 червня). — С. 203-206. — DOI:10.5169/seals-50379.

Посилання

• ^[en]. MATH 216: Foundations of Algebraic Geometry (версия 11.06.2013). з джерела 5 жовтня 2013 — записки курсу алгебричної геометрії, прочитаного в Стенфордському університеті.