Група автоморфізмів

Група автоморфізмів об'єкта X — група елементами якої є автоморфізми об'єкта X.

Приклад: якщо X — скінченномірний векторний простір, то групою автоморфізмів X є група невироджених лінійних перетворень в X (загальна лінійна група X).

Якщо X — група, тоді групою автоморфізмів буде ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ група із автоморфізмів групи X.

З геометричної точки зору, група автоморфізмів називається — групи симетрії.

Підгрупу групи автоморфізмів насом називають група перетворення.

Групи автоморфізмів вивчають в загальному вигляді в теорії категорій.

Приклади

Якщо X — множина без додаткових структур, тоді довільна бієкція X → X є автоморфізмом, і групою автоморфізмів X є симетрична група від X (група перестановок).

Якщо X має додаткові структури і, можливо, що не всі бієкції зберігають цю структуру, тоді, групою автоморфізмів буде підгрупа симетричної групи X.

Приклади

• Група автоморфізмів розширення поля ${\displaystyle L/K}$ — група з автоморфізмів поля L що не рухає K. Якщо розширення поля є розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа цього розширення.
• Група автоморфізмів проективного n-простору над полем k є проективна група ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Група автоморфізмів ${\displaystyle G}$ скінченної циклічної групи порядку n є ізоморфною до ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ з ізоморфізмом ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$. Зокрема, ${\displaystyle G}$ — абелева група.

Джерела

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.) - ^[]