Афінна схема

Схе́ма (від лат. schema, грец. σχῆμα) — в математиці абстрактне поняття, що є дуже широким узагальненням алгебричного многовиду. Схеми в сучасному виді були введені французьким математиком Александром Гротендіком і є ключовим поняттям сучасної алгебричної геометрії.

Афінні схеми

Базовим поняттям теорії схем є афінні схеми, що є аналогами афінних многовидів. Довільні схеми склеюються з афінних, подібно до того, як многовиди склеюються з локальних карт. Афінні многовиди вводяться на спектрах кілець з введеною на них топологією і визначеним на цій топології пучком кілець. Більш загально афінними схемами називаються локально окільцьовані простори, що є ізоморфними спектру кільця з введеним структурним пучком.

Спектр кільця

Нехай ${\displaystyle A}$  — кільце. Спектром ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$ кільця ${\displaystyle A}$ називається множина елементами якої є всі прості ідеали кільця ${\displaystyle A}$. На цій множині вводиться топологія Зариського в якій замкнутими множинами є множини виду:

${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A\vert I\subset {\mathfrak {p}}\}}$

де ${\displaystyle I}$  — усі довільні ідеали кільця ${\displaystyle A}$ (очевидно у визначенні можна замість ідеалів взяти довільні множини елементів кільця).

Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто множини виду

${\displaystyle D(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A\vert I\not \subset {\mathfrak {p}}\}.}$

Базу топології на спектрі утворюють множини ${\displaystyle D_{f}=D((f)),\;f\in A,}$ що пов'язані з головними ідеалами ${\displaystyle (f)}$.

Структурний пучок

Аффінна схема  — локально окільцьований простір ${\displaystyle (\mathrm {Spec} \,A;{\mathcal {O}}_{A})}$, де ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}$  — структурний пучок кілець на відкритих підмножинах спектру. Він вводиться таким чином, щоб будь-яку відкриту підмножину в ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$ можна було розглядати як підсхему, при цьому для афінних схем виконується ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}(\mathrm {Spec} \,\;A)=A}$, що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

За визначенням, структурний пучок на елементах бази має вигляд

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}(D_{f})=A_{f}}$

де ${\displaystyle A_{f}}$  — локалізація кільця ${\displaystyle A}$ по елементу ${\displaystyle f}$. Цю конструкцію в єдиний спосіб можна продовжити до пучка на ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$.

У явному вигляді

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}(D_{f_{1},\dots ,f_{k}})=A_{f_{1},\dots ,f_{k}}}$

${\displaystyle D_{f_{1},\dots ,f_{k}}=\cup _{i=1}^{k}D_{f_{i}}}$

${\displaystyle D_{f_{1}\dots f_{k}}=\cap _{i=1}^{k}D_{f_{i}}}$

Структурний пучок на спектрі кільця можна також ввести і в інший спосіб. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A}$ — позначає прості ідеали кільця і ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ локалізацію кільця по цих ідеалах. Якщо ${\displaystyle U\subset \mathrm {Spec} \,A}$ — відкрита підмножина в спектрі, то ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}(U)}$ можна визначити як множину функцій:

${\displaystyle s\colon U\to \bigsqcup _{{\mathfrak {p}}\in U},}$ (символ ${\displaystyle \bigsqcup }$ позначає диз'юнктне об'єднання)

таке що для всіх ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A}$ виконується ${\displaystyle s({\mathfrak {p}})\in A_{\mathfrak {p}}}$ і s локально є часткою двох елементів кільця A, тобто для всіх ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}$ існує окіл ${\displaystyle V\subset U}$ якому належить ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і елементи ${\displaystyle a,f\in A}$ такі що для всіх ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\in V}$ справедливо ${\displaystyle f\notin {\mathfrak {q}}}$ і ${\displaystyle s({\mathfrak {q}})=a/f}$ у ${\displaystyle A_{\mathfrak {q}}.}$

На визначеній так множині ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}(U)}$ можна ввести операції додавання і множення після цього дана множина стане комутативним кільцем з одиницею.

Спектр із введеним вище структурним пучком є локально окільцьованим простором.

Афінною схемою називається довільний локально окільцьований простір ізоморфний спектру кільця із структурним пучком.

Схеми

Схема  — локально окільцьований простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ (${\displaystyle X}$  — топологічний простір, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  — пучок кілець на ньому), що є локально ізоморфним афінній схемі. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ топологічного простору ${\displaystyle X}$ афіними схемами ${\displaystyle U_{i}=\mathrm {Spec} {A_{i}}}$, так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних афінних схем:

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

${\displaystyle \forall i\in I\colon {\mathcal {O}}_{X}\vert _{U_{i}}={\mathcal {O}}_{A_{i}}}$

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається базисним топологічним простором схеми ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, а ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ називається структурним пучком. Морфізм схем  — це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм  — морфізм, що має обернений морфізм.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Спектр кільця
• Комбінаторна схема

Джерела

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN .
• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN .