Теорема Вайтхеда

У алгебричній топології теорема Вайтхеда стверджує, що якщо неперервне відображення f між CW-комплексами X і Y породжує ізоморфізми на всіх групах гомотопій, то f є гомотопною еквівалентністю. Теорему довів у 1949 році англійський математик Джон Вайтхед для демонстрації корисності введеного ним поняття CW-комплексу.

Твердження

Нехай X і Y є топологічними просторами. Неперервне відображення

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

для будь якої точки x у X і довільного n ≥ 1 породжує гомоморфізм

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),}$

де π_n(X,x) позначає n-ну групу гомотопій простору X із виділеною точкою x. (Для n = 0, π₀(X) позначає множину компонент лінійної зв'язності простору X.) Відображення f називається слабкою гомотопною еквівалентністю якщо функція

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$

є бієкцією і гомоморфізми f_* є ізоморфізмами для всіх x у X і всіх n ≥ 1. (Якщо X і Y є лінійно зв'язними то перша умова виконується автоматично, а другу можна перевірити для довільної єдиної точки x у X.)

Теорема Вайтхеда стверджує, що слабка гомотопна еквівалентність між двома CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю, тобто для відображення f: X → Y існує гомотопно обернене g: Y → X. Як наслідок таке твердження є справедливим і для просторів X і Y, що є гомотопно еквівалентними до CW-комплексів.

Поєднуючи твердження теореми із теоремою Гуревича одержується важливий наслідок: неперервне відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ між однозв'язними CW-комплексами, що породжує ізоморфізми на всіх всіх сингулярних гомологічних групах (із цілочисловими коефіцієнтами) є гомотопною еквівалентністю.

Простори із ізоморфними групами гомотопій можуть не бути гомотопно еквівалентними

У твердженні теореми не достатньо вимагати ізоморфізму груп π_n(X) і π_n(Y) для всіх n для того щоб простори X і Y були гомотопно еквівалентні. Необхідно щоб ізоморфізми груп гомотопій породжувалися відображеннями f : X → Y. Наприклад нехай X= S² × RP³ і Y= RP² × S³. Тоді X і Y мають ізоморфні фундаментальні групи, що є ізоморфними Z/2, і універсальні накриваючі простори гомеоморфні S² × S³; тому їх групи гомотопій є ізоморфними. З іншої сторони їх групи гомологій є різними і тому X і Y не є гомотопно еквівалентними.

Теорема Вайтхеда не є справедливою для всіх топологічних просторів. Наприклад для варшавського кола, що є компактною підмножиною площини, всі групи гомотопій є тривіальними, але відображення із варшавського кола і одноточковий простір не є гомотопною еквівалентністю.

Доведення теореми

Лема 1

Нехай ${\displaystyle (X,Y)}$ є парою топологічних просторів для яких включення ${\displaystyle i:Y\to X}$ є слабкою гомотопною еквівалентністю. Нехай ${\displaystyle K}$ є CW-комплексом, із виділеною точкою, яка є 0-клітиною. Тоді для будь-якої виділеної точки у ${\displaystyle Y}$, індуковане відображення класів гомотопії ${\displaystyle i_{*}:[K,Y]\to [K,X]}$ (для класу гомотопії ${\displaystyle [f]\in [K,Y]}$ за означенням ${\displaystyle i_{*}[f]=[i\circ f]\in [K,X]}$) є бієкцією.

Доведення леми

Спершу доведемо, що ${\displaystyle i_{*}}$ є сюр'єктивним. Нехай ${\displaystyle f:K\to X}$ є неперервним відображенням із збереженням виділених точок. За допомогою індукції по розмірності кістяків комплексу ${\displaystyle K}$ доведемо, що ${\displaystyle f}$ можна гомотопно деформувати так щоб образ при одержаному відображенні належав ${\displaystyle Y}$. Також при цьому для будь-якого підкомплекса ${\displaystyle L}$ у ${\displaystyle K}$ образ якого при відображенні ${\displaystyle f}$ належить ${\displaystyle Y}$, тоді ${\displaystyle f(L\times I)}$ не залежить від ${\displaystyle t\in I,}$ зокрема гомотопія зберігає виділену точку.

Для підкомплекса ${\displaystyle L}$ і кістяка ${\displaystyle K^{n}}$ позначимо ${\displaystyle M^{n}=K^{n}\cup L}$ і продовжимо ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (K\times 0)\cup (L\times I)}$ як ${\displaystyle f(x,0)=f(x),\ x\in K}$ і ${\displaystyle f(y,t)=f(y),\ y\in L,t\in [0,1]}$. Оскільки включення ${\displaystyle Y}$ у ${\displaystyle X}$ є слабкою гомотопною еквівалентністю, то зокрема перетин кожної лінійної компоненти зв'язності простору ${\displaystyle X}$ із підпростором ${\displaystyle Y}$ є лінійною компонентою зв'язності у ${\displaystyle Y}$. Звідси якщо ${\displaystyle x}$ є будь-якою 0-клітиною у ${\displaystyle K\setminus L}$, тоді існує шлях ${\displaystyle u:I\to X}$ для якого ${\displaystyle u(0)=f(x)}$ і ${\displaystyle u(1)\in Y.}$

Відображення ${\displaystyle f}$ можна продовжити на ${\displaystyle M^{0}\times I}$ як ${\displaystyle f(x,t)=u(t),\ 0<f<1.}$ Таким чином одержується база індукції.

Припустимо тепер, що відображення ${\displaystyle f}$ продовжено до відображення ${\displaystyle f:(K\times 0)\cup (M^{n-1}\times I)\to X}$ для якого ${\displaystyle f(M^{n-1}\times 1)\subset Y.}$

Для кожної n-клітини ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\Delta ^{n})}$ у ${\displaystyle K\setminus L}$, розглянемо композицію відображень

${\displaystyle (\Delta ^{n}\times 0)\cup (S^{n-1}\times I)\xrightarrow {\varphi _{\alpha }\times 1} (K\times 0)\cup (M^{n_{1}}\times I)\xrightarrow {f} X,}$

при якому образ ${\displaystyle S^{n-1}\times I}$ є підмножиною ${\displaystyle Y.}$

Визначимо гомеоморфізм ${\displaystyle h}$ із ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ у себе заданий у граничних точках як:

${\displaystyle h(x,0)=(x/2,0),\quad x\in \Delta ^{n}}$

${\displaystyle h(x,t)=\left({\frac {1+t}{2}}x,0\right),\quad x\in S^{n-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle h(x,1)=(x/|x|,2-2|x|),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\geqslant 1/2}$

${\displaystyle h(x,1)=(2x,1),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\leqslant 1/2.}$

У внутрішніх точках ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ гомеоморфізм ${\displaystyle h}$ можна задати розглянувши ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ як джойн множини ${\displaystyle (\Delta ^{n}\times 0)\cup (S^{n-1}\times I)\cup (\Delta ^{n}\times 1)}$ і точки (0, 1/2). Тоді за означенням ${\displaystyle h(0,1/2)=(0,1/2),}$ а всі інші внутрішні точки ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ можна однозначно записати як ${\displaystyle t(0,1/2)+(1-t)x}$ де ${\displaystyle t\in (0,1),}$ а ${\displaystyle x}$ є деякою граничною точкою у ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I.}$ При такому записі можна одержати значення гомоморфізму як ${\displaystyle h(t(0,1/2)+(1-t)x)=t(0,1/2)+(1-t)h(x)}$ де ${\displaystyle h(x)}$ для граничної точки визначено вище.

Для такого гомеоморфізму ${\displaystyle h}$ відображення ${\displaystyle f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)\circ h^{-1}}$ є відображенням із пари просторів ${\displaystyle (\Delta ^{n},S^{n-1})}$ у пару просторів ${\displaystyle (X,Y)}$ і тому є елементом відносної гомотопної групи ${\displaystyle \pi _{n}(X,Y)}$, для деякої виділеної точки. Але ${\displaystyle \pi _{n}(X,Y)}$ є тривіальною групою і тому ${\displaystyle f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)\circ h^{-1}}$ можна продовжити до відображення із ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ при якому образи ${\displaystyle \Delta ^{n}\times 1}$ і ${\displaystyle S^{n-1}\times I}$ належать ${\displaystyle Y.}$ Тоді після ще одного застосування ${\displaystyle h}$ відображення ${\displaystyle f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)}$ можна продовжити до відображення із ${\displaystyle \Delta ^{n}\times I}$ при якому образ ${\displaystyle \Delta ^{n}\times 1}$ належать ${\displaystyle Y.}$ Цей процес задає неперервне продовження

${\displaystyle f:(K\times 0)\cup (M^{n}\times I)\to X}$

для якого ${\displaystyle f(M^{n}\times 1)\subset Y}$ і як наслідок неперервне продовження ${\displaystyle f:K\times I\to X}$ для якого ${\displaystyle f(K\times 1)\subset Y.}$ Тому ${\displaystyle i_{*}:[K,Y]\to [K,X]}$ є сюрєкцією.

Для доведення ін'єктивності нехай ${\displaystyle f,g:K\to Y}$ є неперервними відображеннями із збереженням виділеної точки для яких ${\displaystyle i\circ f}$ і ${\displaystyle i\circ g}$ є гомотопними за допомогою точкової гомотопії ${\displaystyle F:K\times I\to X.}$ Оскільки ${\displaystyle K\times I}$ є CW-комплексом і ${\displaystyle (K\times 0)\cup (k_{0}\times I)\cup (K\times 1)}$ є підкомплексом, то із доведеної властивості сюр'єктивності ${\displaystyle F}$ можна гомотопно деформувати у відображення ${\displaystyle G:K\times I\to Y,}$ що збігається з ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle (K\times 0)\cup (k_{0}\times I)\cup (K\times 1).}$ Тобто ${\displaystyle G}$ є гомотопією між ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ із збереженням виділеної точки.

Лема 2

Для слабкої гомотопної еквівалентності ${\displaystyle f:Y\to X}$ із збереженням виділених точок і CW-комплекса ${\displaystyle K}$ для якого виділена точка є 0-клітиною, відображення ${\displaystyle f_{*}:[K,Y]\to [K,X]}$ між класами гомотопії є бієктивним.

Доведення

Відображення ${\displaystyle f:Y\to X}$ є композицією відображень

${\displaystyle Y\xrightarrow {g} M_{f}\xrightarrow {h} X}$

де ${\displaystyle M_{f}}$ є циліндром відображення, ${\displaystyle g}$ є ін'єктивним відображенням, а ${\displaystyle h}$ є гомотопною еквівалентністю. Оскільки ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle h}$ є слабкими гомотопними еквівалентностями, то і ${\displaystyle g}$ є слабкою гомотопною еквівалентністю. Тому ${\displaystyle g_{*}:[K,Y]\to [K,M_{f}]}$ є бієкцією. Оскільки і ${\displaystyle h_{*}}$ є бієкцією, то бієкцією є і ${\displaystyle f_{*}}$.

Доведення теореми Вайтхеда

Нехай X і Y є CW-комплексами і f — слабка гомотопічна еквівалентність між ними. Згідно попередньої леми відображення ${\displaystyle f_{*}:[Y,X]\to [Y,Y]}$ є бієкцією, тому існує неперервне відображення ${\displaystyle g:Y\to X,}$ таке що ${\displaystyle f\circ g}$ є гомотопним одиничному відображенню на ${\displaystyle Y.}$ Тоді ${\displaystyle g}$ теж є слабкою гомотопною еквівалентністю і також існує відображення ${\displaystyle f':X\to Y,}$ для якого ${\displaystyle g\circ f'}$ є гомотопним одиничному відображенню на ${\displaystyle X.}$. Але тоді (де ${\displaystyle \simeq }$ позначає гомотопну еквівалентність):

${\displaystyle f'\simeq (f\circ g)\circ f'\simeq f\circ (g\circ f')\simeq f}$

тож також ${\displaystyle g\circ f\simeq 1_{X}}$ і ${\displaystyle g}$ є гомотопним оберненим до ${\displaystyle f}$.

Див. також

• CW-комплекс

Джерела

• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
• A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. and (see Theorem 4.5)
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN