Спрощений квадрат Аренса

Визначення

Нехай ${\displaystyle S=(0,1)^{2}}$, ${\displaystyle X=S\cup \{(0,0),(0,1)\}}$, бази систем околів точок з ${\displaystyle S}$ є евклідовими, а множини ${\displaystyle U_{n}(0,0)=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|0<x<{\frac {1}{2}},0<y<{\frac {1}{n}}\}}$ та ${\displaystyle U_{m}(1,0)=\{(1,0)\}\cup \{(x,y)|{\frac {1}{2}}<x<1,0<y<{\frac {1}{m}}\}}$ утворюють бази систем околів точок ${\displaystyle (0,0)}$ і ${\displaystyle (1,0)}$ відповідно.

Властивості

• ${\displaystyle X}$ гаусдорфів, але не , бо точки ${\displaystyle (0,0)}$ і ${\displaystyle (1,0)}$ не мають замкнених неперетинних околів. Очевидно, що ${\displaystyle X}$ напіврегулярний, тому що задана база складається з відкритих множин. Таким чином ${\displaystyle X}$ не є ${\displaystyle T_{3}}$,${\displaystyle T_{4}}$ або ${\displaystyle T_{5}}$-простором.
• Очевидно, що ${\displaystyle X}$ не є , тому що індукована топологія на відкритому квадраті ${\displaystyle S}$ є евклідовою.
• ${\displaystyle X}$ не є ані локально компактним, ані компактним простором, бо він є ${\displaystyle T_{2}}$ і не є ${\displaystyle T_{3}}$-простором.
• ${\displaystyle X}$ задовольняє другу аксіому зліченності, сепарабельний і ліндельофів. Оскільки ${\displaystyle X}$ не є ${\displaystyle T_{3}}$-простором, він не паракомпактний і, таким чином, не внаслідок ліндельофовості.
• ${\displaystyle X}$ метакомпактний, бо відкритий квадрат ${\displaystyle S}$ метакомпактний в індукованій топології, і тому додавання околу для кожної з двох точок ${\displaystyle (0,0)}$ і ${\displaystyle (1,0)}$ до вписаного покриття не змінить його точково скінченний характер.
• Тотожне відображення з ${\displaystyle X}$ з евклідовою топологією в заданий простір ${\displaystyle X}$ , тому ${\displaystyle X}$ є і , і .

Література

• ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446 (Приклад 81)