База системи околів

База околів у точці і система околів — базові поняття у загальній топології, за допомогою яких можна дати означення топологічного простору, еквівалентні стандартним означенням за допомогою відкритих множин. За допомогою систем чи баз околів дається означення неперервної у точці функції.

Означення

Нехай ${\displaystyle (X,\tau )}$ — топологічний простір і ${\displaystyle x\in X}$. Множина всіх околів (не обов'язково відкритих) точки ${\displaystyle x}$ називається системою околів у точці ${\displaystyle x}$. Для неї використовується позначення ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$

Множина ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\subset {\mathcal {V}}(x)}$ околів точки ${\displaystyle x}$ називається базою околів у точці ${\displaystyle x}$ або фундаментальною системою околів точки ${\displaystyle x}$ якщо:

${\displaystyle {\big (}\forall U\in {\mathcal {V}}(x){\big )}{\big (}\exists V\in {\mathcal {B}}(x\in V\subseteq U){\big )}}$.

У подібний спосіб також можна дати означення систем і баз околів довільної підмножини топологічного простору.

Приклади

• Система околів точки ${\displaystyle x}$ є також базою околів у цій точці.
• Якщо ${\displaystyle X}$ є дискретним простором, то ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{d}(x)={\big \{}\{x\}{\big \}}}$ (одноелементна множина) є базою околів у ${\displaystyle x\in X}$. Якщо ${\displaystyle X}$ є антидискретним простором, то ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}(x)=\{X\}}$ є базою околів у ${\displaystyle x\in X}$.
• Якщо ${\displaystyle X}$ є метричним простором з метрикою ${\displaystyle d}$ і для точки ${\displaystyle x\in X}$ і числа ${\displaystyle r>0}$ позначимо ${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}$, то тоді сім'я ${\displaystyle \{B(x,1/n):n=1,2,3,\ldots \}}$ є базою околів у ${\displaystyle x}$.

Властивості

Тут, як і у статті Окіл, околом точки називається множина, що містить відкриту множину, елементом якої є дана точка, тобто околи не обов'язково є відкритими множинами.

• Нехай ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}}$ є системою околів топологічного простору ${\displaystyle X}$. Тоді виконуються такі властивості:

1. Для кожного ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)\neq \emptyset }$ і для кожного ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(x)\ }$ ${\displaystyle x\in U}$.
2. Якщо ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(x)\ }$ і ${\displaystyle U\subset V\subset X}$ то також ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(x)\ }$.
3. Якщо ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(x)}$, то існує ${\displaystyle U\supset V\in {\mathcal {V}}(x)}$, такий що ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(y)}$ для кожної точки ${\displaystyle y\in V}$.
4. Перетин скінченної кількості елементів ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$ теж є елементом ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$.

Перші дві властивості випливають із означення околу точки, четверта із того, що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною (і з того факту, що за означенням кожен окіл містить відкритий окіл). У третій властивості за множину ${\displaystyle V}$ можна взяти довільний окіл, який існує за означенням. Властивість одержується з того факту, що відкрита множина є околом всіх своїх точок і тому довільна множина, що її містить теж є околом всіх її точок.

• Навпаки, припустимо, що ${\displaystyle X}$ є непустою множиною і ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}}$ є системою сімей підмножин ${\displaystyle X}$, що задовольняють властивості 1 - 4. Нехай ${\displaystyle \tau }$ — сім'я всіх підмножин ${\displaystyle X}$, таких що ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in U}$. Тоді ${\displaystyle \tau }$ є топологією на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}}$ є системою околів для цієї топології. Топологія ${\displaystyle \tau }$ називається топологією породженою системою околів ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$. Таким чином система околів може бути одним із способів задання топології на множині.

Очевидно, що пуста множина і весь простір належать ${\displaystyle \tau }$. Для довільної сім'ї множин із ${\displaystyle \tau }$ їх об'єднання містить кожну із цих множин і тому, згідно другої властивості, є околом всіх своїх точок. Тобто об'єднання довільної сім'ї множин із ${\displaystyle \tau }$ теж належить ${\displaystyle \tau }$. Для скінченної сім'ї множин із ${\displaystyle \tau }$ кожна з цих множин є околом кожної з точок їх перетину і тому для кожної з цих точок перетин множин є околом (згідно четвертої властивості). Тому перетин скінченної сім'ї підмножин з ${\displaystyle \tau }$ теж належить ${\displaystyle \tau }$ і тому ${\displaystyle \tau }$ є топологією.

Згідно другої властивості кожен окіл точки ${\displaystyle x\in X}$ належить ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$. Навпаки нехай ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(x)}$ і ${\displaystyle U}$ — множина точок ${\displaystyle y}$, для яких ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(y)}$. Очевидно що ${\displaystyle x\in U}$ і ${\displaystyle U\supset V}$. Доведемо, що множина ${\displaystyle U}$ є відкритою у топології ${\displaystyle \tau }$. Нехай ${\displaystyle y\in U}$. Тоді згідно властивості 3 існує така множина ${\displaystyle W\in {\mathcal {V}}(y)}$, що ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(z)}$ для всіх ${\displaystyle z\in W}$. Тоді з означення ${\displaystyle U}$ маємо, що ${\displaystyle W\supset U}$ і оскільки ${\displaystyle W\in {\mathcal {V}}(y)}$ то з другої властивості також ${\displaystyle U\in {\mathcal {V}}(y)}$. Оскільки точка ${\displaystyle y}$ була довільною, то ${\displaystyle U}$ є околом всіх своїх точок, тобто відкритою множиною у топології ${\displaystyle \tau }$.

• Аналогічно топологію можна задавати за допомогою бази околів, як сім'ю підмножин ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$, що задовольняють властивості (які виконуються для баз околів):

1. Для кожного ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\neq \emptyset }$ і для кожного ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)\ }$ ${\displaystyle x\in U}$.
2. Якщо ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$, то існує ${\displaystyle U\supset V\in {\mathcal {B}}(x)}$, така що для кожної точки ${\displaystyle y\in V}$ існує ${\displaystyle U\supset W\in {\mathcal {B}}(y)}$.
3. Перетин скінченної кількості елементів ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ містить деякий елемент ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$.

Кардинальні функції

З поняттям бази околів пов'язані наступні поняття:

• Характер точки ${\displaystyle x\in X}$ у топологічного простору ${\displaystyle X}$ найменша можлива потужність бази околів у цій точці. Характер точки ${\displaystyle x\in X}$ позначається ${\displaystyle \chi (x,X)}$.
• Характер простору ${\displaystyle X}$ за означенням рівний

${\displaystyle \chi (X)=\sup\{\chi (x,X):x\in X\}}$.

Див. також

• База топології
• Окіл
• Топологічний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)