Передпорядок (відношення передпорядку) — бінарне відношення в теорії порядку, що є транзитивним та рефлексивним. Зазвичай позначається тоді визначення передпорядку на множині приймає вигляд:
Якщо замінити у визначенні рефлексивність на антирефлексивність, то отримаємо строгий передпорядок, який позначеється . Визначення:
Пов'язані визначення
- Відношення еквівалентності — симетричний передпорядок.
- Частковий порядок — антисиметричний передпорядок.
- Повний передпорядок — передпорядок, що є повним.
Теорія категорій
В теорії категорій з поняттям передпорядку пов'язують зазвичай дві категорії: категорію передпорядків й категорії, які називають передпорядками.
Передпорядки
Категорія називається передпорядком, якщо для будь-яких двох об'єктів існує не більше одного морфізмe Якщо — мала категорія, то на множині її об'єктів можна задати відношення передпорядка за наступним правилом:
З аксіом категорії слідує, що таке відношення буде рефлексивним і транзитивним. Передпорядок — це абстрактна категорія, тобто його у загальному випадку не можна представити як категорію деяких множин із заданою структурою і відображеннями, що зберігають цю структуру.
- Передпорядок — це скелетна категорія.
- Якщо мала категорія повна в малому, то вона є предпорядком, причому кожна менша множина його елементів має найбільшу нижню грань.
- Добуток набору (множини, класу і т. п.) об'єктів предпорядку — це найбільша нижня грань для цього набору. Кодобуток набору об'єктів — це його найменша верхня грань.
- Початковий об'єкт у передпорядку , якщо він існує, — це його найменший об'єкт, так що Аналогиічно, термінальний об'єкт передпорядку — це найбільший об'єкт у ньому.
Категорія передпорядків
Категорія передпорядків позначається зазвичай Об'єктами категорії передпорядків є передпорядки (в сенсі категорій), зокрема, множини, на яких задані відношення передпорядку. Морфізми в цій категорії — відображення множин, зберігають відношення предпорядку, тобто монотонні відображення. Розглянемо в підкатегорію малих передпорядків Це конкретна категорія, наділена очевидним (унівалентним) (забутливим функтором)
який зіставляє кожному малому передпорядку множину його об'єктів, а кожному морфізму — монотонне відображення відповідних множин. Цей функтор створює межі в . Таким чином, аналогічно початковим об'єктом в є порожня множина, термінальним об'єктом — множина з одного елементу, добутком об'єктів — (прямий добуток) відповідних множин з покомпонентним порівнянням, тощо.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Р. Голдблатт Топоси. Категорний аналіз логіки, — Мир, 1983. — 487 с.
- С. Маклейн Категорії для працюючого математика, — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — .
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет