Кубічна піраміда

Кубі́чна пірамі́да — чотиривимірний многогранник (багатокомірник): ^[en], що має основою куб.

Кубічна піраміда
Діаграма Шлегеля
Тип	^[en]
Граней	18 12 {3} 6 {4}
Ребер	20
Вершин	9
	7 1 {4,3} 6 ( ) ∨ {4}
Символ Шлефлі	( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }]
Група симетрії	B3, [4,3,1], порядок 48 [4,2,1], порядок 16 [2,2,1], порядок 8
Дуальний многогранник	^[en]
опуклий, правильногранний

Проєкція кубічної піраміди, що обертається, в тривимірний простір

Ортогональна двовимірна проєкція обертової правильногранної кубічної піраміди

Опис

Обмежена 7 тривимірними комірками — 6 квадратними пірамідами та 1 кубом. Кубічна комірка оточена всіма шістьма пірамідальними; кожна пірамідальна комірка оточена кубічною та чотирма пірамідальними.

Має 18 граней — 6 квадратів і 12 трикутників. Кожна квадратна грань поділяє кубічну та пірамідальну комірки, кожна трикутна — дві пірамідальні.

Має 20 ребер. На кожному ребрі сходяться по три грані і по три комірки: для 12 ребер це дві квадратні і трикутна грані, кубічна і дві пірамідальних комірки; для решти 8 ребер — три трикутні грані, три пірамідальні комірки.

Має 9 вершин. У 8 вершинах сходяться по 4 ребра, по 6 граней (три квадратні, три трикутні) і по 4 комірки (кубічна, три пірамідальних); у 1 вершині — 8 ребер, всі 12 трикутних граней і всі 6 пірамідальних комірок.

Правильногранна кубічна піраміда

Якщо всі ребра кубічної піраміди мають рівну довжину ${\displaystyle a}$, всі її грані є правильними многокутниками. Чотиривимірний гіпероб'єм та тривимірна гіперплоща поверхні такої піраміди відповідно становлять

${\displaystyle V_{4}={\frac {1}{8}}\;a^{4}=0{,}1250000a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}4142136a^{3}.}$

Висота піраміди при цьому дорівнює

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,}$

радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) -

${\displaystyle R=a=1{,}0000000a,}$

радіус більшої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a,}$

радіус меншої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней)

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}5176381a,}$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок) -

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)a\approx 0{,}2071068a.}$

Центр вписаної гіперсфери розташовується всередині піраміди; центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер — в одній і тій самій точці поза пірамідою, симетричній вершині піраміди відносно її основи; центр меншої напіввписаної гіперсфери — в іншій точці поза пірамідою.

Таку піраміду можна отримати, взявши опуклу оболонку будь-якої вершини двадцятичотирьохкомірника і всіх 8 сусідніх вершин, з'єднаних із нею ребром.

Кут між двома суміжними пірамідальними комірками дорівнюватиме ${\displaystyle 120^{\circ },}$ як і між суміжними октаедричними комірками у двадцятичотирьохкомірнику. Кут між кубічною коміркою і будь-якою пірамідальною становитиме ${\displaystyle 45^{\circ }.}$

У координатах

Правильногранну кубічну піраміду з довжиною ребра ${\displaystyle 2}$ можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1;\;0\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;0;\;1\right).}$

При цьому центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер розташовуватимуться в точці ${\displaystyle (0;\;0;\;0;\;-1),}$ центр меншої напіввписаної гіперсфери — у точці ${\displaystyle (0;\;0;\;0;\;{\sqrt {3}}-2),}$ центр вписаної гіперсфери — у точці ${\displaystyle (0;\;0;\;0;\;{\sqrt {2}}-1).}$

Заповнення простору

Тесеракт можна розрізати на 8 однакових правильногранних кубічних пірамід (з вершинами в центрі тесеракта і основами на його восьми кубічних комірках) — подібно до того, як куб розрізають на 6 квадратних пірамід (які, однак, у цьому випадку правильногранними не будуть).

А оскільки тесерактами можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень, правильногранна кубічна піраміда теж є багатокомірником, що заповнює чотиривимірний простір.

Довести це можна й інакше: розрізавши двадцятичотирьохкомірник (який також заповнює чотиривимірний простір) на 16 однакових правильногранних кубічних пірамід.

Посилання

• Richard Klitzing. Cubical pyramid