Кубі́чна пірамі́да — чотиривимірний многогранник (багатокомірник): [en], що має основою куб.
Кубічна піраміда | |
---|---|
Тип | [en] |
Граней | 18 12 {3} 6 {4} |
Ребер | 20 |
Вершин | 9 |
7 1 {4,3} 6 ( ) ∨ {4} | |
Символ Шлефлі | ( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }] |
Група симетрії | B3, [4,3,1], порядок 48 [4,2,1], порядок 16 [2,2,1], порядок 8 |
Дуальний многогранник | [en] |
опуклий, правильногранний |
Опис
Обмежена 7 тривимірними комірками — 6 квадратними пірамідами та 1 кубом. Кубічна комірка оточена всіма шістьма пірамідальними; кожна пірамідальна комірка оточена кубічною та чотирма пірамідальними.
Має 18 граней — 6 квадратів і 12 трикутників. Кожна квадратна грань поділяє кубічну та пірамідальну комірки, кожна трикутна — дві пірамідальні.
Має 20 ребер. На кожному ребрі сходяться по три грані і по три комірки: для 12 ребер це дві квадратні і трикутна грані, кубічна і дві пірамідальних комірки; для решти 8 ребер — три трикутні грані, три пірамідальні комірки.
Має 9 вершин. У 8 вершинах сходяться по 4 ребра, по 6 граней (три квадратні, три трикутні) і по 4 комірки (кубічна, три пірамідальних); у 1 вершині — 8 ребер, всі 12 трикутних граней і всі 6 пірамідальних комірок.
Правильногранна кубічна піраміда
Якщо всі ребра кубічної піраміди мають рівну довжину , всі її грані є правильними многокутниками. Чотиривимірний гіпероб'єм та тривимірна гіперплоща поверхні такої піраміди відповідно становлять
Висота піраміди при цьому дорівнює
радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) -
радіус більшої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -
радіус меншої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней)
радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок) -
Центр вписаної гіперсфери розташовується всередині піраміди; центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер — в одній і тій самій точці поза пірамідою, симетричній вершині піраміди відносно її основи; центр меншої напіввписаної гіперсфери — в іншій точці поза пірамідою.
Таку піраміду можна отримати, взявши опуклу оболонку будь-якої вершини двадцятичотирьохкомірника і всіх 8 сусідніх вершин, з'єднаних із нею ребром.
Кут між двома суміжними пірамідальними комірками дорівнюватиме як і між суміжними октаедричними комірками у двадцятичотирьохкомірнику. Кут між кубічною коміркою і будь-якою пірамідальною становитиме
У координатах
Правильногранну кубічну піраміду з довжиною ребра можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати
При цьому центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер розташовуватимуться в точці центр меншої напіввписаної гіперсфери — у точці центр вписаної гіперсфери — у точці
Заповнення простору
Тесеракт можна розрізати на 8 однакових правильногранних кубічних пірамід (з вершинами в центрі тесеракта і основами на його восьми кубічних комірках) — подібно до того, як куб розрізають на 6 квадратних пірамід (які, однак, у цьому випадку правильногранними не будуть).
А оскільки тесерактами можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень, правильногранна кубічна піраміда теж є багатокомірником, що заповнює чотиривимірний простір.
Довести це можна й інакше: розрізавши двадцятичотирьохкомірник (який також заповнює чотиривимірний простір) на 16 однакових правильногранних кубічних пірамід.
Посилання
- Richard Klitzing. Cubical pyramid
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kubi chna pirami da chotirivimirnij mnogogrannik bagatokomirnik en sho maye osnovoyu kub Kubichna piramidaDiagrama ShlegelyaTip en Granej18 12 3 6 4 Reber20Vershin97 1 4 3 6 4 Simvol Shlefli 4 3 4 Grupa simetriyiB3 4 3 1 poryadok 48 4 2 1 poryadok 16 2 2 1 poryadok 8Dualnij mnogogrannik en opuklij pravilnogrannijProyekciya kubichnoyi piramidi sho obertayetsya v trivimirnij prostirOrtogonalna dvovimirna proyekciya obertovoyi pravilnogrannoyi kubichnoyi piramidiOpisObmezhena 7 trivimirnimi komirkami 6 kvadratnimi piramidami ta 1 kubom Kubichna komirka otochena vsima shistma piramidalnimi kozhna piramidalna komirka otochena kubichnoyu ta chotirma piramidalnimi Maye 18 granej 6 kvadrativ i 12 trikutnikiv Kozhna kvadratna gran podilyaye kubichnu ta piramidalnu komirki kozhna trikutna dvi piramidalni Maye 20 reber Na kozhnomu rebri shodyatsya po tri grani i po tri komirki dlya 12 reber ce dvi kvadratni i trikutna grani kubichna i dvi piramidalnih komirki dlya reshti 8 reber tri trikutni grani tri piramidalni komirki Maye 9 vershin U 8 vershinah shodyatsya po 4 rebra po 6 granej tri kvadratni tri trikutni i po 4 komirki kubichna tri piramidalnih u 1 vershini 8 reber vsi 12 trikutnih granej i vsi 6 piramidalnih komirok Pravilnogranna kubichna piramidaYaksho vsi rebra kubichnoyi piramidi mayut rivnu dovzhinu a displaystyle a vsi yiyi grani ye pravilnimi mnogokutnikami Chotirivimirnij giperob yem ta trivimirna giperplosha poverhni takoyi piramidi vidpovidno stanovlyat V4 18a4 0 1250000a4 displaystyle V 4 frac 1 8 a 4 0 1250000a 4 S3 1 2 a3 2 4142136a3 displaystyle S 3 left 1 sqrt 2 right a 3 approx 2 4142136a 3 Visota piramidi pri comu dorivnyuye H 12a 0 5000000a displaystyle H frac 1 2 a 0 5000000a radius opisanoyi gipersferi sho prohodit cherez usi vershini bagatokomirnika R a 1 0000000a displaystyle R a 1 0000000a radius bilshoyi napivvpisanoyi gipersferi sho dotikayetsya do vsih reber u yihnih seredinah r1 32a 0 8660254a displaystyle rho 1 frac sqrt 3 2 a approx 0 8660254a radius menshoyi napivvpisanoyi gipersferi sho dotikayetsya do vsih granej r2 12 6 2 a 0 5176381a displaystyle rho 2 frac 1 2 left sqrt 6 sqrt 2 right a approx 0 5176381a radius vpisanoyi gipersferi sho dotikayetsya do vsih komirok r 12 2 1 a 0 2071068a displaystyle r frac 1 2 left sqrt 2 1 right a approx 0 2071068a Centr vpisanoyi gipersferi roztashovuyetsya vseredini piramidi centri opisanoyi ta bilshoyi napivvpisanoyi gipersfer v odnij i tij samij tochci poza piramidoyu simetrichnij vershini piramidi vidnosno yiyi osnovi centr menshoyi napivvpisanoyi gipersferi v inshij tochci poza piramidoyu Taku piramidu mozhna otrimati vzyavshi opuklu obolonku bud yakoyi vershini dvadcyatichotirohkomirnika i vsih 8 susidnih vershin z yednanih iz neyu rebrom Kut mizh dvoma sumizhnimi piramidalnimi komirkami dorivnyuvatime 120 displaystyle 120 circ yak i mizh sumizhnimi oktaedrichnimi komirkami u dvadcyatichotirohkomirniku Kut mizh kubichnoyu komirkoyu i bud yakoyu piramidalnoyu stanovitime 45 displaystyle 45 circ U koordinatahPravilnogrannu kubichnu piramidu z dovzhinoyu rebra 2 displaystyle 2 mozhna rozmistiti v dekartovij sistemi koordinat tak shob yiyi vershini mali koordinati 1 1 1 0 displaystyle left pm 1 pm 1 pm 1 0 right 0 0 0 1 displaystyle left 0 0 0 1 right Pri comu centri opisanoyi ta bilshoyi napivvpisanoyi gipersfer roztashovuvatimutsya v tochci 0 0 0 1 displaystyle 0 0 0 1 centr menshoyi napivvpisanoyi gipersferi u tochci 0 0 0 3 2 displaystyle 0 0 0 sqrt 3 2 centr vpisanoyi gipersferi u tochci 0 0 0 2 1 displaystyle 0 0 0 sqrt 2 1 Zapovnennya prostoruTeserakt mozhna rozrizati na 8 odnakovih pravilnogrannih kubichnih piramid z vershinami v centri teserakta i osnovami na jogo vosmi kubichnih komirkah podibno do togo yak kub rozrizayut na 6 kvadratnih piramid yaki odnak u comu vipadku pravilnogrannimi ne budut A oskilki teseraktami mozhna zamostiti chotirivimirnij prostir bez promizhkiv i nakladen pravilnogranna kubichna piramida tezh ye bagatokomirnikom sho zapovnyuye chotirivimirnij prostir Dovesti ce mozhna j inakshe rozrizavshi dvadcyatichotirohkomirnik yakij takozh zapovnyuye chotirivimirnij prostir na 16 odnakovih pravilnogrannih kubichnih piramid PosilannyaRichard Klitzing Cubical pyramid