Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Комутативне кільце — кільце з комутативним множенням.
Кільця взагалі вивчає теорія кілець (частина абстрактної алгебри).
Комутативні кільця, їх ідеали та їх модулі вивчає комутативна алгебра (на комутативній алгебрі базуються алгебрична геометрія та алгебрична теорія чисел).
Деякі підвиди комутативних кілець (поставлено в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
- комутативне кільце ⊃ область цілісності ⊃ цілозамкнута область ⊃ факторіальне кільце ⊃ кільце головних ідеалів ⊃ евклідове кільце ⊃ поле.
Визначення
Кільце це множина R з двома бінарними операціями, що називають додавання та множення і позначаються символами "+" і "⋅". Одиничні елементи цих операцій позначають як 0 і 1, відповідно.
Щоб утворювати кільце, ці операції повинні задовільняти властивості:
- R є абелевою групою відносно додавання;
- R є моноїдом відносно множення,
- множення є дистрибутивним відносно додавання; a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c).
Якщо множення є комутативним, тобто
- a ⋅ b = b ⋅ a,
тоді кільце R називають комутативним.
Приклади
Важливим прикладом, в певному сенсі вирішальним, є кільце цілих чисел Z із двома операціями додавання і множення. Оскільки множення цілих чисел є комутативною операцією, це комутативне кільце. Воно зазвичай позначається Z, що є скороченням німецького слова Zahlen (числа).
Поле це комутативне кільце, де 
і кожен не нульовий елемент a є інвертованим; тобто, має мультиплікативне обернене число b, таке що a ⋅ b = 1. Тому, за визначенням, будь-яке поле є комутативним кільцем. Раціональні, дійсні і комплексні числа утворюють поля.
Якщо R це дане комутативне кільце, тоді множина всіх поліномів для змінної X, коефіцієнти якого належать R утворюють кільце поліномів, що позначається як R[X]. Те саме буде виконуватися і для декількох змінних.
Якщо V це деякий Топологічний простір, наприклад підмножина деякої Rn, неперервні функції над V дійсних або комплексних змінних утворюють комутативне кільце. Те саме буде вірним і для диференційовних або голоморфні функції, коли обидва поняття визначені такими, що є комплексним многовидом для V.
Оборотний елемент
...
Модуль над кільцем
...
Ідеал кільця
...
Див. також
Джерела
- Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
 | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Komutativne kilce kilce z komutativnim mnozhennyam Kilcya vzagali vivchaye teoriya kilec chastina abstraktnoyi algebri Komutativni kilcya yih ideali ta yih moduli vivchaye komutativna algebra na komutativnij algebri bazuyutsya algebrichna geometriya ta algebrichna teoriya chisel Deyaki pidvidi komutativnih kilec postavleno v poryadku vid zagalnishih do bilsh specializovanih komutativne kilce oblast cilisnosti cilozamknuta oblast faktorialne kilce kilce golovnih idealiv evklidove kilce pole ViznachennyaDokladnishe Kilce algebra Kilce ce mnozhina R z dvoma binarnimi operaciyami sho nazivayut dodavannya ta mnozhennya i poznachayutsya simvolami i Odinichni elementi cih operacij poznachayut yak 0 i 1 vidpovidno Shob utvoryuvati kilce ci operaciyi povinni zadovilnyati vlastivosti R ye abelevoyu grupoyu vidnosno dodavannya R ye monoyidom vidnosno mnozhennya mnozhennya ye distributivnim vidnosno dodavannya a b c a b a c Yaksho mnozhennya ye komutativnim tobto a b b a todi kilce R nazivayut komutativnim PrikladiVazhlivim prikladom v pevnomu sensi virishalnim ye kilce cilih chisel Z iz dvoma operaciyami dodavannya i mnozhennya Oskilki mnozhennya cilih chisel ye komutativnoyu operaciyeyu ce komutativne kilce Vono zazvichaj poznachayetsya Z sho ye skorochennyam nimeckogo slova Zahlen chisla Pole ce komutativne kilce de 0 1 displaystyle 0 not 1 i kozhen ne nulovij element a ye invertovanim tobto maye multiplikativne obernene chislo b take sho a b 1 Tomu za viznachennyam bud yake pole ye komutativnim kilcem Racionalni dijsni i kompleksni chisla utvoryuyut polya Yaksho R ce dane komutativne kilce todi mnozhina vsih polinomiv dlya zminnoyi X koeficiyenti yakogo nalezhat R utvoryuyut kilce polinomiv sho poznachayetsya yak R X Te same bude vikonuvatisya i dlya dekilkoh zminnih Yaksho V ce deyakij Topologichnij prostir napriklad pidmnozhina deyakoyi Rn neperervni funkciyi nad V dijsnih abo kompleksnih zminnih utvoryuyut komutativne kilce Te same bude virnim i dlya diferencijovnih abo golomorfni funkciyi koli obidva ponyattya viznacheni takimi sho ye kompleksnim mnogovidom dlya V Oborotnij element Modul nad kilcem Ideal kilcya Div takozhGradujovane kilceDzherelaZarisskij O Kommutativnaya algebra Moskva 1963 T 1 373 s ros Burbaki N Kommutativnaya algebra Moskva Mir 1971 S 707 Elementi matematiki ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi