Ейлерова характеристика

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається ${\displaystyle \chi (X)}$.

Визначення

• Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума

  ${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ означає число клітинок розмірности ${\displaystyle i}$.

• Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті ${\displaystyle b_{n}}$ як знакозмінна сума:

  ${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}$

Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.

• Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості

• Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
  • Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.

Ейлерова характеристика поліедрів

• Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}}$ де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива (формула Ейлера):

  ${\displaystyle \Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.}$

Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду ${\displaystyle S}$ (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику ${\displaystyle \chi (S)}$ з кривиною Ґауса ${\displaystyle K}$ многовиду:

${\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}$

де ${\displaystyle d\sigma }$ — елемент площі поверхні ${\displaystyle S}$.

• Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
• Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або .
• Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на ${\displaystyle 2\pi }$.
• Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхні

• Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: ${\displaystyle \chi (X)=2-2g}$, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як ${\displaystyle \chi (X)=2-g}$.

Величина характеристики Ейлера

Назва	Вид	Ейлерова характеристика
Відрізок		1
Коло		0
Круг		1
Сфера		2
Тор (добуток двох кіл)		0
Подвійний тор		−2
Потрійний тор		−4
Проективна поверхня		1
Стрічка Мебіуса		0
Пляшка Кляйна		0
Дві сфери (незв'язані)		2 + 2 = 4
Три сфери		2 + 2 + 2 = 6

Історія

У 1752 році Ейлер опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

${\displaystyle ~S+H=A+2,}$

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році .

У 1899 році Анрі Пуанкаре узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}$

де ${\displaystyle A_{i}}$ — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}$

Примітки

1. ERGUN AKLEMAN, JIANER CHEN. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem (PDF). Texas A&M University. Процитовано 21 жовтня 2019.
2. Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
   • Переклад англійською мовою: Леонард ЕйлерProof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
3. Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М., 1981. — С. 344.
4. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Література

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).