В математиці, діедрична група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає та відбиття. Діедрична група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5tTDFOdWIzZG1iR0ZyWlRndWNHNW5Mekl5TUhCNExWTnViM2RtYkdGclpUZ3VjRzVuLnBuZw==.png)
Види запису
Існують два види запису діедричних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується Dn, тоді як алгебрі та сама група позначається D2n з метою вказання кількості елементів.
У цій статті, Dn (і іноді Dihn) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.
Визначення
Елементи
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekE1TDBobGVHRm5iMjVmVW1WbWJHVmpkR2x2Ym5NdWNHNW5Mekl5TUhCNExVaGxlR0ZuYjI1ZlVtVm1iR1ZqZEdsdmJuTXVjRzVuLnBuZw==.png)
Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедричну групу Dn. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D8 для знаку «Stop»:
Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.
Структура групи
Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek00TDB4aFltVnNaV1JmVkhKcFlXNW5iR1ZmVW1WbWJHVmpkR2x2Ym5NdWMzWm5Mekl5TUhCNExVeGhZbVZzWldSZlZISnBZVzVuYkdWZlVtVm1iR1ZqZEdsdmJuTXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkU0TDFSM2IxOVNaV1pzWldOMGFXOXVYMUp2ZEdGMGFXOXVMbk4yWnk4eU1qQndlQzFVZDI5ZlVtVm1iR1ZqZEdsdmJsOVNiM1JoZEdsdmJpNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D3 (симетрій правильного трикутника). R0 позначає тотжність; R1 і R2 позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S0, S1, і S2 позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.
R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 | |
---|---|---|---|---|---|---|
R0 | R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 |
R1 | R1 | R2 | R0 | S1 | S2 | S0 |
R2 | R2 | R0 | R1 | S2 | S0 | S1 |
S0 | S0 | S2 | S1 | R0 | R2 | R1 |
S1 | S1 | S0 | S2 | R1 | R0 | R2 |
S2 | S2 | S1 | S0 | R2 | R1 | R0 |
Наприклад, S2S1 = R1 бо відбиття S1 із наступним відбиттям S2 утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.
Загалом, група Dn має елементи R0,...,Rn−1 і S0,...,Sn−1, з композиціями заданими такими формулами:
В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.
Матричне представлення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelU1TDFCbGJuUmhaMjl1WDB4cGJtVmhjaTV3Ym1jdk1qSXdjSGd0VUdWdWRHRm5iMjVmVEdsdVpXRnlMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедричної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи Dn у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.
Наприклад, елементи групи D4 можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:
Загалом, матрицями для елементів з Dn мають такий вигляд:
Rk — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. Sk — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.
Малі діедричні групи
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk5qTDBScGFEUmZZM2xqYkdWZlozSmhjR2d1YzNabkx6SXlNSEI0TFVScGFEUmZZM2xqYkdWZlozSmhjR2d1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.
Для n = 1 ми маємо Dih1. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z2. Для n = 2 маємо Dih2, (4-група Клейна). Це два винятки з усієї серії:
- Вони абелеві; для всіх інших значень n група Dihn не абелева.
- Вони не підгрупа симетричної групи Sn, через те, що 2n > n! для цих n.
Циклічні графи діедричних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедричних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.
Dih1 = Z2 | Dih2 = Z22 = K4 | Dih3 | Dih4 | Dih5 |
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
Dih6 = Dih3×Z2 | Dih7 | Dih8 | Dih9 | Dih10 = Dih5×Z2 |
Див. також
Література
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (вид. 3rd). . ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет