Головне розшарування

У математиці, зокрема топології та диференціальній геометрії головним розшаруванням називається об'єкт який локально виглядає як прямий добуток X × G деякого простору X і групи G. Залежно від ситуації X може бути, наприклад, топологічним простором або диференційовним многовидом, а G відповідно топологічною групою або групою Лі.

Сам прямий добуток є окремим випадком головного розшарування який називається тривіальним головним розшаруванням.

Окрім топології й диференціальної геометрії де вони є одними з найважливіших об'єктів вивчення головні розшарування також широко використовуються в теоретичній фізиці зокрема калібрувальних теоріях.

Формальне визначення

Єдиного стандартного визначення головного розшарування немає. Як і для деяких інших видів розшарувань у математичній літературі існує декілька визначень, що відрізняються декількома моментами. Нижче подано один з поширених варіантів визначення.

Нехай ${\displaystyle \left(E,\pi ,B,F\right)}$⁣ — ⁣локально тривіальне розшарування, де ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle F}$ є топологічними просторами, що називаються загальним простором, базовим простором і шаром відповідно, а ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ — неперервне сюр'єктивне відображення. Нехай також ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ — покриття бази ${\displaystyle B}$ відкритими множинами, і ${\displaystyle \phi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$ — відповідні їм відображення тривіалізації. Якщо множина ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ є непустою і ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$, то відображення ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }}$ визначене з рівності ${\displaystyle (x,\phi _{\alpha \beta }f)=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}(x,f),\;\forall f\in F}$ є автоморфізмом (гомеоморфізмом на себе) простору ${\displaystyle F}$. Таким чином визначене відображення ${\displaystyle \{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}.}$

Нехай тепер ${\displaystyle G}$ — топологічна група, для якої визначена неперервна дія на просторі ${\displaystyle F}$. Якщо всі визначені вище автоморфізми ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }(x)}$ визначаються дією якогось елемента групи ${\displaystyle G}$ і відображення ${\displaystyle \{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}}$ є неперервним то таке розшарування називається G-розшаруванням.

G-розшарування називається головним розшаруванням, якщо стандартний шар ${\displaystyle F}$ є гомеоморфним самій групі ${\displaystyle G}$. Дія групи ${\displaystyle G}$ на всіх шарах визначається дією на локальній тривіалізації, де вона визначається звичайним множенням елементів групи. На загальному просторі теж природно визначається множення. Якщо ${\displaystyle g\in G}$ і ${\displaystyle p\in \pi ^{-1}(U)\subset E}$, де ${\displaystyle U\subset B}$ і існує тривіалізація ${\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ для якої ${\displaystyle \phi (p)=(x,f)}$ то ${\displaystyle p\cdot g=\phi ^{-1}(x,f\cdot g)}$.

У випадку гладких структур визначення залишаються такими ж тільки поняття топологічних просторів, неперервних відображень і топологічних груп замінюють диференційовними многовидами, диференційовними відображеннями й групами Лі.

В альтернативних визначеннях часто не вимагається неперервність (диференційовність) відображень ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }}$. Також вимоги локальної тривіальності замінюються на деякі слабші вимоги.

Властивості

• Однією з найважливіших властивостей головних розшарувань є досить простий критерій тривіальності розшарування, тобто критерій того чи є розшарування гомеоморфним (чи дифеоморфним для категорії гладких многовидів) тривіальному розшаруванню розшарування ${\displaystyle B\times G.}$

Головне розшарування є тривіальним тоді й тільки тоді коли для нього існує глобальний переріз. Аналогічне твердження не є справедливим для довільного локально тривіального розшарування.

Більш загально для підмножини ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle B}$ існує локальна тривіалізація ${\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$ тоді і тільки тоді коли для цієї множини існує локальний переріз. Справді при наявності такої тривіалізації можна визначити переріз ${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U)}$ як

${\displaystyle s(x):=\phi ^{-1}(x,e)}$, де ${\displaystyle e}$ є одиничним елементом групи ${\displaystyle G}$.

Навпаки для деякого локального перерізу ${\displaystyle s}$ локальну тривіалізацію ${\displaystyle \phi }$ можна визначити як: ${\displaystyle \phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g}$ для ${\displaystyle x\in U,\;g\in G.}$

Визначені локальними перерізами локальні тривіалізації є ${\displaystyle G}$-еквіваріантними, тобто: якщо тривіалізацію

${\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$ записати як

${\displaystyle \phi (p)=(\pi (p),\varphi (p))}$ то відображення ${\displaystyle \varphi :P\to G}$ з шару над ${\displaystyle \pi (p)}$ в групу ${\displaystyle G}$ задовольняє рівність:

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)\cdot g}$

Якщо тепер ${\displaystyle (\{U_{\alpha }\},\{\phi _{\alpha }\})}$ — деякий тривіалізаційний атлас і локальні перерізи на множинах ${\displaystyle U_{i}}$ визначені як і раніше ${\displaystyle s_{\alpha }(x):=\phi _{\alpha }^{-1}(x,e)}$ і перетин двох множин ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ є непустим, то

${\displaystyle s_{\beta }(x)=s_{\alpha }(x)\cdot \phi _{\alpha \beta }(x)}$ де ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$, а відображення ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }}$ визначене як і раніше.

• Якщо ${\displaystyle \left(E,\pi ,B,G\right)}$ є головним ${\displaystyle G}$-розшаруванням у категорії гладких многовидів, то група Лі ${\displaystyle G}$ діє вільно на ${\displaystyle E}$ і множина орбіт ${\displaystyle P/G}$ є дифеоморфною до базового простору ${\displaystyle B}$.

Навпаки можна дати характеристику гладких головних розшарувань на основі цих властивостей: нехай ${\displaystyle E}$ є гладким многовидом, ${\displaystyle G}$ є групою Лі й визначена дія групи ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$ яка є гладкою, вільною і для відображень визначених цією дією прообрази компактних множин є компактними. Тоді:

• ${\displaystyle E/G}$ (простір орбіт) є гладким многовидом,
• Проєкція ${\displaystyle \pi :E\to E/G}$ є субмерсією,
• ${\displaystyle \left(E,\pi ,E/G,G\right)}$ є гладким головним розшаруванням.

Приклади

• Найпростішим прикладом головного розшарування є тривіальне розшарування ${\displaystyle B\times G.}$ У такому випадку ${\displaystyle \pi }$ є проєкцією на першу компоненту, усі тривіалізаційні відображення є тотожними відображеннями, а дія групи ${\displaystyle G}$ визначається множенням на дугу компонента.

• Основним прикладом є так зване реперне розшарування або розшарування баз векторних просторів. У цьому випадку кожній точці базового простору присвоюється деяка впорядкований базис векторного простору так, що ці базиси змінюються неперервно зі зміною базисної точки. Структурною групою в цьому випадку є загальна лінійна група.

Для категорії гладких многовидів найважливіший приклад такої побудови пов'язаний з дотичним розшаруванням. Нехай M — диференційовний многовид, ${\displaystyle U\subset M}$ — координатна множина і ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$⁣ — відповідні координатні функції. Тоді векторні поля ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$є базисом дотичного розшарування ${\displaystyle TU}$.

Усі інші базиси на цьому дотичному розшаруванні отримуються як ${\displaystyle e_{i}=g(p)\left({\partial \over \partial x_{i}}\right)_{p}}$ де ${\displaystyle p\in M,\;1\leqslant i\leqslant n}$, а ${\displaystyle g:U\to GL(A)}$ є диференційовним відображенням і дотичні простори в усіх точках множини ${\displaystyle U\subset M}$ ідентифікуються через базиси з координатних дотичних векторів. Тоді як тривіальні відображення можна взяти відображення ${\displaystyle \phi (p;e_{1},\ldots ,e_{n})=(p,g(p)).}$

Якщо ${\displaystyle V\subset M}$ — інша координатна множина і ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ — відповідні координатні функції то перехід між векторними полями ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$ і ${\displaystyle {\partial \over \partial y_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial y_{n}}}$ відбувається за допомогою матриця Якобі координатних функцій. Ці матриці гладко залежать від елементів множини ${\displaystyle U\cap V.}$

Множини довільного координатного атласу в цьому випадку будуть множинами тривіалізаційного атласу з визначеними вище відображеннями тривіалізації. Перехідні відображення на загальній лінійній групі тоді будуть рівні множенню справа на відповідні матриці Якобі

• Нехай ${\displaystyle \left(E,\pi ,B,F\right)}$ — довільне локально тривіальне ${\displaystyle G}$-розшарування з тривілізаційним атласом ${\displaystyle (\{U_{\alpha }\},\{\phi _{\alpha }\})}$ і відповідними неперервними відображеннями переходу ${\displaystyle \{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}}$. Тоді з цим розшаруванням природно пов'язане головне розшарування ${\displaystyle \left(E_{G},\pi ,B,G\right)}$ з тим самим базовим простором ${\displaystyle B}$ локальним покриттям ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ і відображеннями ${\displaystyle \{\phi _{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G\}}$⁣, але стандартний шар у ньому замість ${\displaystyle F}$ рівний ${\displaystyle G}$ і локально розшарування має вигляд ${\displaystyle U\times G}$ замість ${\displaystyle U\times F.}$ Замість дії групи ${\displaystyle G}$ на просторі ${\displaystyle F}$ розглядається дія групи ${\displaystyle G}$ через звичайне множення в групі. Визначене так розшарування називається асоційованим головним розшаруванням.

Оскільки головні розшарування є загалом простішими, ніж довільні локально тривіальні розшарування то для вивчення властивостей останніх часто буває корисним вивчення асоційованих головних розшарувань.

Див. також

• Векторне розшарування
• Зв'язність на головних розшаруваннях
• Локально тривіальне розшарування

Література

• Bishop, Richard L.; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN .
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, т. Vol. 93, Providence: American Mathematical Society
• Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN .