Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора із власним значенням називається така ненульова функція , для якої виконується співвідношення
де це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора на його власну функцію зводиться до множення на число Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.
Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням , то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора належить до спектра , але взагалі спектр оператора містить також що не є власними числами.
Приклади
1. Розглянемо зміну напрямку на числовій осі
. Це — відображення
до себе, що приводить до лінійного оператора
що діє на функціях на
за формулою
Власними функціями є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції
Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.
2. Для оператора похідної у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної
, експоненціальна функція
є власною функцією із власним значенням
У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція
що задовольняє
має вигляд тобто пропорційна
Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє
до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція
пропорційна комплексній експоненціальній функції
є власними функціями диференціального оператора
з власними значеннями Ці функції — скінченні у точках
і будь-яка власна функція
скінченна у
пропорційна до певного
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vla snoyu fu nkciyeyu linijnogo operatora L displaystyle L izvlasnim znachennyam l displaystyle lambda nazivayetsya taka nenulova funkciya f displaystyle f dlya yakoyi vikonuyetsya spivvidnoshennya L f lf displaystyle L f lambda f de l displaystyle lambda ce pevne chislo dijsne abo kompleksne Takim chinom diya operatora L displaystyle L na jogo vlasnu funkciyu f displaystyle f zvoditsya do mnozhennya f displaystyle f na chislo l displaystyle lambda Ponyattya vlasnoyi funkciyi ce zrazok zagalnogo ponyattya vlasnogo vektora linijnogo operatora koli rol vektoriv vidigrayut funkciyi Zokrema vono shiroko zastosovuyetsya u teoriyi diferencialnih i integralnih operatoriv Yaksho L displaystyle L ce operator Shredingera z kvantovoyi mehaniki to jogo vlasni funkciyi mayut zmist vektoriv stacionarnogo stanu a vlasni znachennya vidpovidayut energiyi div Stacionarne rivnyannya Shredingera Perevazhna bilshist specialnih funkcij i vsi ortogonalni polinomi yaki rozglyadayutsya u matematici i fizici ye vlasnimi funkciyami pevnih diferencialnih operatoriv Yaksho dlya operatora isnuye bilsh za odnu linijno nezalezhnu vlasnu funkciyu iz odnakovim vlasnim znachennyam l displaystyle lambda to take vlasne znachennya nazivayetsyavirodzhenim Mnozhina vsih vlasnih znachen operatora L displaystyle L nalezhit do spektra L displaystyle L ale vzagali spektr operatora mistit takozh l displaystyle lambda sho ne ye vlasnimi chislami Prikladi1 Rozglyanemo zminu napryamku x x displaystyle x mapsto x na chislovij osi R displaystyle mathbb R Ce vidobrazhennya R displaystyle mathbb R do sebe sho privodit do linijnogo operatora S displaystyle S sho diye na funkciyah na R displaystyle mathbb R za formuloyu Sf x f x displaystyle Sf x f x Vlasnimi funkciyami S displaystyle S ye vsi parni funkciyi sho vidpovidayut vlasnomu znachennyu 1 i vsi neparni funkciyi sho vidpovidayut vlasnomu znachennyu 1 za vinyatkom funkciyi 0 displaystyle 0 Funkciyi yaki ne ye ni parnimi ni neparnimi ne nalezhat do vlasnih funkcij danogo operatora Spektr danogo operatora zbigayetsya iz mnozhinoyu vlasnih znachen i skladayetsya iz dvoh chisel 1 ta 1 Obidva vlasni znachennya virodzheni oskilki isnuye bezlich parnih chi neparnih funkcij 2 Dlya operatora pohidnoyi ddx displaystyle frac d dx u prostori vsih diferencijovnih dijsnoznachnih funkcij odniyeyi zminnoyi x displaystyle x eksponencialna funkciya ekx k R displaystyle e kx k in mathbb R ye vlasnoyu funkciyeyu iz vlasnim znachennyam k displaystyle k U teoriyi diferencialnih rivnyan dovoditsya sho bud yaka funciya f x displaystyle f x sho zadovolnyaye dfdx kf displaystyle frac df dx kf maye viglyad f x Cekx displaystyle f x Ce kx tobto proporcijna ekx displaystyle e kx Tomu zhodne iz vlasnih znachen ne ye virodzhenim Yaksho poshiriti prostir na yakomu diye ddx displaystyle frac d dx do prostoru vsih diferencijovnih kompleksnoznachnih funkcij to bud yaka vlasna funkciya ddx displaystyle frac d dx proporcijna kompleksnij eksponencialnij funkciyi ekx k C displaystyle e kx k in mathbb C 3 Polinomi Lezhandra Pl z 1 l2ll dldzl 1 z2 l displaystyle P l z frac 1 l 2 l l frac d l dz l 1 z 2 l ye vlasnimi funkciyami diferencialnogo operatora L 1 z2 d2dz2 2zddz displaystyle L 1 z 2 frac d 2 dz 2 2z frac d dz z vlasnimi znachennyami l l l 1 displaystyle lambda l l 1 Ci funkciyi skinchenni u tochkah z 1 displaystyle z pm 1 i bud yaka vlasna funkciya L displaystyle L skinchenna u z 1 displaystyle z pm 1 proporcijna do pevnogo Pl z l 0 1 2 displaystyle P l z l 0 1 2 ldots Div takozhVlasnij vektor Stacionarne rivnyannya Shredingera