Стаціонарне рівняння Шредінгера

Стаціона́рне рівня́ння Шре́дінгера — рівняння, яким визначається хвильова функція квантової системи в стані, який не змінюється з часом.

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$,

де ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамільтоніан, ${\displaystyle \psi }$ — хвильова функція, яку треба визначити, ${\displaystyle E}$ — це певне дійсне число, яке треба визначити — енергія стаціонарного стану.

Стаціонарне рівняння Шредінгера є рівнянням Штурма — Ліувіля, із якого потрібно визначити хвильові функції можливих квантових станів і можливі значення енергії ${\displaystyle E}$.

Знайдені із стаціонарного рівняння Шредінгера хвильові функції зазвичай індексуються квантовими числами.

Визначений спектр енергії може бути дискретним чи неперервним.

Стаціонарне рівняння Шредінгера займає центральне місце в квантовій механіці. Воно розв'язується аналітично лише для невеликого числа систем, серед яких більшість модельних. Розвинуто багато методів наближеного розв'язання стаціонарного рівняння Шредінгера, серед яких квазікласичне наближення, теорія збурень, варіаційний метод а також чисельні методи.

Отримання

Стаціонарне рівняння Шредінгера виводиться із рівняння Шредінгера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi }$

методом розділення змінних. Залежна від часу хвильова функція ${\displaystyle \Psi (t)}$ вибирається у вигляді

${\displaystyle \Psi (t)=e^{-iEt/\hbar }\psi }$.

При підставлянні цього анзацу в рівняння Шредінгера отримуємо

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$.

Задачі розсіяння

Стаціонарне рівняння Шредінгера визначає дискретний енергетичний спектр локалізованих станів. Проте воно також дозволяє розгляд делокалізованих станів у неперервному спектрі. Найважливішими задачами такого роду є задачі на розсіяння частинок одна на одній. При розгляді таких задач енергія E вважається заданою, а потрібно знайти таку хвильову функцію, яка відповідала б цій енергії й описувала б зіткнення часток, визначаючи ймовірність розсіяння.

Див. також

• Рівняння Шредінгера
• Адіабатичне наближення

Література

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1983. — 664 с.
• Shockley, William — Electrons and holes in semiconductors, with applications to transistor electronics, Krieger (1956) .