Ортогональні поліноми | |
Лежандра | |
Відкриті | Адрієн-Марі Лежандр |
Формула | |
Диференціальне рівняння | |
Визначені на | |
Вага | 1 |
Норма | |
Примітки |
Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі .
Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.
Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:
або за рекурентними:
Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd5TDB4bFoyVnVaSEpsWDNCdmJIa3VjM1puTHpRd01IQjRMVXhsWjJWdVpISmxYM0J2YkhrdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює
Перші 9 поліномів Лежандра:
Ортогональність
Умова ортогональності справджується на інтервалі :
де — дельта-символ Кронекера.
Приєднані функції Лежандра
Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:
яку можна також представити у вигляді:
При функція
збігається з
.
Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.
Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:
або еквівалентного йому:
Застосування
Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута , який змінюється від −1 при
до 1 при
.
Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:
,
де , а
— кут між векторами
та
.
Інше важливе застосування — розклад полів на . Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули
де — сферичні функції Бесселя.
Див. також
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Ця стаття не містить . (жовтень 2015) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortogonalni polinomi Lezhandra Vidkriti Adriyen Mari Lezhandr Formula P n x 1 2 n n d n d x n x 2 1 n displaystyle P n x 1 over 2 n n d n over dx n left x 2 1 n right Diferencialne rivnyannya d d x 1 x 2 d d x P n x n n 1 P n x 0 displaystyle d over dx left 1 x 2 d over dx P n x right n n 1 P n x 0 Viznacheni na 1 1 displaystyle 1 1 Vaga 1 Norma 2 2 n 1 displaystyle 2 over 2n 1 Primitki Polinomi Lezhandra ortogonalni polinomi na intervali 1 1 displaystyle 1 1 Polinomi Lezhandra mozhna otrimati z sistemi polinomiv 1 x x 2 x 3 displaystyle 1 x x 2 x 3 ldots za dopomogoyu ortogonalizaciyi Grama Shmidta Mozhut buti obchisleni za dopomogoyu pryamih formul P n x 1 2 n n d n d x n x 2 1 n displaystyle P n x 1 over 2 n n d n over dx n left x 2 1 n right abo za rekurentnimi P n 1 x 2 n 1 n 1 x P n x n n 1 P n 1 x displaystyle P n 1 x 2n 1 over n 1 xP n x n over n 1 P n 1 x Voni ye rozv yazkami diferencijnogo rivnyannya Lezhandra d d x 1 x 2 d d x P n x n n 1 P n x 0 displaystyle d over dx left 1 x 2 d over dx P n x right n n 1 P n x 0 Grafiki polinomiv Lezhandra poryadku n 0 1 5 displaystyle n 0 1 5 Generatrisa dlya mnogochleniv Lezhandra dorivnyuye n 0 P n z x n 1 1 2 x z x 2 displaystyle sum n 0 infty P n z x n 1 over sqrt 1 2xz x 2 Pershi 9 polinomiv Lezhandra P 0 x 1 displaystyle P 0 x 1 P 1 x x displaystyle P 1 x x P 2 x 1 2 3 x 2 1 displaystyle P 2 x begin matrix frac 1 2 end matrix 3x 2 1 P 3 x 1 2 5 x 3 3 x displaystyle P 3 x begin matrix frac 1 2 end matrix 5x 3 3x P 4 x 1 8 35 x 4 30 x 2 3 displaystyle P 4 x begin matrix frac 1 8 end matrix 35x 4 30x 2 3 P 5 x 1 8 63 x 5 70 x 3 15 x displaystyle P 5 x begin matrix frac 1 8 end matrix 63x 5 70x 3 15x P 6 x 1 16 231 x 6 315 x 4 105 x 2 5 displaystyle P 6 x begin matrix frac 1 16 end matrix 231x 6 315x 4 105x 2 5 P 7 x 1 16 429 x 7 693 x 5 315 x 3 35 x displaystyle P 7 x begin matrix frac 1 16 end matrix 429x 7 693x 5 315x 3 35x P 8 x 1 128 6435 x 8 12012 x 6 6930 x 4 1260 x 2 35 displaystyle P 8 x begin matrix frac 1 128 end matrix 6435x 8 12012x 6 6930x 4 1260x 2 35 P 9 x 1 128 12155 x 9 25740 x 7 18018 x 5 4620 x 3 315 x displaystyle P 9 x begin matrix frac 1 128 end matrix 12155x 9 25740x 7 18018x 5 4620x 3 315x OrtogonalnistUmova ortogonalnosti spravdzhuyetsya na intervali 1 1 displaystyle 1 1 1 1 P m x P n x d x 2 2 n 1 d m n displaystyle int limits 1 1 P m x P n x dx 2 over 2n 1 delta mn de d m n displaystyle delta mn delta simvol Kronekera Priyednani funkciyi LezhandraPriyednani funkciyi Lezhandra viznachayutsya za formuloyu P n m x 1 x 2 m 2 d m d x m P n x displaystyle P n m x 1 x 2 m 2 frac d m dx m P n x yaku mozhna takozh predstaviti u viglyadi P n m cos 8 sin m 8 d m d cos 8 m P n cos 8 displaystyle P n m cos theta sin m theta frac d m d cos theta m P n cos theta Pri m 0 displaystyle m 0 funkciya P n m displaystyle P n m zbigayetsya z P n displaystyle P n Yih chasto nazivayut priyednanimi polinomami Lezhandra hocha naspravdi ci funkciyi ne polinomi Priyednani funkciyi Lezhandra ye rozv yazkami diferencialnogo rivnyannya 1 x 2 y 2 x y n n 1 m 2 1 x 2 y 0 displaystyle 1 x 2 y 2xy left n n 1 frac m 2 1 x 2 right y 0 abo ekvivalentnogo jomu 1 x 2 y n n 1 m 2 1 x 2 y 0 displaystyle 1 x 2 y left n n 1 frac m 2 1 x 2 right y 0 ZastosuvannyaPolinomi Lezhandra shiroko zastosovuyutsya u fizici Zazvichaj argumentom polinomiv ye kosinus polyarnogo kuta 8 displaystyle theta yakij zminyuyetsya vid 1 pri 8 p displaystyle theta pi do 1 pri 8 0 displaystyle theta 0 Zokrema dlya otrimannya multipolnogo rozkladu elektrostatichnih poliv 1 r r 0 1 r 2 2 r r 0 cos 8 r 0 2 1 r 0 1 1 2 x cos 8 x 2 1 r 0 n P n cos 8 x n displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r 0 frac 1 sqrt r 2 2rr 0 cos theta r 0 2 frac 1 r 0 frac 1 sqrt 1 2x cos theta x 2 frac 1 r 0 sum n P n cos theta x n de x r r 0 displaystyle x r r 0 a cos 8 displaystyle cos theta kut mizh vektorami r displaystyle mathbf r ta r 0 displaystyle mathbf r 0 Inshe vazhlive zastosuvannya rozklad poliv na Napriklad ploska hvilya rozkladayetsya za dopomogoyu formuli e i k r l 0 2 l 1 i l j l k r P l cos 8 displaystyle e i mathbf k cdot mathbf r sum l 0 infty 2l 1 i l j l kr P l cos theta de j l x displaystyle j l x sferichni funkciyi Besselya Div takozhSferichni garmonikiLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2015