Експоненціальна функція

Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду ${\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!}$, де ${\displaystyle ~a}$ — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

Показникова функція
Область значень	^d
Підтримується Вікіпроєктом
Протилежне	логарифм
Показникова функція у Вікісховищі

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — ${\displaystyle ~u^{v}}$, введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

Визначення

Нехай ${\displaystyle a}$ — додатне дійсне число, ${\displaystyle x}$ — раціональне число: ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$. Тоді ${\displaystyle a^{x}\,\!}$ визначається за такими правилами.

• Якщо ${\displaystyle x>0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$.
• Якщо ${\displaystyle x=0}$, то ${\displaystyle \ a^{x}=1}$.
• Якщо ${\displaystyle x<0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}}$ (для ${\displaystyle \ a>0}$).

Показникову функцію ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$. Сталу e можна визначити як ${\textstyle e=\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!)}$.

Для довільного дійсного показника ${\displaystyle x}$ значення ${\displaystyle a^{x}}$ можна визначити як границю послідовності ${\displaystyle a^{r_{n}}}$, де ${\displaystyle r_{n}}$ — раціональні числа, що сходяться до ${\displaystyle x}$. Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Основні властивості

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При ${\displaystyle a>1}$ вона всюди зростає; при ${\displaystyle 0<a<1}$ функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

• ${\displaystyle a^{0}=1}$;
• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y}}$;
• ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$.

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}$

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є ${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}$

Експонента

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = a^x (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2^x (точкова крива) та 4^x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента (${\displaystyle \exp }$) — функція ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}\,}$, де e — основа натурального логарифма (${\displaystyle e\approx 2{,}718\,281\,828\,459}$ — число Ейлера).

Докладніше: Експонента

Властивості

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\,}$. Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид ${\displaystyle \exp(ct)\,}$, де ${\displaystyle c}$ — деяка стала.

Формальне визначення

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots .}$

або через границю:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n}}$

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$, де ${\displaystyle z}$ є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ дійсної змінної ${\displaystyle x}$:

Означмо формальний вираз

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції ${\displaystyle e^{z}}$, тобто показати, що ${\displaystyle e^{z}}$ розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Збіжність даного ряду легко доводиться:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$. Відповідно до , отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція ${\displaystyle e^{z}}$ є всюди визначеною й аналітичною.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — періодична функція з основним періодом 2πi: ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}$. Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою ${\displaystyle 2\pi }$.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
• Алгебрично експоненту від комплексного аргументу ${\displaystyle z=x+iy}$ може бути визначено наступним чином:

  ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)}$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера)

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Графіки функції

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

• Графіки показникової функції у комплексній площині
• z = Re(e^{x + iy})
• z = Im(e^{x + iy})
• ${\displaystyle z=|e^{x+iy}|}$

Примітки

1. Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 1. ISBN . (англ.)

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Посилання

• Показникова функція // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 179. — 594 с.
• «Експонента і число е: просто і зрозуміло» [ 22 грудня 2016 у Wayback Machine.] (рос.) — переклад статті «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained» [ 23 червня 2007 у Wayback Machine.] (англ.)
• Способи розв'язання показникових рівнянь^{[недоступне посилання з липня 2019]}