Формула Фаа ді Бруно — математична тотожність, що узагальнює правило ланцюга до вищих похідних, названих на честь , хоча він не був першим, хто заявив або довів цю формулу. У 1800 році, понад 50 років до Фаа ді Бруно, французький математик виклав формулу в підручнику з обчисленням вважаючи першим опублікованим посилання на цю тему.
Найвідоміша форма формули Фаа ді Бруно виглядає як
де сума біжить по всім n-кортежам невід’ємних цілих чисел (m1, ..., mn), що задовольняють умові
Іноді, щоб надати йому пам’ятну картину, вона записується так, що коефіцієнти, що мають комбінаторне тлумачення, про які йде мова нижче, менш явні:
Поєднання доданків з однаковим значенням m1 + m2 + ... + mn = k і помічаючи, що mj має дорівнювати нулю для j > n − к +1 призводить до дещо простішої формули, вираженої в термінах многочленів Белла Bn,k (x1, ..., xn − k +1):
Комбінаторна форма
Формула має "комбінаторну" форму:
де
- π проходить через безліч Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
- " B ∈ π " означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розбиття π, і
- |А| позначає кардинальність множини A (так що |π| - кількість блоків у розділі π а |B| - розмір блоку B).
Приклад
Далі йде конкретне пояснення комбінаторної форми для n = 4 випадку.
Шаблон:
Фактор відповідає розбиттю 2 + 1 + 1 цілого числа 4 очевидним чином. Фактор
що йде з нею, відповідає тому, що в цьому розділі є три суми. Коефіцієнт 6, що відповідає цим факторам, відповідає тому, що існує рівно шість розбиттів множини з чотирьох членів, які розбивають його на одну частину розміром 2 та дві частини розміром 1.
Аналогічно фактор у третьому рядку відповідає розділ 2 + 2 цілого числа 4, (4, оскільки ми знаходимо четверту похідну), тоді як
відповідає тому, що існує дві суми (2 + 2) у тому розділі. Коефіцієнт 3 відповідає тому, що є
способи розподілу 4 об'єктів на групи 2. Це ж поняття стосується і інших.
Схема для запам'ятовування:
Комбінаторика коефіцієнтів Фаа ді Бруно
Ці коефіцієнти Фаа ді Бруно для розбиттів мають "замкнену форму". Кількість робиттів множини розміром n, що відповідає розбиттю числа
цілого числа n дорівнює
Ці коефіцієнти виникають і в поліномах Белла, які мають відношення до дослідження .
Варіації
Версія з багатьма змінними
Нехай y = g (x1, ..., xn). Тоді виконується наступна ідентичність незалежно від того, чи є всі n змінних різними, або всі є однаковими, або ж розділені на кілька розрізнених класів нерозрізнювальних змінних (якщо це здається неясним, дивись зрозумілий приклад нижче):
де (як вище)
- π пробігає по всій множині Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
- "B ∈ π" означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розділу π, і
- |А| позначає кардинальність множини A (так що |π| - кількість блоків у розділі π а |B| - розмір блоку B ).
Більш загальні версії стосуються випадків, коли всі функції мають значення векторного та навіть банахового простору. У цьому випадку потрібно розглянути похідну Фреше або похідну Гато .
- Приклад
П'ять членів у наступному виразі очевидним чином відповідають п'яти розділам множини {1, 2, 3}, і в кожному випадку порядок похідної f - кількість частин у розділі:
Якщо три змінні не відрізняються одна від одної, то три з п'яти вищезазначених доданків також не відрізняються один від одного, і тоді ми маємо класичну формулу для однієї змінної.
Офіційна версія серії живлення
Припустимо і
є формальними степеневими рядами та
.
Потім композиція знову формальний силовий ряд,
де c0 = a0, а інший коефіцієнт cn для n ≥ 1 можна виразити у вигляді суми за композиціями n або як еквівалентної суми зарозбиттями n:
де
набір композицій n з k, що позначає кількість деталей,
або
де
- це набір розділів n на k частин у формі частоти частин.
Перша форма отримується вибором коефіцієнта xn в "шляхом огляду", а друга форма потім отримується шляхом збирання подібних доданків або, альтернативно, шляхом застосування мультиноміальних коефіцієнтів.
Особливий випадок f (x) = ex, g (x) = ∑n ≥ 1 an/n ! xn дає . Особливий випадок f (x) = 1/(1− x), g(x) = ∑n≥1(-an) xn дає вираз для оберненого формального ряду степеней ∑n ≥ 0 an xn у випадку a0 = 1.
Стенлі надає версію для експоненціальних силових рядів. Для формального степеневого ряду
маємо n-похідну у 0:
Це не слід тлумачити як значення функції, оскільки цей ряд суто формальні; у цьому контексті немає такого поняття, як збіжність чи розбіжність.
і
і
тоді коефіцієнт cn (що є n-тою похідною від h, взята у точці 0, якщо ми маємо справу з збіжними рядами, а не формальними рядами потужності) задається
де π проходить через безліч усіх розділів множини {1, ..., n} і B1, . . ., Bk - блоки розділу π, та | Bj | - кількість членів j-го блоку, для j = 1, ..., к .
Цей варіант формули особливо добре підходить для цілей комбінаторики .
Ми також можемо записати враховуючи наведенні вище позначення
де Bn,k (a 1, ..., an − k +1)- поліноми Белла .
Особливий випадок
Якщо f (x) = ex, то всі похідні f є однаковими і є фактором, спільним для кожного члена. У випадку, коли g ( x ) є твірною функцією кумулянтів, тоді f (g (x)) - є твірною функцією моментів, а многочлен у різних похідних g - це многочлен, який виражає моменти як функції .
Примітки
- (Arbogast, 1800).
- According to Craik, (2005, с. 120—122): see also the analysis of Arbogast's work by Johnson, (2002).
- Hardy, Michael (2006). . Electronic Journal of Combinatorics. 13 (1): R1. Архів оригіналу за 24 лютого 2012. Процитовано 7 липня 2020.
- See the "compositional formula" in Chapter 5 of Stanley, Richard P. (1999). . Cambridge University Press. ISBN . Архів оригіналу за 5 жовтня 2008. Процитовано 7 липня 2020.
Список літератури
Історичні дослідження та нариси
- Brigaglia, Aldo (2004), L'Opera Matematica, у Giacardi, Livia (ред.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione, Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (Italian) , т. XII, Torino: Deputazione Subalpina di Storia Patria, с. 111—172. "The mathematical work" is an essay on the mathematical activity, describing both the research and teaching activity of Francesco Faà di Bruno.
- Craik, Alex D. D. (February 2005), Prehistory of Faà di Bruno's Formula, American Mathematical Monthly, 112 (2): 217—234, doi:10.2307/30037410, JSTOR 30037410, MR 2121322, Zbl 1088.01008.
- Johnson, Warren P. (March 2002), (PDF), American Mathematical Monthly, 109 (3): 217—234, doi:10.2307/2695352, JSTOR 2695352, MR 1903577, Zbl 1024.01010, архів оригіналу (PDF) за 11 квітня 2021, процитовано 7 липня 2020.
Науково-дослідні роботи
- (1800), [On the calculus of derivatives] (French) , Strasbourg: Levrault, с. xxiii+404, архів оригіналу за 16 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 , Повністю вільно доступні з книг Google .
- (1855), [On the development of the functions], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (Italian) , 6: 479—480, LCCN 06036680, архів оригіналу за 29 квітня 2016, процитовано 7 липня 2020 . Цілком вільно доступні з книг Google . Добре відомий документ, де Франческо Фаа ді Бруно представляє дві версії формули, яка тепер носить його ім'я, опублікована в журналі, заснованому .
- Faà di Bruno, F. (1857), [On a new formula of differential calculus], (French) , 1: 359—360, архів оригіналу за 2 серпня 2020, процитовано 7 липня 2020 . Цілком вільно доступні з книг Google .
- Faà di Bruno, Francesco (1859), [General elimination theory] (French) , Paris: Leiber et Faraguet, с. x+224, архів оригіналу за 2 серпня 2020, процитовано 7 липня 2020 . Цілком вільно доступні з книг Google .
- Фландрія, Харлі (2001) "Від Форда до Фаа", Американський математичний щомісячник 108 (6): 558–61 DOI:10.2307/2695713
- Fraenkel, L. E. (1978), Formulae for high derivatives of composite functions, , 83 (2): 159—165, doi:10.1017/S0305004100054402, MR 0486377, Zbl 0388.46032 .
- ; (2002), , Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second), Boston: , с. xiv+205, ISBN , MR 1916029, Zbl 1015.26030, архів оригіналу за 16 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 ; (2002), , Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second), Boston: , с. xiv+205, ISBN , MR 1916029, Zbl 1015.26030, архів оригіналу за 16 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 ; (2002), , Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second), Boston: , с. xiv+205, ISBN , MR 1916029, Zbl 1015.26030, архів оригіналу за 16 липня 2020, процитовано 7 липня 2020
- (2001), , Geometric Differentiation (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. 83—85, ISBN , MR 1871900, Zbl 1013.53001, архів оригіналу за 17 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 (2001), , Geometric Differentiation (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. 83—85, ISBN , MR 1871900, Zbl 1013.53001, архів оригіналу за 17 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 (2001), , Geometric Differentiation (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. 83—85, ISBN , MR 1871900, Zbl 1013.53001, архів оригіналу за 17 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 .
- T. A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1850), [On the derivation of functions], , Série 1 (French) , 9: 119—125, архів оригіналу за 10 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 , доступний у NUMDAM [ 17 грудня 2002 у Wayback Machine.] . Цей документ, згідно з Johnson, (2002) є одним із попередників Faà di Bruno, 1855 : зауважте, що автор підписується лише як "ТА", а віднесення до JFC Тібурса Абаді знову належить Джонсону.
- A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1852), [On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.], , Série 1 (French) , 11: 376—383, архів оригіналу за 9 липня 2020, процитовано 7 липня 2020 , доступний у NUMDAM [ 17 грудня 2002 у Wayback Machine.] . Цей документ, згідно з Johnson, (2002) є одним із попередників Faà di Bruno, 1855 : зауважте, що автор підписується лише як "А.", а віднесення до JFC Tiburce Abadie знову належить Джонсону.
Зовнішні посилання
- Weisstein, Eric W. Формула Фаа ді Бруно(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula Faa di Bruno matematichna totozhnist sho uzagalnyuye pravilo lancyuga do vishih pohidnih nazvanih na chest hocha vin ne buv pershim hto zayaviv abo doviv cyu formulu U 1800 roci ponad 50 rokiv do Faa di Bruno francuzkij matematik viklav formulu v pidruchniku z obchislennyam vvazhayuchi pershim opublikovanim posilannya na cyu temu Najvidomisha forma formuli Faa di Bruno viglyadaye yak d n d x n f g x n m 1 1 m 1 m 2 2 m 2 m n n m n f m 1 m n g x j 1 n g j x m j displaystyle d n over dx n f g x sum frac n m 1 1 m 1 m 2 2 m 2 cdots m n n m n cdot f m 1 cdots m n g x cdot prod j 1 n left g j x right m j de suma bizhit po vsim n kortezham nevid yemnih cilih chisel m1 mn sho zadovolnyayut umovi 1 m 1 2 m 2 3 m 3 n m n n displaystyle 1 cdot m 1 2 cdot m 2 3 cdot m 3 cdots n cdot m n n Inodi shob nadati jomu pam yatnu kartinu vona zapisuyetsya tak sho koeficiyenti sho mayut kombinatorne tlumachennya pro yaki jde mova nizhche mensh yavni d n d x n f g x n m 1 m 2 m n f m 1 m n g x j 1 n g j x j m j displaystyle d n over dx n f g x sum frac n m 1 m 2 cdots m n cdot f m 1 cdots m n g x cdot prod j 1 n left frac g j x j right m j Poyednannya dodankiv z odnakovim znachennyam m1 m2 mn k i pomichayuchi sho mj maye dorivnyuvati nulyu dlya j gt n k 1 prizvodit do desho prostishoyi formuli virazhenoyi v terminah mnogochleniv Bella Bn k x1 xn k 1 d n d x n f g x k 1 n f k g x B n k g x g x g n k 1 x displaystyle d n over dx n f g x sum k 1 n f k g x cdot B n k left g x g x dots g n k 1 x right Kombinatorna formaFormula maye kombinatornu formu d n d x n f g x f g n x p P f p g x B p g B x displaystyle d n over dx n f g x f circ g n x sum pi in Pi f left pi right g x cdot prod B in pi g left B right x de p prohodit cherez bezlich P vsih rozbittiv mnozhini 1 n B p oznachaye zminnu B sho prohodit cherez spisok usih blokiv rozbittya p i A poznachaye kardinalnist mnozhini A tak sho p kilkist blokiv u rozdili p a B rozmir bloku B PrikladDali jde konkretne poyasnennya kombinatornoyi formi dlya n 4 vipadku f g x f g x g x 4 6 f g x g x g x 2 3 f g x g x 2 4 f g x g x g x f g x g x displaystyle begin aligned f circ g x amp f g x g x 4 6f g x g x g x 2 8pt amp 3f g x g x 2 4f g x g x g x 8pt amp f g x g x end aligned Shablon g x 4 1 1 1 1 f g x 1 g x g x 2 2 1 1 f g x 6 g x 2 2 2 f g x 3 g x g x 3 1 f g x 4 g x 4 f g x 1 displaystyle begin array cccccc g x 4 amp amp leftrightarrow amp amp 1 1 1 1 amp amp leftrightarrow amp amp f g x amp amp leftrightarrow amp amp 1 12pt g x g x 2 amp amp leftrightarrow amp amp 2 1 1 amp amp leftrightarrow amp amp f g x amp amp leftrightarrow amp amp 6 12pt g x 2 amp amp leftrightarrow amp amp 2 2 amp amp leftrightarrow amp amp f g x amp amp leftrightarrow amp amp 3 12pt g x g x amp amp leftrightarrow amp amp 3 1 amp amp leftrightarrow amp amp f g x amp amp leftrightarrow amp amp 4 12pt g x amp amp leftrightarrow amp amp 4 amp amp leftrightarrow amp amp f g x amp amp leftrightarrow amp amp 1 end array Faktor g x g x 2 displaystyle g x g x 2 vidpovidaye rozbittyu 2 1 1 cilogo chisla 4 ochevidnim chinom Faktor f g x displaystyle f g x sho jde z neyu vidpovidaye tomu sho v comu rozdili ye tri sumi Koeficiyent 6 sho vidpovidaye cim faktoram vidpovidaye tomu sho isnuye rivno shist rozbittiv mnozhini z chotiroh chleniv yaki rozbivayut jogo na odnu chastinu rozmirom 2 ta dvi chastini rozmirom 1 Analogichno faktor g x 2 displaystyle g x 2 u tretomu ryadku vidpovidaye rozdil 2 2 cilogo chisla 4 4 oskilki mi znahodimo chetvertu pohidnu todi yak f g x displaystyle f g x vidpovidaye tomu sho isnuye dvi sumi 2 2 u tomu rozdili Koeficiyent 3 vidpovidaye tomu sho ye 1 2 4 2 3 displaystyle tfrac 1 2 tbinom 4 2 3 sposobi rozpodilu 4 ob yektiv na grupi 2 Ce zh ponyattya stosuyetsya i inshih Shema dlya zapam yatovuvannya D 1 f g 1 f 1 g g 1 1 1 D 2 f g 2 f 1 g g 2 2 1 f 2 g g 1 1 g 1 1 2 D 3 f g 3 f 1 g g 3 3 1 f 2 g g 1 1 1 g 2 2 1 f 3 g g 1 1 g 1 1 g 1 1 3 D 4 f g 4 f 1 g g 4 4 1 f 2 g g 1 1 1 g 3 3 1 g 2 2 g 2 2 2 f 3 g g 1 1 g 1 1 2 g 2 2 1 f 4 g g 1 1 g 1 1 g 1 1 g 1 1 4 displaystyle begin aligned amp frac D 1 f circ g 1 amp left f 1 circ g right frac frac g 1 1 1 8pt amp frac D 2 f circ g 2 amp left f 1 circ g right frac frac g 2 2 1 amp left f 2 circ g right frac frac g 1 1 frac g 1 1 2 8pt amp frac D 3 f circ g 3 amp left f 1 circ g right frac frac g 3 3 1 amp left f 2 circ g right frac frac g 1 1 1 frac frac g 2 2 1 amp left f 3 circ g right frac frac g 1 1 frac g 1 1 frac g 1 1 3 8pt amp frac D 4 f circ g 4 amp left f 1 circ g right frac frac g 4 4 1 amp left f 2 circ g right left frac frac g 1 1 1 frac frac g 3 3 1 frac frac g 2 2 frac g 2 2 2 right amp left f 3 circ g right frac frac g 1 1 frac g 1 1 2 frac frac g 2 2 1 amp left f 4 circ g right frac frac g 1 1 frac g 1 1 frac g 1 1 frac g 1 1 4 end aligned Kombinatorika koeficiyentiv Faa di BrunoCi koeficiyenti Faa di Bruno dlya rozbittiv mayut zamknenu formu Kilkist robittiv mnozhini rozmirom n sho vidpovidaye rozbittyu chisla n 1 1 m 1 2 2 m 2 3 3 m 3 displaystyle displaystyle n underbrace 1 cdots 1 m 1 underbrace 2 cdots 2 m 2 underbrace 3 cdots 3 m 3 cdots cilogo chisla n dorivnyuye n m 1 m 2 m 3 1 m 1 2 m 2 3 m 3 displaystyle frac n m 1 m 2 m 3 cdots 1 m 1 2 m 2 3 m 3 cdots Ci koeficiyenti vinikayut i v polinomah Bella yaki mayut vidnoshennya do doslidzhennya VariaciyiVersiya z bagatma zminnimi Nehaj y g x1 xn Todi vikonuyetsya nastupna identichnist nezalezhno vid togo chi ye vsi n zminnih riznimi abo vsi ye odnakovimi abo zh rozdileni na kilka rozriznenih klasiv nerozriznyuvalnih zminnih yaksho ce zdayetsya neyasnim divis zrozumilij priklad nizhche n x 1 x n f y p P f p y B p B y j B x j displaystyle partial n over partial x 1 cdots partial x n f y sum pi in Pi f left pi right y cdot prod B in pi partial left B right y over prod j in B partial x j de yak vishe p probigaye po vsij mnozhini P vsih rozbittiv mnozhini 1 n B p oznachaye zminnu B sho prohodit cherez spisok usih blokiv rozdilu p i A poznachaye kardinalnist mnozhini A tak sho p kilkist blokiv u rozdili p a B rozmir bloku B Bilsh zagalni versiyi stosuyutsya vipadkiv koli vsi funkciyi mayut znachennya vektornogo ta navit banahovogo prostoru U comu vipadku potribno rozglyanuti pohidnu Freshe abo pohidnu Gato Priklad P yat chleniv u nastupnomu virazi ochevidnim chinom vidpovidayut p yati rozdilam mnozhini 1 2 3 i v kozhnomu vipadku poryadok pohidnoyi f kilkist chastin u rozdili 3 x 1 x 2 x 3 f y f y 3 y x 1 x 2 x 3 f y y x 1 2 y x 2 x 3 y x 2 2 y x 1 x 3 y x 3 2 y x 1 x 2 f y y x 1 y x 2 y x 3 displaystyle begin aligned partial 3 over partial x 1 partial x 2 partial x 3 f y amp f y partial 3 y over partial x 1 partial x 2 partial x 3 10pt amp f y left partial y over partial x 1 cdot partial 2 y over partial x 2 partial x 3 partial y over partial x 2 cdot partial 2 y over partial x 1 partial x 3 partial y over partial x 3 cdot partial 2 y over partial x 1 partial x 2 right 10pt amp f y partial y over partial x 1 cdot partial y over partial x 2 cdot partial y over partial x 3 end aligned Yaksho tri zminni ne vidriznyayutsya odna vid odnoyi to tri z p yati vishezaznachenih dodankiv takozh ne vidriznyayutsya odin vid odnogo i todi mi mayemo klasichnu formulu dlya odniyeyi zminnoyi Oficijna versiya seriyi zhivlennya Pripustimo f x n 0 a n x n displaystyle f x sum n 0 infty a n x n i g x n 0 b n x n displaystyle g x sum n 0 infty b n x n ye formalnimi stepenevimi ryadami ta b 0 0 displaystyle b 0 0 Potim kompoziciya f g displaystyle f circ g znovu formalnij silovij ryad f g x n 0 c n x n displaystyle f g x sum n 0 infty c n x n de c0 a0 a inshij koeficiyent cn dlya n 1 mozhna viraziti u viglyadi sumi za kompoziciyami n abo yak ekvivalentnoyi sumi zarozbittyami n c n i C n a k b i 1 b i 2 b i k displaystyle c n sum mathbf i in mathcal C n a k b i 1 b i 2 cdots b i k de C n i 1 i 2 i k 1 k n i 1 i 2 i k n displaystyle mathcal C n i 1 i 2 dots i k 1 leq k leq n i 1 i 2 cdots i k n nabir kompozicij n z k sho poznachaye kilkist detalej abo c n k 1 n a k p P n k k p 1 p 2 p n b 1 p 1 b 2 p 2 b n p n displaystyle c n sum k 1 n a k sum mathbf pi in mathcal P n k binom k pi 1 pi 2 pi n b 1 pi 1 b 2 pi 2 cdots b n pi n de P n k p 1 p 2 p n p 1 p 2 p n k p 1 1 p 2 2 p n n n displaystyle mathcal P n k pi 1 pi 2 dots pi n pi 1 pi 2 cdots pi n k pi 1 cdot 1 pi 2 cdot 2 cdots pi n cdot n n ce nabir rozdiliv n na k chastin u formi chastoti chastin Persha forma otrimuyetsya viborom koeficiyenta xn v b 1 x b 2 x 2 k displaystyle b 1 x b 2 x 2 cdots k shlyahom oglyadu a druga forma potim otrimuyetsya shlyahom zbirannya podibnih dodankiv abo alternativno shlyahom zastosuvannya multinomialnih koeficiyentiv Osoblivij vipadok f x ex g x n 1 an n xn daye Osoblivij vipadok f x 1 1 x g x n 1 an xn daye viraz dlya obernenogo formalnogo ryadu stepenej n 0 an xn u vipadku a0 1 Stenli nadaye versiyu dlya eksponencialnih silovih ryadiv Dlya formalnogo stepenevogo ryadu f x n a n n x n displaystyle f x sum n frac a n n x n mayemo n pohidnu u 0 f n 0 a n displaystyle f n 0 a n Ce ne slid tlumachiti yak znachennya funkciyi oskilki cej ryad suto formalni u comu konteksti nemaye takogo ponyattya yak zbizhnist chi rozbizhnist g x n 0 b n n x n displaystyle g x sum n 0 infty frac b n n x n i f x n 1 a n n x n displaystyle f x sum n 1 infty frac a n n x n i g f x h x n 0 c n n x n displaystyle g f x h x sum n 0 infty frac c n n x n todi koeficiyent cn sho ye n toyu pohidnoyu vid h vzyata u tochci 0 yaksho mi mayemo spravu z zbizhnimi ryadami a ne formalnimi ryadami potuzhnosti zadayetsya c n p B 1 B k a B 1 a B k b k displaystyle c n sum pi left B 1 ldots B k right a left B 1 right cdots a left B k right b k de p prohodit cherez bezlich usih rozdiliv mnozhini 1 n i B1 Bk bloki rozdilu p ta Bj kilkist chleniv j go bloku dlya j 1 k Cej variant formuli osoblivo dobre pidhodit dlya cilej kombinatoriki Mi takozh mozhemo zapisati vrahovuyuchi navedenni vishe poznachennya g f x b 0 n 1 k 1 n b k B n k a 1 a n k 1 n x n displaystyle g f x b 0 sum n 1 infty frac sum k 1 n b k B n k a 1 ldots a n k 1 n x n de Bn k a 1 an k 1 polinomi Bella Osoblivij vipadok Yaksho f x ex to vsi pohidni f ye odnakovimi i ye faktorom spilnim dlya kozhnogo chlena U vipadku koli g x ye tvirnoyu funkciyeyu kumulyantiv todi f g x ye tvirnoyu funkciyeyu momentiv a mnogochlen u riznih pohidnih g ce mnogochlen yakij virazhaye momenti yak funkciyi Primitki Arbogast 1800 According to Craik 2005 s 120 122 see also the analysis of Arbogast s work by Johnson 2002 Hardy Michael 2006 Electronic Journal of Combinatorics 13 1 R1 Arhiv originalu za 24 lyutogo 2012 Procitovano 7 lipnya 2020 See the compositional formula in Chapter 5 of Stanley Richard P 1999 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55309 4 Arhiv originalu za 5 zhovtnya 2008 Procitovano 7 lipnya 2020 Spisok literaturiIstorichni doslidzhennya ta narisi Brigaglia Aldo 2004 L Opera Matematica u Giacardi Livia red Francesco Faa di Bruno Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione Studi e fonti per la storia dell Universita di Torino Italian t XII Torino Deputazione Subalpina di Storia Patria s 111 172 The mathematical work is an essay on the mathematical activity describing both the research and teaching activity of Francesco Faa di Bruno Craik Alex D D February 2005 Prehistory of Faa di Bruno s Formula American Mathematical Monthly 112 2 217 234 doi 10 2307 30037410 JSTOR 30037410 MR 2121322 Zbl 1088 01008 Johnson Warren P March 2002 PDF American Mathematical Monthly 109 3 217 234 doi 10 2307 2695352 JSTOR 2695352 MR 1903577 Zbl 1024 01010 arhiv originalu PDF za 11 kvitnya 2021 procitovano 7 lipnya 2020 Naukovo doslidni roboti 1800 On the calculus of derivatives French Strasbourg Levrault s xxiii 404 arhiv originalu za 16 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 Povnistyu vilno dostupni z knig Google 1855 On the development of the functions Annali di Scienze Matematiche e Fisiche Italian 6 479 480 LCCN 06036680 arhiv originalu za 29 kvitnya 2016 procitovano 7 lipnya 2020 Cilkom vilno dostupni z knig Google Dobre vidomij dokument de Franchesko Faa di Bruno predstavlyaye dvi versiyi formuli yaka teper nosit jogo im ya opublikovana v zhurnali zasnovanomu Faa di Bruno F 1857 On a new formula of differential calculus French 1 359 360 arhiv originalu za 2 serpnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 Cilkom vilno dostupni z knig Google Faa di Bruno Francesco 1859 General elimination theory French Paris Leiber et Faraguet s x 224 arhiv originalu za 2 serpnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 Cilkom vilno dostupni z knig Google Flandriya Harli 2001 Vid Forda do Faa Amerikanskij matematichnij shomisyachnik 108 6 558 61 DOI 10 2307 2695713 Fraenkel L E 1978 Formulae for high derivatives of composite functions 83 2 159 165 doi 10 1017 S0305004100054402 MR 0486377 Zbl 0388 46032 2002 Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher vid Second Boston s xiv 205 ISBN 978 0 8176 4264 8 MR 1916029 Zbl 1015 26030 arhiv originalu za 16 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 2002 Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher vid Second Boston s xiv 205 ISBN 978 0 8176 4264 8 MR 1916029 Zbl 1015 26030 arhiv originalu za 16 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 2002 Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbucher vid Second Boston s xiv 205 ISBN 978 0 8176 4264 8 MR 1916029 Zbl 1015 26030 arhiv originalu za 16 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 2001 Geometric Differentiation vid Second Cambridge Cambridge University Press s 83 85 ISBN 978 0 521 00264 6 MR 1871900 Zbl 1013 53001 arhiv originalu za 17 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 2001 Geometric Differentiation vid Second Cambridge Cambridge University Press s 83 85 ISBN 978 0 521 00264 6 MR 1871900 Zbl 1013 53001 arhiv originalu za 17 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 2001 Geometric Differentiation vid Second Cambridge Cambridge University Press s 83 85 ISBN 978 0 521 00264 6 MR 1871900 Zbl 1013 53001 arhiv originalu za 17 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 T A Tiburce Abadie J F C 1850 On the derivation of functions Serie 1 French 9 119 125 arhiv originalu za 10 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 dostupnij u NUMDAM 17 grudnya 2002 u Wayback Machine Cej dokument zgidno z Johnson 2002 ye odnim iz poperednikiv Faa di Bruno 1855 zauvazhte sho avtor pidpisuyetsya lishe yak TA a vidnesennya do JFC Tibursa Abadi znovu nalezhit Dzhonsonu A Tiburce Abadie J F C 1852 On the derivation of functions Burmann Lagrange and Wronski series Serie 1 French 11 376 383 arhiv originalu za 9 lipnya 2020 procitovano 7 lipnya 2020 dostupnij u NUMDAM 17 grudnya 2002 u Wayback Machine Cej dokument zgidno z Johnson 2002 ye odnim iz poperednikiv Faa di Bruno 1855 zauvazhte sho avtor pidpisuyetsya lishe yak A a vidnesennya do JFC Tiburce Abadie znovu nalezhit Dzhonsonu Zovnishni posilannyaWeisstein Eric W Formula Faa di Bruno angl na sajti Wolfram MathWorld