Поліноми Белла

У комбінаториці поліноми Белла, що названі на честь , використовуються для вивчення заданих розділів. Вони пов'язані з та Белла. Вони також зустрічаються у багатьох програмах, наприклад у формулі Фаа ді Бруно.

Поліноми Белла

Експоненційні поліноми Белла

Часткові або неповні експоненційні поліноми Белла — це трикутний масив поліномів, заданий

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},}$

де сума береться за всіма послідовностями j₁, j₂, j₃, ..., j_{n — k +1} невід’ємних цілих чисел, таким чином, що б виконувалися наступні дві умови :

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

Сума

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

називається n-м повним експоненційними полінонмоми Белла.

Звичайні поліноми Белла

Так само часткові звичайні поліноми Белла, на відміну від звичайного експоненціального многочлена Белла, визначений вище, задається формулою

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

де сума пробігає всі послідовності j₁, j₂, j₃, ..., j_{n – k +1} невід'ємних цілих чисел, таких що

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

Звичайні поліноми Белла можна виразити в термінах експоненційних поліномів Белла:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

Як правило, під поліномами Белла маються на увазі експоненційні поліноми Белла, якщо не зазначено іншого.

Комбінаторний сенс

Експоненційні поліноми Белла безпосередньо стосується способів розбиття множин. Наприклад, якщо ми розглядаємо множину {A, B, C}, її можна розбити на два непусті, підмножини що не перетинаються, які також називають частинами або блоками, 3 різними способами:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Таким чином, ми можемо закодувати інформацію щодо цих розбиттів як

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

Тут підписники B_3,2 говорять нам, що ми розглядаємо поділ набору з 3-х елементів на 2 блоки. Підрядник кожного x_i вказує на наявність блоку з елементами j (або блоку розміру i) в заданому розділі. Отже, x₂ вказує на наявність блоку з двома елементами. Аналогічно, x₁ вказує на наявність блоку з одним елементом. Експонент x_i^j вказує на те, що в одному розбитті є j таких блоків розміром i. Тут, оскільки і x₁, і x₂ є експонент 1, це вказує, що в даному розділі є лише один такий блок. Коефіцієнт одночлена вказує, скільки таких перегородок є. У нашому випадку є 3 розділи набору з 3 елементами на 2 блоки, де в кожній секції елементи розділені на два блоки розмірами 1 і 2.

Оскільки будь-який набір може бути розділений на один блок лише одним способом, вищезгадане тлумачення означало б, що B_n,1 = x_n. Аналогічно, оскільки існує лише один спосіб поділу множини з n елементами на n одиниць, B_n,n = x₁ⁿ.

Як складніший приклад розглянемо

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

Це говорить нам про те, що якщо набір з 6 елементами розділений на 2 блоки, то ми можемо мати 6 розділів з блоками розміру 1 і 5, 15 розділів з блоками розміру 4 і 2, і 10 розділів з 2 блоками розміром 3.

Сума підписок у монометах дорівнює загальній кількості елементів. Таким чином, кількість одночленів, що з'являються в частковому многочлені Белла, дорівнює кількості способів, що ціле число n може бути виражене як підсумок k додатних цілих чисел. Це і є розбиття числа n на k частин. Наприклад, у вище наведених прикладах ціле число 3 можна розділити на дві частини лише як 2 + 1. Таким чином, у B_3,2 містить лише один одночлен. Однак ціле число 6 можна розділити на дві частини як 5 + 1, 4 + 2 і 3 + 3. Таким чином, B_6,2 містить три одночлени. Дійсно, індекси змінних у мономери такі самі, як ті, які задаються цілим розділом, що вказує на розміри різних блоків. Таким чином, загальна кількість одночленів, що з'являються в повному поліномі Белла B_n, дорівнює загальній кількості розбиттів числа n.

Також ступінь кожного одночлена, що є сумою експонентів кожної змінної в мономі, дорівнює кількості блоків, на які поділяється множина. Тобто j ₁ + j ₂ + ... = k. Таким чином, задавши повний многочлен Белла B _n, ми можемо відокремити частковий многочлен Белла B_n,k, зібравши всі ці мономи зі ступенем k.

Нарешті, якщо знехтувати розмірами блоків і поставити всі x_i = x, то підсумовування коефіцієнтів часткового многочлена Белла B_{n, k} дасть загальну кількість способів розподілу множини з n елементів k блоки, що те саме, що числа Стірлінга другого роду. Крім того, підсумовування всіх коефіцієнтів повного многочлена Белла B_n дасть нам загальну кількість способів поділити набір з п елементами на підмножини, що не перекриваються, що те саме, що і число Белла.

Загалом, якщо ціле число n розбиттів на суму, в якій «1» з'являється j₁ раз, «2» з'являється j₂ рази і так далі, то кількість розбиття множини розміром n, які згортаються до цього розділу цілого числа n, коли члени множини стають невідрізними, — це відповідний коефіцієнт у многочлени.

Приклади

Нехай, ми маємо

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

оскільки є

6 способів розбити множину 6 як 5   +   1,

15 способів розбити множину 6 як 4   +   2, і

10 способів розбити множину 6 як 3   +   3.

Подібно

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

оскільки є

15 способів розбити множину 6 на 4   +   1   +   1,

60 способів розділити множину 6 як 3   +   2   +   1, і

15 способів розбити множину 6 як 2   +   2   +   2.

Властивості

Генератриса

Експоненційні часткові поліноми Белла можна визначити подвійним розкладом у ряд його генератриси:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Інакше кажучи, що є фактично те ж саме, шляхом розкладу у ряд k-го степеню:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

Повні експоненційні поліноми Белла визначається за допомогою ${\displaystyle \Phi (t,1)}$ або інакше:

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Таким чином, n -й повні поліноми Белла задається як

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}$

Так само звичайні часткові поліноми Белла можна визначити твірною функцією

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

Або, що еквівалентно, розкладом у ряд k-ї степеня:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

Дивись також перетворення твірної функції для розкладу у ряд твірної функцій поліномів Белла що є композицією послідовностей твірних функцій та степенів, логаритмів та експоненційної функції, що послідовності твірних функцій. Кожна з цих формул можна знайти у відповідних розділах праці Комтета.

Рекурентні співвідношення

Повні поліноми Белла можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень як

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

з початковим значенням ${\displaystyle B_{0}=1}$ .

Часткові поліноми Белла також можна ефективно обчислені рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{n-i,k-1},}$

де

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

Повні поліноми Белла також задовольняють такій диференціальній рекурентній формулі:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

У формі визначника

Повні поліноми Белла можна виразити у вигляді визначника:

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Числа Стірлінга та Белла

Значення поліномів Белла B_n,k (x₁, x₂, ...) для набору факторіалів дорівнює числу Стірлінга першого роду (без знаку):

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

Поліноми Белла B_{n, k} (x₁, x₂, ...) від набору одиниць дорівнює числам Стірлінга другого роду :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

Сума цих значень дає значення повного полінома Белла від набору одиниць:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

що є n-м числом Белла.

Зворотні співвідношення

Якщо ми визначимо

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

то ми маємо таке зворотне співвідношення

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

Поліноми Тушара

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$ може бути виражена як значення повного многочлена Белла від аргументів, що всі дорівнюють х:

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

Тотожність згортки

Для послідовностей x _n, y _n, n = 1, 2, ..., визначте згортку по:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

Межі підсумовування — 1 і n  — 1, а не 0 і n.

Дозволяти ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$ — n-й член послідовності

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

Тоді

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

Наприклад, давайте обчислити ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$. Ми маємо

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\,\dots )}$

і, таким чином,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

Інші тотожности

• ${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$ що надає число Лаха.
• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$ що повертає ідемпотентне число.
• Повний многочлен Белла задовольняє відношення типу двочлена:

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}).}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots )}$

Це виправляє опущення фактора ${\displaystyle (q!)^{k}}$ у книзі Конта^[4].

• Коли ${\displaystyle 1\leq a<n}$,

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

• Особливі випадки часткових многочленів Белла:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}}$

Приклади

Перші декілька повних многочленів Белла:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

Застосування

Формула Фаа ді Бруно може бути викладена з точки зору поліномів Белла наступним чином:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Аналогічно, версію формули Фаа ді Бруно можна подати з використанням многочленів Белла наступним чином. Припустимо

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

Тоді

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

Зокрема, повні поліноми Белла фігурують у розкладі експоненти формальний степеневий ряд:

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

що також представляє генератису для експоненти повних многочленів Белла на фіксованій послідовності аргументів ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ .

Обернення ряду

Нехай дві функції f і g виражаються у формальних рядах потужностей як

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

такий, що g — композиційна інверсія f, визначена g(f (w)) = w або f (g(z)) = z. Якщо f₀ = 0 і f₁ ≠ 0, то явна форма коефіцієнтів оберненої може бути задана в терміні многочленів Белла як

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

з ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$ і ${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$ — це фактор, що зростає, і ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

Симетричні многочлени

Елементарний симетричний многочлен ${\displaystyle e_{n}}$ і степеневий многочлен суми потужності ${\displaystyle p_{n}}$ можуть бути пов'язані один з одним за допомогою поліномів Белла як:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n}),\\[6pt]p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Ці формули дозволяють виразити коефіцієнти монічних поліноми через поліноми Белла з нульовими аргументами. Наприклад, разом із теоремою Кейлі — Гамільтона вони призводять до вираження детермінантної n × n квадратної матриці A через сліди її потужностей:

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=(-1)^{k-1}(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}$

Індекс циклу симетричних груп

Індекс симетричної групи ${\displaystyle S_{n}}$ можна виразити через повні многочлени Белла так:

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

Поліноми Ерміта

Поліноми Ерміта імовірністів можна виразити через поліноми Белла як

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

де x_i = 0 для всіх i > 2; що передбачає комбінаторну інтерпретацію коефіцієнтів поліномів Ерміта. Це можна побачити, порівнюючи генератрису поліномів Ерміта

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

з поліномами Белла.

Програмне забезпечення

Поліноми Белла реалізовані в:

• Mathematica як BellY [ 20 березня 2014 у Wayback Machine.]
• Maple як IncompleteBellB [ 14 серпня 2020 у Wayback Machine.]
• ^[en] як bell_polynomial [ 9 липня 2020 у Wayback Machine.]

Дивитися також

Примітки

1. Comtet, 1974.
2. Alexeev, Pologova та Alekseyev, 2017, sect. 4.2.
3. Cvijović, Djurdje (September 2011). (PDF). Applied Mathematics Letters. 24 (9): 1544—1547. doi:10.1016/j.aml.2011.03.043. Архів оригіналу (PDF) за 9 березня 2020. Процитовано 5 червня 2020.
4. Comtet, 1974, identity [3l"] on p. 136.
5. Charalambides, 2002, с. 437, Eqn (11.43).

Список літератури