Розв'язна група

В абстрактній алгебрі розв'язні групи  — групи що відіграють вирішальну роль в теорії Галуа. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей груп автоморфізмів тих поліномів, розв'язки яких можуть бути записані у радикалах.

Визначення

Група G називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг підгруп:

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{k}=G}$

такий, що ${\displaystyle \ G_{j-1}}$ є нормальною підгрупою ${\displaystyle \ G_{j}}$ а також факторгрупи ${\displaystyle \ G_{j}/G_{j-1}}$ для ${\displaystyle j=1,2,\dots ,k}$ є абелевими.

Властивості

• Якщо H — нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх прямий добуток (і навіть напівпрямий добуток) розв'язний.
• Всяка підгрупа і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.
• Якщо порядок скінченної групи ділиться лише на два прості числа, то така група розв'язна.

Приклади

• Група невироджених верхніх трикутних матриць є розв'язна.
• Вільна група рангу більше одиниці не є розв'язною.
• Симетрична група ${\displaystyle \ S_{n}}$ є розв'язною тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle n\leq 4}$.

Ланцюги нормальних підгруп ${\displaystyle S_{n}}$:

• ${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle {e}}$${\displaystyle ,\qquad \qquad \qquad (C_{2}=S_{2})}$
• ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle {\overset {3}{\longrightarrow }}{e},\qquad \quad (C_{3}=A_{3})}$
• ${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle {\overset {3}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle V_{4}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}C_{2}{\overset {2}{\longrightarrow }}{e}}$
• ${\displaystyle S_{5}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle {\overset {60}{\longrightarrow }}{e}}$
• ${\displaystyle S_{6}}$${\displaystyle {\overset {2}{\longrightarrow }}}$${\displaystyle A_{6}}$${\displaystyle {\overset {360}{\longrightarrow }}{e}}$

Джерела

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)