Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого
Запис
Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:
Тоді за формулою Муавра
одержимо:
Тут — корені з одиниці.
Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:
З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна , і всі вони різні.
Властивості
Геометричні властивості
- Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
- Якщо — корінь з одиниці, то спряжене до нього число — теж корінь з одиниці.
Алгебраїчні властивості
- Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
- Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
- Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент , індекс якого взаємно простий .
- Наслідки:
- елемент завжди є первісним;
- якщо — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім , охоплюють всю групу;
- число первісних коренів рівне , де — функція Ейлера.
- Якщо , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці має місце формула:
Приклади
Кубічні корені з одиниці:
Корені 4-го степеня з одиниці:
Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:
Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:
Див. також
Джерела
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Milne, James S. (1998). . Course Notes. Архів оригіналу за 27 серпня 2010. Процитовано 12 серпня 2010.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Korin n go stepenya z odinici kompleksnij korin mnogochlena x n 1 n 1 displaystyle x n 1 n geqslant 1 Inshimi slovami ce kompleksne chislo x displaystyle x dlya yakogoKoreni p yatogo stepenya z odinici vershini pyatikutnika x n 1 displaystyle x n 1 ZapisPredstavimo odinicyu v trigonometrichnomu viglyadi 1 cos 0 i sin 0 displaystyle 1 cos 0 i sin 0 Todi za formuloyu Muavra cos x i sin x n cos n x i sin n x displaystyle cos x i sin x n cos nx i sin nx oderzhimo u k cos 2 p k n i sin 2 p k n k 0 1 n 1 displaystyle u k cos frac 2 pi k n i sin frac 2 pi k n quad k 0 1 n 1 Tut u k displaystyle u k koreni z odinici Koreni z odinici mozhna takozh zapisati v pokaznikovij formi u k e 2 p k i n k 0 1 n 1 displaystyle u k e frac 2 pi ki n quad k 0 1 n 1 Z cih formul viplivaye sho kilkist koreniv n go stepenya z odinici zavzhdi rivna n displaystyle n i vsi voni rizni VlastivostiGeometrichni vlastivosti Modul kozhnogo korenya rivnij 1 Na kompleksnij ploshini koreni z odinici utvoryuyut vershini pravilnogo mnogokutnika vpisanogo v odinichne kolo Odniyeyu z vershin zavzhdi ye odinicya Yaksho u k displaystyle u k korin z odinici to spryazhene do nogo chislo u k displaystyle overline u k tezh korin z odinici Algebrayichni vlastivosti Koreni z odinici cili algebrayichni chisla Koreni z odinici utvoryuyut abelevu grupu shodo operaciyi mnozhennya Obernenij element dlya kozhnogo elementu ciyeyi grupi rivnij spryazhenomu elementu Zokrema bud yakij cilij stepin korenya z odinici tezh ye korenem z odinici Grupa koreniv z odinici izomorfna aditivnij grupi lishkiv Z n displaystyle mathbb Z n Zvidsi viplivaye sho vona ye ciklichnoyu grupoyu za porodzhuyuchij element grupi mozhe buti vzyatij dovilnij element u k displaystyle u k indeks k displaystyle k yakogo vzayemno prostij n displaystyle n Naslidki element u 1 displaystyle u 1 zavzhdi ye pervisnim yaksho n displaystyle n proste chislo to stepeni bud yakogo korenya okrim 1 displaystyle pm 1 ohoplyuyut vsyu grupu chislo pervisnih koreniv rivne f n displaystyle varphi n de f displaystyle varphi funkciya Ejlera Yaksho n gt 1 displaystyle n gt 1 to dlya sumi stepeniv bud yakogo pervisnogo korenya z odinici u displaystyle u maye misce formula k 0 n 1 u k u n 1 u 1 0 displaystyle sum k 0 n 1 u k frac u n 1 u 1 0 Prikladi Kubichni koreni z odinici Kubichni koreni z odinici 1 1 i 3 2 1 i 3 2 displaystyle left 1 frac 1 i sqrt 3 2 frac 1 i sqrt 3 2 right Koreni 4 go stepenya z odinici 1 i 1 i displaystyle left 1 i 1 i right Dlya koreniv 5 go stepenya ye 4 pervisni elementi e 2 p i k 5 k 1 2 3 4 u 5 1 4 v 5 u 5 8 i u v 1 1 displaystyle left e 2 pi ik over 5 k in 1 2 3 4 right left left frac u sqrt 5 1 4 v sqrt frac 5 u sqrt 5 8 i right u v in 1 1 right Dlya koreniv 6 go stepenya pervisnih elementiv tilki dva 1 i 3 2 1 i 3 2 displaystyle left frac 1 i sqrt 3 2 frac 1 i sqrt 3 2 right Div takozhGrupa Pryufera Ikosiani Krugove pole Mnogochlen podilu kola Suma GaussaDzherelaVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Milne James S 1998 Course Notes Arhiv originalu za 27 serpnya 2010 Procitovano 12 serpnya 2010