У математиці неявна крива — це плоска крива, яка визначається неявним рівнянням стосовно змінних координат x і y. Наприклад, одиничне коло визначається неявним рівнянням . Взагалі кожна неявна крива визначається рівнянням виду
для деякої функції F двох змінних. Отже, неявну криву можна розглядати як множину нулів функції двох змінних. Неявна означає, що у рівнянні не виражено x через y або навпаки.
Якщо є поліномом двох змінних, відповідна крива називається алгебраїчною кривою, і для її вивчення доступні конкретні методи.
Плоскі криві можуть бути представлені в декартових координатах (координати x, y) трьома способами, один з яких є неявним рівнянням, наведеним вище. Графік функції зазвичай описується рівнянням , у якому явно зазначено функціональну форму; це називається явним поданням. Третій спосіб опису кривої — параметричний, де x- та y-координати точок кривої представлені двома функціями x(t), y(t), функціональні форми яких явно вказані і які залежать від деякого параметру
Приклади неявних кривих:
- пряма:
- коло:
- напівкубічна парабола:
- овали Кассіні: (див. рисунок),
- (див. рисунок).
Перші чотири приклади — алгебраїчні криві, але остання не є алгебраїчною. Перші три приклади мають прості параметричні представлення, що не можливо для четвертого і п'ятого прикладів. П'ятий приклад показує можливу складну геометричну структуру неявної кривої.
Теорема про неявну функцію описує умови, за яких рівняння може бути розв'язано неявно для x та/або y — тобто під яким можна написати або і ці рівняння будуть задавати ту саму множину. Ця теорема є фундаментальною для обчислення важливих геометричних властивостей кривої: дотичних, нормалей та кривин. На практиці неявні криві мають суттєвий недолік: їх складно візуалізувати. Але є комп'ютерні програми, які дозволяють зобразити неявну криву. Особливі властивості неявних кривих роблять їх важливими засобами в геометрії та комп'ютерній графіці.
Неявна крива з рівнянням може розглядатися як крива рівня 0 поверхні (див. третій рисунок).
Нахил і кривина
Загалом, неявні криві провалюють [en] (це означає, що деякі значення x пов'язані з більш, ніж одним значенням y) і тому не обов'язково є графіками функцій. Проте теорема про неявну функцію дає умови, за яких неявна крива локально задається графом функції (зокрема, вона не має самоперетину). Якщо визначальні співвідношення досить гладкі, то в таких областях неявні криві мають чітко визначені нахили, дотичні, нормальні вектори і кривину.
Існує кілька можливих способів обчислення цих величин для даної неявної кривої. Одним з методів є використання (неявного диференціювання) для обчислення похідних y відносно x. Для кривої, визначеної неявним рівнянням , похідну можна виразити безпосередньо через часткові похідні . Далі визначаються часткові похідні (для похідної по x), , (для другої похідної по x), (для змішаної похідної другого порядку),
Дотична і нормальний вектор
Точка кривої називається регулярною, якщо перші часткові похідні і в ній одночасно не дорівнюють 0.
Рівняння дотичної в регулярній точці має вигляд
тому кутовий коефіцієнт дотичної, а отже і нахил кривої в цій точці, дорівнює
Якщо в , крива є вертикальною в цій точці, в той час, коли одночасно і , крива не є диференційованою в розглядуваній точці, але замість неї є особлива точка — або касп, або точка, де крива перетинає сама себе.
Нормальний вектор до кривої в точці задається формулою
(тут написано як вектор лінії).
Кривина
Для читабельності формул аргументи опустимо. Кривина у регулярній точці задається формулою
- .
Виведення формул
Теорема про неявну функцію стверджує, що в межах околу точки існує функція така, що . За правилом диференціювання складеної функції похідні функції такі
- і
(аргументи у правій частині другої формули опущені для зручності читання).
Підставимо похідні функції у формули для дотичної та кривини явного рівняння , отримаємо
- (дотична)
- (кривина).
Переваги і недоліки неявних кривих
Недолік
Істотним недоліком неявної кривої є відсутність простої можливості обчислення окремих точок, необхідних для візуалізації неявної кривої.
Переваги
- Неявні представлення полегшують обчислення точок перетину: якщо одна крива представлена неявно, а інша - параметрично, то обчислення точок перетину потребує простої (1-мірної) ітерації Ньютона ( див. Перетин ).
- Неявне представлення дає можливість вибору точок кривої незалежно від знаку. Це може бути корисним, наприклад, для застосування методу помилкової позиції замість ітерацій Ньютона.
- Легко генерувати криві, які майже геометрично подібні до даної неявної кривої просто додавши невелике число: (див. розділ Гладкі апроксимації).
Застосування неявних кривих
У математиці неявні криві відіграють важливу роль як алгебраїчні криві. Крім того, неявні криві використовуються для проектування кривих потрібних геометричних форм. Ось два приклади.
Гладкі апроксимації
Опуклі багатокутники
Гладкої апроксимації опуклого многокутника можна досягнути наступним чином: нехай - рівняння ліній, що містять ребра багатокутника, такі, що для внутрішньої точки багатокутника додатні. Тоді підмножина неявної кривої
з відповідним малим параметром є гладким (диференційованим) наближення багатокутника. Наприклад, криві
- для
містять гладкі наближення багатокутника з 5 ребрами (див. рисунок).
Пари ліній
У випадку двох ліній
отримуємо
- рівняння паралельних ліній , якщо задані лінії є паралельними або
- рівняння гіпербол, які мають задані лінії як асимптоти.
Наприклад, добуток координат осей дає рівняння гіпербол , для яких осі координат є асимптотами.
Інше
Якщо починати з простих неявних кривих, відмінних від ліній (кола, параболи, ...), то отримуємо широкий спектр нових цікавих кривих. Наприклад,
(добуток кола і осі x) дає гладкі наближення однієї половини кола (див. рисунок), і
(добуток двох кіл) дає гладкі наближення перетину двох кіл (див. рисунок).
Криві змішування
У САПР використовуються неявні криві для генерації кривих змішування ,які є спеціальними кривими, що встановлюють гладкий перехід між двома заданими кривими. Наприклад,
генерує криві змішування між двома колами
Метод гарантує неперервність дотичних та кривих у точках контакту (див. рисунок). Дві лінії
визначають точки дотику кіл. Параметр є конструктивним параметром. На рисунку .
Еквіпотенціальні криві двох точкових зарядів
Еквіпотенціальні криві двох рівних точкових зарядів у точках може бути представлена рівнянням
Криві подібні до овалів Cassini, але вони не є такими кривими.
Візуалізація неявної кривої
Для візуалізації неявної кривої зазвичай визначається область на кривій і відображається та ж область. Для параметричної кривої це непросте завдання: просто обчислюються точки послідовності параметричних значень. Для неявної кривої необхідно вирішити дві підзадачі:
- визначення першої точки кривої відповідно до заданої початкової точки в околі кривої,
- визначення точки кривої, починаючи з відомої точки кривої.
В обох випадках доцільно припустити . На практиці це припущення порушується лише в окремих ізольованих точках.
Алгоритм точки (точковий алгоритм)
Для вирішення обох вищезазначених завдань необхідно мати комп'ютерну програму (яку ми назвемо ), яка, коли дана точка поблизу неявної кривої, знаходить точку на кривій:
- (P1) для початкової точки
- (P2) , повтор
-
- ( Крок Ньютона для функції
-
- (P3) поки відстані між точками досить малі.
- (P4) - точка кривої поблизу початкової точки .
Алгоритм трасування
Для того, щоб генерувати майже однаково рознесений полігон на неявній кривій, вибирається довжина кроку і
- (T1) вибирається відповідна початкова точка поблизу кривої
- (T2) визначається перша точка кривої за допомогою програми
- (T3) визначається напрямляючий вектор, вибирається початкова точка дотичної з використанням довжини кроку (див. малюнок) і визначається друга точка кривої за допомогою програми .
Оскільки алгоритм трасує неявну криву, він називається алгоритмом трасування. Алгоритм простежує лише зв'язані частини кривої. Якщо неявна крива складається з декількох частин, алгоритм потрібно запускати кілька разів з відповідними вихідними точками.
Растровий алгоритм
Якщо неявна крива складається з декількох або навіть невідомих частин, краще використовувати алгоритм растеризації. Замість того, щоб точно слідувати за кривою, алгоритм растру охоплює всю криву на стільки точок, що вони змішуються і виглядають як крива.
- (R1) Створіть мережу точок (растру) на ділянці площини xy.
- (R2) Для кожної точки у растрі запустіть алгоритм точки починаючи з P, позначте його вихід.
Якщо мережа достатньо щільна, результат наближається до з'єднаних частин неявної кривої.
Неявні криві у просторі
Будь-яка просторова крива, яка визначається двома рівняннями
називається неявною кривою у просторі.
Точка кривої називається регулярною, якщо векторний добуток градієнтів і не для неї:
інакше вона називається сингулярною. Вектор називають дотичним вектором кривої в точці
Приклади:
- - пряма.
- - плоский розріз сфери, отже, коло.
- - еліпс (плоский переріз циліндра).
- - крива перетину сфери та циліндра.
Для обчислення точок кривих і візуалізації неявних просторових кривих див Перетин.
Список літератури
- Goldman, R. (2005). Curvature formulas for implicit curves and surfaces. Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
- C. Hoffmann & J. Hopcroft: Метод потенціалу для змішування поверхонь і кутів у G. Farin (Ed) Geometric-Modeling , SIAM, Philadelphia, pp. 347-365
- E. Hartmann: Змішування неявних поверхонь з функціональними сплайнами , CAD, Butterworth-Heinemann, том 22 (8), 1990, p. 500-507
- Г. Таубін: Дистанційні апроксимації растрових неявних кривих. ACM Transactions on Graphics, Vol. 13, №1, 1994.
- Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London,
- C:L: Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch: Tracing surface intersections, Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), 285-307.
- Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN [ 30 жовтня 2017 у Wayback Machine.]
Зовнішні посилання
- Відомі криві [ 13 квітня 2006 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici neyavna kriva ce ploska kriva yaka viznachayetsya neyavnim rivnyannyam stosovno zminnih koordinat x i y Napriklad odinichne kolo viznachayetsya neyavnim rivnyannyam x2 y2 1 displaystyle x 2 y 2 1 Vzagali kozhna neyavna kriva viznachayetsya rivnyannyam viduOvali Kassini 1 a 1 1 s 1 vishe 2 a c 1 po centru 3 a 1 s 1 05 nizhche Neyavna kriva sin x y cos xy 1 0 displaystyle sin x y cos xy 1 0 Neyavna kriva sin x y cos xy 1 0 displaystyle sin x y cos xy 1 0 yak kriva rivnya na poverhni z sin x y cos xy 1 displaystyle z sin x y cos xy 1 F x y 0 displaystyle F x y 0 dlya deyakoyi funkciyi F dvoh zminnih Otzhe neyavnu krivu mozhna rozglyadati yak mnozhinu nuliv funkciyi dvoh zminnih Neyavna oznachaye sho u rivnyanni ne virazheno x cherez y abo navpaki Yaksho F x y displaystyle F x y ye polinomom dvoh zminnih vidpovidna kriva nazivayetsya algebrayichnoyu krivoyu i dlya yiyi vivchennya dostupni konkretni metodi Ploski krivi mozhut buti predstavleni v dekartovih koordinatah koordinati x y troma sposobami odin z yakih ye neyavnim rivnyannyam navedenim vishe Grafik funkciyi zazvichaj opisuyetsya rivnyannyam y f x displaystyle y f x u yakomu yavno zaznacheno funkcionalnu formu ce nazivayetsya yavnim podannyam Tretij sposib opisu krivoyi parametrichnij de x ta y koordinati tochok krivoyi predstavleni dvoma funkciyami x t y t funkcionalni formi yakih yavno vkazani i yaki zalezhat vid deyakogo parametru t displaystyle t Prikladi neyavnih krivih pryama x 2y 3 0 displaystyle x 2y 3 0 kolo x2 y2 4 0 displaystyle x 2 y 2 4 0 napivkubichna parabola x3 y2 0 displaystyle x 3 y 2 0 ovali Kassini x2 y2 2 2c2 x2 y2 a4 c4 0 displaystyle x 2 y 2 2 2c 2 x 2 y 2 a 4 c 4 0 div risunok sin x y cos xy 1 0 displaystyle sin x y cos xy 1 0 div risunok Pershi chotiri prikladi algebrayichni krivi ale ostannya ne ye algebrayichnoyu Pershi tri prikladi mayut prosti parametrichni predstavlennya sho ne mozhlivo dlya chetvertogo i p yatogo prikladiv P yatij priklad pokazuye mozhlivu skladnu geometrichnu strukturu neyavnoyi krivoyi Teorema pro neyavnu funkciyu opisuye umovi za yakih rivnyannya F x y 0 displaystyle F x y 0 mozhe buti rozv yazano neyavno dlya x ta abo y tobto pid yakim mozhna napisati x g y displaystyle x g y abo y f x displaystyle y f x i ci rivnyannya budut zadavati tu samu mnozhinu Cya teorema ye fundamentalnoyu dlya obchislennya vazhlivih geometrichnih vlastivostej krivoyi dotichnih normalej ta krivin Na praktici neyavni krivi mayut suttyevij nedolik yih skladno vizualizuvati Ale ye komp yuterni programi yaki dozvolyayut zobraziti neyavnu krivu Osoblivi vlastivosti neyavnih krivih roblyat yih vazhlivimi zasobami v geometriyi ta komp yuternij grafici Neyavna kriva z rivnyannyam F x y 0 displaystyle F x y 0 mozhe rozglyadatisya yak kriva rivnya 0 poverhni z F x y displaystyle z F x y div tretij risunok Nahil i krivinaZagalom neyavni krivi provalyuyut en ce oznachaye sho deyaki znachennya x pov yazani z bilsh nizh odnim znachennyam y i tomu ne obov yazkovo ye grafikami funkcij Prote teorema pro neyavnu funkciyu daye umovi za yakih neyavna kriva lokalno zadayetsya grafom funkciyi zokrema vona ne maye samoperetinu Yaksho viznachalni spivvidnoshennya dosit gladki to v takih oblastyah neyavni krivi mayut chitko viznacheni nahili dotichni normalni vektori i krivinu Isnuye kilka mozhlivih sposobiv obchislennya cih velichin dlya danoyi neyavnoyi krivoyi Odnim z metodiv ye vikoristannya neyavnogo diferenciyuvannya dlya obchislennya pohidnih y vidnosno x Dlya krivoyi viznachenoyi neyavnim rivnyannyam F x y 0 displaystyle F x y 0 pohidnu mozhna viraziti bezposeredno cherez chastkovi pohidni F displaystyle F Dali viznachayutsya chastkovi pohidni Fx displaystyle F x dlya pohidnoyi po x Fy displaystyle F y Fxx displaystyle F xx dlya drugoyi pohidnoyi po x Fxy displaystyle F xy dlya zmishanoyi pohidnoyi drugogo poryadku Fyy displaystyle F yy Dotichna i normalnij vektor Tochka krivoyi x0 y0 displaystyle x 0 y 0 nazivayetsya regulyarnoyu yaksho pershi chastkovi pohidni Fx x0 y0 displaystyle F x x 0 y 0 i Fy x0 y0 displaystyle F y x 0 y 0 v nij odnochasno ne dorivnyuyut 0 Rivnyannya dotichnoyi v regulyarnij tochci x0 y0 displaystyle x 0 y 0 maye viglyad Fx x0 y0 x x0 Fy x0 y0 y y0 0 displaystyle F x x 0 y 0 x x 0 F y x 0 y 0 y y 0 0 tomu kutovij koeficiyent dotichnoyi a otzhe i nahil krivoyi v cij tochci dorivnyuye kut Fx x0 y0 Fy x0 y0 displaystyle text kut frac F x x 0 y 0 F y x 0 y 0 Yaksho Fy x y 0 Fx x y displaystyle F y x y 0 neq F x x y v x0 y0 displaystyle x 0 y 0 kriva ye vertikalnoyu v cij tochci v toj chas koli odnochasno Fy x y 0 displaystyle F y x y 0 i Fx x y 0 displaystyle F x x y 0 kriva ne ye diferencijovanoyu v rozglyaduvanij tochci ale zamist neyi ye osobliva tochka abo kasp abo tochka de kriva peretinaye sama sebe Normalnij vektor do krivoyi v tochci zadayetsya formuloyu n x0 y0 Fx x0 y0 Fy x0 y0 displaystyle mathbf n x 0 y 0 F x x 0 y 0 F y x 0 y 0 tut napisano yak vektor liniyi Krivina Dlya chitabelnosti formul argumenti x0 y0 displaystyle x 0 y 0 opustimo Krivina k displaystyle kappa u regulyarnij tochci zadayetsya formuloyu k Fy2Fxx 2FxFyFxy Fx2Fyy Fx2 Fy2 3 2 displaystyle kappa frac F y 2 F xx 2F x F y F xy F x 2 F yy F x 2 F y 2 3 2 Vivedennya formul Teorema pro neyavnu funkciyu stverdzhuye sho v mezhah okolu tochki x0 y0 displaystyle x 0 y 0 isnuye funkciya f displaystyle f taka sho F x f x 0 displaystyle F x f x 0 Za pravilom diferenciyuvannya skladenoyi funkciyi pohidni funkciyi f displaystyle f taki f x Fx x f x Fy x f x displaystyle f x frac F x x f x F y x f x i f x Fy2Fxx 2FxFyFxy Fx2FyyFy3 displaystyle f x frac F y 2 F xx 2F x F y F xy F x 2 F yy F y 3 argumenti x f x displaystyle x f x u pravij chastini drugoyi formuli opusheni dlya zruchnosti chitannya Pidstavimo pohidni funkciyi f displaystyle f u formuli dlya dotichnoyi ta krivini yavnogo rivnyannya y f x displaystyle y f x otrimayemo y f x0 f x0 x x0 displaystyle y f x 0 f x 0 x x 0 dotichna k x0 f x0 1 f x0 2 3 2 displaystyle kappa x 0 frac f x 0 1 f x 0 2 3 2 krivina Perevagi i nedoliki neyavnih krivihNedolik Istotnim nedolikom neyavnoyi krivoyi ye vidsutnist prostoyi mozhlivosti obchislennya okremih tochok neobhidnih dlya vizualizaciyi neyavnoyi krivoyi Perevagi Neyavni predstavlennya polegshuyut obchislennya tochok peretinu yaksho odna kriva predstavlena neyavno a insha parametrichno to obchislennya tochok peretinu potrebuye prostoyi 1 mirnoyi iteraciyi Nyutona div Peretin Neyavne predstavlennya F x y 0 displaystyle F x y 0 daye mozhlivist viboru tochok krivoyi F x y displaystyle F x y nezalezhno vid znaku Ce mozhe buti korisnim napriklad dlya zastosuvannya metodu pomilkovoyi poziciyi zamist iteracij Nyutona Legko generuvati krivi yaki majzhe geometrichno podibni do danoyi neyavnoyi krivoyi F x y 0 displaystyle F x y 0 prosto dodavshi nevelike chislo F x y c 0 displaystyle F x y c 0 div rozdil Gladki aproksimaciyi Zastosuvannya neyavnih krivihGladka aproksimaciya opuklogo bagatokutnikaGladka aproksimaciya 1 odna polovina kola 2 peretin dvoh kil U matematici neyavni krivi vidigrayut vazhlivu rol yak algebrayichni krivi Krim togo neyavni krivi vikoristovuyutsya dlya proektuvannya krivih potribnih geometrichnih form Os dva prikladi Gladki aproksimaciyi Opukli bagatokutniki Gladkoyi aproksimaciyi opuklogo mnogokutnika mozhna dosyagnuti nastupnim chinom nehaj gi x y aix biy ci 0 i 1 n displaystyle g i x y a i x b i y c i 0 i 1 dotsc n rivnyannya linij sho mistyat rebra bagatokutnika taki sho dlya vnutrishnoyi tochki bagatokutnika gi displaystyle g i dodatni Todi pidmnozhina neyavnoyi krivoyi F x y g1 x y gn x y c 0 displaystyle F x y g 1 x y cdots g n x y c 0 z vidpovidnim malim parametrom c displaystyle c ye gladkim diferencijovanim nablizhennya bagatokutnika Napriklad krivi F x y x 1 x 1 y x y 2 x y 2 c 0 displaystyle F x y x 1 x 1 y x y 2 x y 2 c 0 dlya c 0 03 0 6 displaystyle c 0 03 dotsc 0 6 mistyat gladki nablizhennya bagatokutnika z 5 rebrami div risunok Pari linij U vipadku dvoh linij F x y g1 x y g2 x y c 0 displaystyle F x y g 1 x y g 2 x y c 0 otrimuyemo rivnyannya paralelnih linij yaksho zadani liniyi ye paralelnimi abo rivnyannya giperbol yaki mayut zadani liniyi yak asimptoti Napriklad dobutok koordinat osej daye rivnyannya giperbol xy c 0 c 0 displaystyle xy c 0 c neq 0 dlya yakih osi koordinat ye asimptotami Inshe Yaksho pochinati z prostih neyavnih krivih vidminnih vid linij kola paraboli to otrimuyemo shirokij spektr novih cikavih krivih Napriklad F x y y x2 y2 1 c 0 displaystyle F x y y x 2 y 2 1 c 0 dobutok kola i osi x daye gladki nablizhennya odniyeyi polovini kola div risunok i F x y x2 y 1 2 4 x2 y 1 2 4 c 0 displaystyle F x y x 2 y 1 2 4 x 2 y 1 2 4 c 0 dobutok dvoh kil daye gladki nablizhennya peretinu dvoh kil div risunok Krivi zmishuvannya Zmishana kriva chervona z dvoh kil U SAPR vikoristovuyutsya neyavni krivi dlya generaciyi krivih zmishuvannya yaki ye specialnimi krivimi sho vstanovlyuyut gladkij perehid mizh dvoma zadanimi krivimi Napriklad F x y 1 m f1f2 m g1g2 3 0 displaystyle F x y 1 mu f 1 f 2 mu g 1 g 2 3 0 generuye krivi zmishuvannya mizh dvoma kolami f1 x y x x1 2 y2 r12 0 displaystyle f 1 x y x x 1 2 y 2 r 1 2 0 f2 x y x x2 2 y2 r22 0 displaystyle f 2 x y x x 2 2 y 2 r 2 2 0 Metod garantuye neperervnist dotichnih ta krivih u tochkah kontaktu div risunok Dvi liniyi g1 x y x x1 0 g2 x y x x2 0 displaystyle g 1 x y x x 1 0 g 2 x y x x 2 0 viznachayut tochki dotiku kil Parametr m displaystyle mu ye konstruktivnim parametrom Na risunku m 0 05 0 2 displaystyle mu 0 05 dotsc 0 2 Ekvipotencialni krivi dvoh tochkovih zaryadiv Ekvipotencialni krivi dvoh tochkovih zaryadiv u sinih tochkah Ekvipotencialni krivi dvoh rivnih tochkovih zaryadiv u tochkah P1 1 0 P2 1 0 displaystyle P 1 1 0 P 2 1 0 mozhe buti predstavlena rivnyannyam f x y 1 PP1 1 PP2 c displaystyle f x y frac 1 PP 1 frac 1 PP 2 c 1 x 1 2 y2 1 x 1 2 y2 c 0 displaystyle frac 1 sqrt x 1 2 y 2 frac 1 sqrt x 1 2 y 2 c 0 dd dd Krivi podibni do ovaliv Cassini ale voni ne ye takimi krivimi Vizualizaciya neyavnoyi krivoyiDlya vizualizaciyi neyavnoyi krivoyi zazvichaj viznachayetsya oblast na krivij i vidobrazhayetsya ta zh oblast Dlya parametrichnoyi krivoyi ce neproste zavdannya prosto obchislyuyutsya tochki poslidovnosti parametrichnih znachen Dlya neyavnoyi krivoyi neobhidno virishiti dvi pidzadachi viznachennya pershoyi tochki krivoyi vidpovidno do zadanoyi pochatkovoyi tochki v okoli krivoyi viznachennya tochki krivoyi pochinayuchi z vidomoyi tochki krivoyi V oboh vipadkah docilno pripustiti grad F 0 0 displaystyle operatorname grad F neq 0 0 Na praktici ce pripushennya porushuyetsya lishe v okremih izolovanih tochkah Algoritm tochki tochkovij algoritm Dlya virishennya oboh vishezaznachenih zavdan neobhidno mati komp yuternu programu yaku mi nazvemo CPoint displaystyle mathsf CPoint yaka koli dana tochka Q0 x0 y0 displaystyle Q 0 x 0 y 0 poblizu neyavnoyi krivoyi znahodit tochku P displaystyle P na krivij P1 dlya pochatkovoyi tochki j 0 displaystyle j 0 P2 povtor xj 1 yj 1 xj yj F xj yj Fx xj yj 2 Fy xj yj 2 Fx xj yj Fy xj yj displaystyle x j 1 y j 1 x j y j frac F x j y j F x x j y j 2 F y x j y j 2 left F x x j y j F y x j y j right Krok Nyutona dlya funkciyi g t F xj tFx xj yj yj tFy xj yj displaystyle g t F left x j tF x x j y j y j tF y x j y j right dd dd P3 poki vidstani mizh tochkami xj 1 yj 1 xj yj displaystyle x j 1 y j 1 x j y j dosit mali P4 P xj 1 yj 1 displaystyle P x j 1 y j 1 tochka krivoyi poblizu pochatkovoyi tochki Q0 displaystyle Q 0 Algoritm trasuvannya do algoritmu trasuvannya pochatkovi tochki zeleni Dlya togo shob generuvati majzhe odnakovo roznesenij poligon na neyavnij krivij vibirayetsya dovzhina kroku s displaystyle s i T1 vibirayetsya vidpovidna pochatkova tochka poblizu krivoyi T2 viznachayetsya persha tochka krivoyi P1 displaystyle P 1 za dopomogoyu programi CPoint displaystyle mathsf CPoint T3 viznachayetsya napryamlyayuchij vektor vibirayetsya pochatkova tochka dotichnoyi z vikoristannyam dovzhini kroku s displaystyle s div malyunok i viznachayetsya druga tochka krivoyi P2 displaystyle P 2 za dopomogoyu programi CPoint displaystyle mathsf CPoint displaystyle cdots Oskilki algoritm trasuye neyavnu krivu vin nazivayetsya algoritmom trasuvannya Algoritm prostezhuye lishe zv yazani chastini krivoyi Yaksho neyavna kriva skladayetsya z dekilkoh chastin algoritm potribno zapuskati kilka raziv z vidpovidnimi vihidnimi tochkami Priklad Ilyustraciya algoritmu rastru zastosovanogo do neyavnoyi krivoyi F x y 3x2 y2 2y2 x2 y2 4 0 displaystyle F x y 3x 2 y 2 2 y 2 x 2 y 2 4 0 Kriva chervona ce te sho algoritm namagayetsya namalyuvati Rastrovi tochki chorni vikoristovuyutsya yak pochatkovi tochki dlya poshuku najblizhchih tochok na krivij chervoni kola Vidstan mizh kozhnoyu rastrovoyu tochkoyu perebilshuyetsya shob pokazati okremi tochki krivoyi shob bilsh tochno vidstezhiti krivu bude vikoristano bilshe rastrovih tochok Rastrovij algoritm Yaksho neyavna kriva skladayetsya z dekilkoh abo navit nevidomih chastin krashe vikoristovuvati algoritm rasterizaciyi Zamist togo shob tochno sliduvati za krivoyu algoritm rastru ohoplyuye vsyu krivu na stilki tochok sho voni zmishuyutsya i viglyadayut yak kriva R1 Stvorit merezhu tochok rastru na dilyanci ploshini xy R2 Dlya kozhnoyi tochki P displaystyle P u rastri zapustit algoritm tochki CPoint displaystyle mathsf CPoint pochinayuchi z P poznachte jogo vihid Yaksho merezha dostatno shilna rezultat nablizhayetsya do z yednanih chastin neyavnoyi krivoyi Neyavni krivi u prostoriBud yaka prostorova kriva yaka viznachayetsya dvoma rivnyannyami F x y z 0 G x y z 0 displaystyle begin matrix F x y z 0 G x y z 0 end matrix nazivayetsya neyavnoyu krivoyu u prostori Tochka krivoyi x0 y0 z0 displaystyle x 0 y 0 z 0 nazivayetsya regulyarnoyu yaksho vektornij dobutok gradiyentiv F displaystyle F i G displaystyle G ne 0 0 0 displaystyle 0 0 0 dlya neyi t x0 y0 z0 grad F x0 y0 z0 grad G x0 y0 z0 0 0 0 displaystyle mathbf t x 0 y 0 z 0 operatorname grad F x 0 y 0 z 0 times operatorname grad G x 0 y 0 z 0 neq 0 0 0 inakshe vona nazivayetsya singulyarnoyu Vektor t x0 y0 z0 displaystyle mathbf t x 0 y 0 z 0 nazivayut dotichnim vektorom krivoyi v tochci x0 y0 z0 displaystyle x 0 y 0 z 0 Kriva peretinu sferi z cilindrom Prikladi 1 x y z 1 0 x y z 2 0 displaystyle 1 quad x y z 1 0 x y z 2 0 pryama dd 2 x2 y2 z2 4 0 x y z 1 0 displaystyle 2 quad x 2 y 2 z 2 4 0 x y z 1 0 ploskij rozriz sferi otzhe kolo dd 3 x2 y2 1 0 x y z 1 0 displaystyle 3 quad x 2 y 2 1 0 x y z 1 0 elips ploskij pereriz cilindra dd 4 x2 y2 z2 16 0 y y0 2 z2 9 0 displaystyle 4 quad x 2 y 2 z 2 16 0 y y 0 2 z 2 9 0 kriva peretinu sferi ta cilindra dd Dlya obchislennya tochok krivih i vizualizaciyi neyavnih prostorovih krivih div Peretin Spisok literaturiGoldman R 2005 Curvature formulas for implicit curves and surfaces Computer Aided Geometric Design 22 7 632 doi 10 1016 j cagd 2005 06 005 C Hoffmann amp J Hopcroft Metod potencialu dlya zmishuvannya poverhon i kutiv u G Farin Ed Geometric Modeling SIAM Philadelphia pp 347 365 E Hartmann Zmishuvannya neyavnih poverhon z funkcionalnimi splajnami CAD Butterworth Heinemann tom 22 8 1990 p 500 507 G Taubin Distancijni aproksimaciyi rastrovih neyavnih krivih ACM Transactions on Graphics Vol 13 1 1994 Gomes A Voiculescu I Jorge J Wyvill B Galbraith C Implicit Curves and Surfaces Mathematics Data Structures and Algorithms 2009 Springer Verlag London ISBN 978 1 84882 405 8 C L Bajaj C M Hoffmann R E Lynch Tracing surface intersections Comp Aided Geom Design 5 1988 285 307 Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN 30 zhovtnya 2017 u Wayback Machine Zovnishni posilannyaVidomi krivi 13 kvitnya 2006 u Wayback Machine