Крива Штейнера

Дельто́їда (крива́ Ште́йнера) — плоска крива четвертого порядку, котра описується фіксованою точкою кола, яке котиться по внутрішній стороні іншого кола, радіус якого утричі більший за радіус першого.

Дельтоїда

Дельтоїда є частковим випадком гіпоциклоїди при відношенні радіусів кіл ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}=3}$.

Історичні дані

Назву крива отримала через подібність за формою з грецькою буквою Δ. Властивості кривої першим вивчав Л. Ейлер в XVIII столітті, а потім Я. Штейнер у XIX.

Рівняння

• Рівняння в прямокутній системі координат:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x+27}$

• Рівняння у параметричній формі:

${\displaystyle {\begin{cases}x=2r\cos {t}+r\cos(2t)\\y=2r\sin {t}-r\sin(2t)\end{cases}}}$, де ${\displaystyle t={\frac {\varphi }{3}}}$ — третина полярного кута.

Властивості

• Довжина кривої ${\displaystyle \textstyle L={\frac {16}{3}}R}$, де ${\displaystyle R}$ — радіус нерухомого кола.
• Площа, що обмежується дельтоїдою, ${\displaystyle \textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}}$.

Див. також

• Астроїда
• Задача про голку
• Круговий трикутник
• Супереліпс

Посилання

• Weisstein, Eric W. Deltoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Deltoïde [ 15 січня 2012 у Wayback Machine.]. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables. (фр.)