В Евклідовій геометрії зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого продовження всіх чотирьох сторін є дотичними до кола поза чотирикутником. Через що також має назву зовні-дотичний чотирикутник.
Коло, яке торкається продовжень сторін чотирикутника, називається зовні-вписаним колом (англ. exscribed circle або скорочено excircle). Його центр Ic лежить на перетині шести бісектрис кутів чотирикутника, а саме: двох бісектрис протилежних внутрішніх кутів (при вершинах А та С на мал.), двох бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника (при вершинах В та D на мал.), та двох бісектрис кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.
Проте чотирикутник має інші вписані ззовні кола (англ. escribed circle), що торкаються ззовні до сторони чотирикутника та продовжень двох суміжних його сторін (ці кола не слід плутати з зовні-вписаним колом чотирикутника). Так, всі опуклі чотирикутники мають чотири вписаних ззовні кола, водночас вони можуть мати щонайбільше одне зовні-вписане коло.
В трикутнику ці два кола тотожні, та мають назву зовнівписане коло трикутника.
Особливі випадки
Всі дельтоїди є зовні описаними чотирикутниками. І одночасно в кожен дельтоїд можна вписати коло.
Паралелограми (до яких належать квадрати, ромби та прямокутники) можна вважати зовні-описаними чотирикутниками з нескінченним радіусом зовні-вписаного кола, так як вони мають властивості зовні-описаних чотирикутників, які описано нижче, але зовні-вписане коло не може бути дотичним до обох пар продовжень протилежних сторін (оскільки вони паралельні).
Опуклі чотирикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію, завжди є зовні описаними чотирикутниками, оскільки вони задовольняють умовам для довжин суміжних сторін, що наведені нижче.
Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним
У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був зовні-описаним.
- Опуклий чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли шість бісектрис кутів чотирикутника є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці.
А саме: дві бісектриси протилежних внутрішніх кутів, дві бісектриси зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника та дві бісектриси кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.
Ця спільна точка є центром зовні-вписаного в чотирикутник кола.
- Теорема Штейнера. Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами AB = a, BC = b, CD = c, AD = d є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли сума двох сусідніх сторін дорівнює сумі двох інших сторін. Це було доведено Якобом Штейнером в 1846 році.
При цьому можливі два випадки:
-
,
(
)
-
або
-
(
)
-
У першому випадку зовні-вписане коло знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах A або C (за межами чотирикутника), а в другому випадку воно знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах B або D.
Поєднуючи рівності (1) та (2), отримаємо умову, що чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли абсолютне значення різниць довжин його протилежних сторін є рівними для двох пар протилежних сторін,
Ці рівності тісно пов'язані з теоремою Піто для описаного чотирикутника, яка стверджує, що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
- Теорема Уркхарта
Якщо в опуклому чотирикутнику ABCD протилежні сторони перетинаються в точках E і F, то,
Висновок зліва направо названо на честь Л. М. Уркхарта (1902—1966), хоча він був доведений задовго до цього Аугустусом Де Морганом у 1841 році.
Даніель Педо назвав цю теорему найелементарнішою теоремою в евклідовій геометрії, оскільки вона стосується лише прямих ліній і відстаней.
Еквівалентність була доведена Моваффаком Хаджа (Mowaffaq Hajja), що робить рівність праворуч ще однією необхідною та достатньою умовою для того, щоб чотирикутник був зовні-описаним.
Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником
Зовні-описаний чотирикутник тісно пов'язаний з описаним чотирикутником, у якого всі сторони дотичні до кола (всередині чотирикутника).
Кілька метричних характеристик описаних чотирикутників (лівий стовпчик у таблиці) мають схожі аналоги для зовні-описаних чотирикутників (середній і правий стовпчики в таблиці). Таким чином, опуклий чотирикутник має вписане коло або зовні-вписане коло поза відповідною вершиною чотирикутника тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з п'яти необхідних і достатніх умов, наведених нижче.
Вписане коло | Зовні-вписане коло поза вершинами A обо C | Зовні-вписане коло поза вершинами B або D |
---|---|---|
В наведених рівностях: Точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD.
- R1, R2, R3,R4 — радіуси кіл, описаних навколо трикутників △ABP, △BCP, △CDP, △DAP;
- h1, h2, h3, h4 — висоти цих трикутників, тобто відстані від точки P до сторін a = AB, b = BC, c = CD, d = DA відповідно;
- p1, p2, та q1, q2, — відстані до точки P від вершин A, С та B, D відповідно;
- x, y, z, w — кути ∠ABD, ∠ADB, ∠BDC, ∠DBC відповідно;
- r1, r2, r3, r4 — радіуси кіл, вписаних ззовні в чотирикутник, які дотикаються ззовні до сторін a, b, c, d відповідно та продовжень двох суміжних сторін чотирикутника.
Пряма Ньютона
Нехай чотирикутник ABCD є описаним, або зовні-описаним. Якщо точки M та N — середини його діагоналей, а точка О — центр вписаного кола (або зовні-вписаного), то точки M, N, O — колінеарні, тобто лежать на одній прямій.
Формули
Площа
Площу зовні-описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:
Ця формула ідентична до формули площі описаного чотирикутника, і таким же чином виводиться з формули Бретшнайдера.
Радіус зовні-вписаного кола
Радіус зовні-вписаного кола чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою: .
де S площа зовні-описаного чотирикутника.
Для зовні-описаного чотирикутника радіус зовні-вписаного кола максимальний, якщо чотирикутник є також і вписаним, тобто для зовні-біцентричного чотирикутника.
Також ці формули показують, що паралелограми (також і ромби, квадрати та прямокутники) мають нескінченний радіус зовні-вписаного кола, позаяк їх протилежні сторони рівні.
Зовні-біцентричний чотирикутник
Якщо зовні-описаний чотирикутник є одночасно і вписаним, тобто має описане коло, то він називається зовні-біцентричним чотирикутником.
Позаяк в цього чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, то:
А отже, його площу можна знайти за формулою:
Ця формула така ж як і для біцентричного чотирикутника.
Якщо x — відстань між центром описаного кола O та центром зовні-вписаного кола Ic , то
де R — радіус описаного кола, а r — радіус зовні-вписаного кола.
Це те ж сама рівність, що і в (теоремі Фусса) для біцентричного чотирикутника. Однак, вирішуючи квадратне рівняння відносно х, потрібно обирати інший корінь, ніж той, що обирається для біцентричного чотирикутника. Таким чином, для зовні-описаного чотирикутника:
З цієї формули випливає, що
це означає, що описане коло і зовні-вписане коло ніколи не можуть перетнутися.
Див. також
Примітки
- Богомольний, Олександр. Pitot Theorem Quadrilaterals. www.cut-the-knot.org (англ.) . Процитовано 3 серпня 2023.
- Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum (2007), "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one" (PDF), т. 12, Mathematical Communications, с. 33—52
- Josefsson, Martin (2012), Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals (PDF), Forum Geometricorum, 12: 63—77, ISSN 1534-1178
- Ф. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, стор. 318.
- Hajja, Mowaffaq (2006), A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry (PDF), Forum Geometricorum, 6: 167—169, ISSN 1534-1178
- Urquhart's Theorem. www.cut-the-knot.org. Процитовано 4 серпня 2023.
- Mhanna, Antoine (2023), TANGO-QUADRILATERALS
Посилання
Extangential Quadrilateral На dynamicmathematicslearning.com
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V Evklidovij geometriyi zovni opisanij chotirikutnik opuklij chotirikutnik u yakogo prodovzhennya vsih chotiroh storin ye dotichnimi do kola poza chotirikutnikom Cherez sho takozh maye nazvu zovni dotichnij chotirikutnik ctor 44 Zovni opisanij chotirikutnik ABCD Zovni vpisane kolo chotirikutnika ABCD Kolo yake torkayetsya prodovzhen storin chotirikutnika nazivayetsya zovni vpisanim kolom angl exscribed circle abo skorocheno excircle Jogo centr Ic lezhit na peretini shesti bisektris kutiv chotirikutnika a same dvoh bisektris protilezhnih vnutrishnih kutiv pri vershinah A ta S na mal dvoh bisektris zovnishnih kutiv pri dvoh inshih vershinah chotirikutnika pri vershinah V ta D na mal ta dvoh bisektris kutiv utvorenih pri peretini pryamih sho mistyat protilezhni storoni chotirikutnika ctor 64 Prote chotirikutnik maye inshi vpisani zzovni kola angl escribed circle sho torkayutsya zzovni do storoni chotirikutnika ta prodovzhen dvoh sumizhnih jogo storin ci kola ne slid plutati z zovni vpisanim kolom chotirikutnika Tak vsi opukli chotirikutniki mayut chotiri vpisanih zzovni kola vodnochas voni mozhut mati shonajbilshe odne zovni vpisane kolo ctor 71 V trikutniku ci dva kola totozhni ta mayut nazvu zovnivpisane kolo trikutnika Osoblivi vipadkiDeltoyid ye odnochasno zovni opisanim ta opisanim chotirikutnikom Vsi deltoyidi ye zovni opisanimi chotirikutnikami I odnochasno v kozhen deltoyid mozhna vpisati kolo Paralelogrami do yakih nalezhat kvadrati rombi ta pryamokutniki mozhna vvazhati zovni opisanimi chotirikutnikami z neskinchennim radiusom zovni vpisanogo kola tak yak voni mayut vlastivosti zovni opisanih chotirikutnikiv yaki opisano nizhche ale zovni vpisane kolo ne mozhe buti dotichnim do oboh par prodovzhen protilezhnih storin oskilki voni paralelni ctor 76 Opukli chotirikutniki dovzhini storin yakih utvoryuyut arifmetichnu progresiyu zavzhdi ye zovni opisanimi chotirikutnikami oskilki voni zadovolnyayut umovam dlya dovzhin sumizhnih storin sho navedeni nizhche Umovi za yakih chotirikutnik ye zovni opisanimU comu rozdili navedeno neobhidni ta dostatni umovi shob chotirikutnik buv zovni opisanim Opuklij chotirikutnik ye zovni opisanim todi j lishe todi koli shist bisektris kutiv chotirikutnika ye konkurentnimi tobto peretinayutsya v odnij tochci A same dvi bisektrisi protilezhnih vnutrishnih kutiv dvi bisektrisi zovnishnih kutiv pri dvoh inshih vershinah chotirikutnika ta dvi bisektrisi kutiv utvorenih pri peretini pryamih sho mistyat protilezhni storoni chotirikutnika Cya spilna tochka ye centrom zovni vpisanogo v chotirikutnik kola Teorema Shtejnera Opuklij chotirikutnik z poslidovnimi storonami AB a BC b CD c AD d ye zovni opisanim todi j lishe todi koli suma dvoh susidnih storin dorivnyuye sumi dvoh inshih storin Ce bulo dovedeno Yakobom Shtejnerom v 1846 roci Pri comu mozhlivi dva vipadki a b c d displaystyle a b c d 1 dd abo a d b c displaystyle a d b c 2 dd U pershomu vipadku zovni vpisane kolo znahoditsya z boku bilshogo z kutiv pri vershinah A abo C za mezhami chotirikutnika a v drugomu vipadku vono znahoditsya z boku bilshogo z kutiv pri vershinah B abo D Poyednuyuchi rivnosti 1 ta 2 otrimayemo umovu sho chotirikutnik ye zovni opisanim todi j lishe todi koli absolyutne znachennya riznic dovzhin jogo protilezhnih storin ye rivnimi dlya dvoh par protilezhnih storin ctor 64 a c b d displaystyle a c b d Ci rivnosti tisno pov yazani z teoremoyu Pito dlya opisanogo chotirikutnika yaka stverdzhuye sho v opisanomu chotirikutniku sumi protilezhnih storin rivni Teorema Urkharta Yaksho v opuklomu chotirikutniku ABCD protilezhni storoni peretinayutsya v tochkah E i F to A B B C A D D C A E E C A F F C displaystyle AB BC AD DC quad Leftrightarrow quad AE EC AF FC Visnovok zliva napravo nazvano na chest L M Urkharta 1902 1966 hocha vin buv dovedenij zadovgo do cogo Augustusom De Morganom u 1841 roci Daniel Pedo nazvav cyu teoremu najelementarnishoyu teoremoyu v evklidovij geometriyi oskilki vona stosuyetsya lishe pryamih linij i vidstanej ctor 167 Ekvivalentnist bula dovedena Movaffakom Hadzha Mowaffaq Hajja sho robit rivnist pravoruch she odniyeyu neobhidnoyu ta dostatnoyu umovoyu dlya togo shob chotirikutnik buv zovni opisanim Porivnyannya vlastivostej zovni opisanogo chotirikutnika z opisanim chotirikutnikomZovni opisanij chotirikutnik tisno pov yazanij z opisanim chotirikutnikom u yakogo vsi storoni dotichni do kola vseredini chotirikutnika Kilka metrichnih harakteristik opisanih chotirikutnikiv livij stovpchik u tablici mayut shozhi analogi dlya zovni opisanih chotirikutnikiv serednij i pravij stovpchiki v tablici Takim chinom opuklij chotirikutnik maye vpisane kolo abo zovni vpisane kolo poza vidpovidnoyu vershinoyu chotirikutnika todi i tilki todi koli vikonuyetsya bud yaka z p yati neobhidnih i dostatnih umov navedenih nizhche Vpisane kolo Zovni vpisane kolo poza vershinami A obo C Zovni vpisane kolo poza vershinami B abo D R 1 R 3 R 2 R 4 displaystyle R 1 R 3 R 2 R 4 R 1 R 2 R 3 R 4 displaystyle R 1 R 2 R 3 R 4 R 1 R 4 R 2 R 3 displaystyle R 1 R 4 R 2 R 3 a p 2 q 2 c p 1 q 1 b p 1 q 2 d q 1 p 2 displaystyle a cdot p 2 cdot q 2 c cdot p 1 cdot q 1 b cdot p 1 cdot q 2 d cdot q 1 cdot p 2 a p 2 q 2 b p 1 q 2 c p 1 q 1 d q 1 p 2 displaystyle a cdot p 2 cdot q 2 b cdot p 1 cdot q 2 c cdot p 1 cdot q 1 d cdot q 1 cdot p 2 a p 2 q 2 d q 1 p 2 b p 1 q 2 c p 1 q 1 displaystyle a cdot p 2 cdot q 2 d cdot q 1 cdot p 2 b cdot p 1 cdot q 2 c cdot p 1 cdot q 1 1 h 1 1 h 3 1 h 2 1 h 4 displaystyle frac 1 h 1 frac 1 h 3 frac 1 h 2 frac 1 h 4 1 h 1 1 h 2 1 h 3 1 h 4 displaystyle frac 1 h 1 frac 1 h 2 frac 1 h 3 frac 1 h 4 1 h 1 1 h 4 1 h 2 1 h 3 displaystyle frac 1 h 1 frac 1 h 4 frac 1 h 2 frac 1 h 3 tan x 2 tan z 2 tan y 2 tan w 2 displaystyle tan frac x 2 cdot tan frac z 2 tan frac y 2 cdot tan frac w 2 tan x 2 tan w 2 tan y 2 tan z 2 displaystyle tan frac x 2 cdot tan frac w 2 tan frac y 2 cdot tan frac z 2 tan x 2 tan y 2 tan z 2 tan w 2 displaystyle tan frac x 2 cdot tan frac y 2 tan frac z 2 cdot tan frac w 2 r 1 r 3 r 2 r 4 displaystyle r 1 cdot r 3 r 2 cdot r 4 r 1 r 2 r 3 r 4 displaystyle r 1 cdot r 2 r 3 cdot r 4 r 1 r 4 r 2 r 3 displaystyle r 1 cdot r 4 r 2 cdot r 3 Elementi zovni opisanogo chotirikutnika V navedenih rivnostyah Tochka P tochka peretinu diagonalej chotirikutnika ABCD R1 R2 R3 R4 radiusi kil opisanih navkolo trikutnikiv ABP BCP CDP DAP h1 h2 h3 h4 visoti cih trikutnikiv tobto vidstani vid tochki P do storin a AB b BC c CD d DA vidpovidno p1 p2 ta q1 q2 vidstani do tochki P vid vershin A S ta B D vidpovidno x y z w kuti ABD ADB BDC DBC vidpovidno r1 r2 r3 r4 radiusi kil vpisanih zzovni v chotirikutnik yaki dotikayutsya zzovni do storin a b c d vidpovidno ta prodovzhen dvoh sumizhnih storin chotirikutnika Pryama Nyutona Nehaj chotirikutnik ABCD ye opisanim abo zovni opisanim Yaksho tochki M ta N seredini jogo diagonalej a tochka O centr vpisanogo kola abo zovni vpisanogo to tochki M N O kolinearni tobto lezhat na odnij pryamij ctor 2 Lemma3FormuliPlosha Ploshu zovni opisanogo chotirikutnika ABCD zi storonami a b c d mozhna znajti za formuloyu S a b c d sin B D 2 displaystyle displaystyle S sqrt abcd sin frac B D 2 Cya formula identichna do formuli ploshi opisanogo chotirikutnika i takim zhe chinom vivoditsya z formuli Bretshnajdera Radius zovni vpisanogo kola Radius zovni vpisanogo kola chotirikutnika ABCD zi storonami a b c d mozhna znajti za formuloyu ctor 76 r S a c S b d displaystyle r frac S a c frac S b d de S plosha zovni opisanogo chotirikutnika Dlya zovni opisanogo chotirikutnika radius zovni vpisanogo kola maksimalnij yaksho chotirikutnik ye takozh i vpisanim tobto dlya zovni bicentrichnogo chotirikutnika Takozh ci formuli pokazuyut sho paralelogrami takozh i rombi kvadrati ta pryamokutniki mayut neskinchennij radius zovni vpisanogo kola pozayak yih protilezhni storoni rivni Zovni bicentrichnij chotirikutnikZovni opisanij chotirikutnik yakij takozh ye vpisanim v kolo Yaksho zovni opisanij chotirikutnik ye odnochasno i vpisanim tobto maye opisane kolo to vin nazivayetsya zovni bicentrichnim chotirikutnikom Pozayak v cogo chotirikutnika suma protilezhnih kutiv dorivnyuye 180 to sin B D 2 sin 90 1 displaystyle sin frac B D 2 sin 90 circ 1 A otzhe jogo ploshu mozhna znajti za formuloyu S a b c d displaystyle displaystyle S sqrt abcd Cya formula taka zh yak i dlya bicentrichnogo chotirikutnika Yaksho x vidstan mizh centrom opisanogo kola O ta centrom zovni vpisanogo kola Ic to 1 R x 2 1 R x 2 1 r 2 displaystyle frac 1 R x 2 frac 1 R x 2 frac 1 r 2 de R radius opisanogo kola a r radius zovni vpisanogo kola Ce te zh sama rivnist sho i v teoremi Fussa dlya bicentrichnogo chotirikutnika Odnak virishuyuchi kvadratne rivnyannya vidnosno h potribno obirati inshij korin nizh toj sho obirayetsya dlya bicentrichnogo chotirikutnika Takim chinom dlya zovni opisanogo chotirikutnika x R 2 r 2 r 4 R 2 r 2 displaystyle x sqrt R 2 r 2 r sqrt 4R 2 r 2 Z ciyeyi formuli viplivaye sho x gt R r displaystyle displaystyle x gt R r ce oznachaye sho opisane kolo i zovni vpisane kolo nikoli ne mozhut peretnutisya Div takozhVpisanij chotirikutnik Opisanij chotirikutnik Bicentrichnij chotirikutnikPrimitkiBogomolnij Oleksandr Pitot Theorem Quadrilaterals www cut the knot org angl Procitovano 3 serpnya 2023 Radic Mirko Kaliman Zoran and Kadum 2007 A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one PDF t 12 Mathematical Communications s 33 52 Josefsson Martin 2012 Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals PDF Forum Geometricorum 12 63 77 ISSN 1534 1178 F G M Exercices de Geometrie Editions Jacques Gabay sixieme edition 1991 stor 318 Hajja Mowaffaq 2006 A Very Short and Simple Proof of The Most Elementary Theorem of Euclidean Geometry PDF Forum Geometricorum 6 167 169 ISSN 1534 1178 Urquhart s Theorem www cut the knot org Procitovano 4 serpnya 2023 Mhanna Antoine 2023 TANGO QUADRILATERALSPosilannyaExtangential Quadrilateral Na dynamicmathematicslearning com