Зовнівписане коло

Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін .

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синім), зовнівписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами ${\displaystyle I_{A}}$, ${\displaystyle I_{B}}$, ${\displaystyle I_{C}}$, які дотикаються до сторін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ відповідно. Радіуси цих кіл позначають ${\displaystyle r_{a}}$, ${\displaystyle r_{b}}$, ${\displaystyle r_{c}}$ відповідно.

Властивості

Ілюстрація доведення властивостей

• Центр ${\displaystyle I_{A}}$ зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута ${\displaystyle \angle A}$ та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$.
• Нехай точки ${\displaystyle T}$ та ${\displaystyle F}$ — точки дотику зовнівписаного кола з центром ${\displaystyle I_{A}}$ до продовжень сторін ${\displaystyle AB}$ та ${\displaystyle AC}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$. Тоді ${\displaystyle AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}}$.

Доведення.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, ${\displaystyle AT=AF}$. За цією ж властивістю маємо, що ${\displaystyle BK=BF}$ та ${\displaystyle CT=CK}$, де ${\displaystyle K}$ — точка дотику цього кола до сторони ${\displaystyle BC}$. Тоді

${\displaystyle AT+AF=AC+CT+AB+BF=AC+CK+AB+BK=AC+AB+BC=a+b+c=P_{ABC}}$. Оскільки ${\displaystyle AT=AF}$, то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто ${\displaystyle AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}}$.

• З попередньої властивості легко випливає, що ${\displaystyle BK=p-c}$ та ${\displaystyle CK=p-b}$.
• ${\displaystyle r_{a}={\frac {S}{p-a}}}$, ${\displaystyle r_{b}={\frac {S}{p-b}}}$, ${\displaystyle r_{c}={\frac {S}{p-c}}}$, де ${\displaystyle S}$ — площа трикутника ${\displaystyle ABC}$, а ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$.

Доведення.Нехай ${\displaystyle K}$ — точка дотику зовнівписаного кола з центром ${\displaystyle I_{A}}$ до сторони ${\displaystyle BC}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$. Тоді ${\displaystyle S_{ABC}=S_{ABI_{A}}+S_{ACI_{A}}-S_{BCI_{A}}={\frac {1}{2}}AB\cdot r_{a}+{\frac {1}{2}}AC\cdot r_{a}-{\frac {1}{2}}BC\cdot r_{a}={\frac {1}{2}}r_{a}(b+c-a)=r_{a}(p-a)}$. Звідси ${\displaystyle r_{a}={\frac {S}{p-a}}}$. Аналогічно можна легко отримати, що ${\displaystyle r_{b}={\frac {S}{p-b}}}$ та ${\displaystyle r_{c}={\frac {S}{p-c}}}$.

• ${\displaystyle S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}}$.

Доведення.

З попередньої властивості маємо, що ${\displaystyle S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)}$. Звідси ${\displaystyle S^{3}=r_{a}r_{b}r_{c}(p-a)(p-b)(p-c)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}S^{2}}{p}}}$ (за формулою Герона), а тому ${\displaystyle S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}}$.

• ${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}$.

Доведення.

З попередньої властивості, ${\displaystyle S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{rp}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{S}}}$, звідки ${\displaystyle S^{2}=rr_{a}r_{b}r_{c}}$, а тому ${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}$.

• ${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}$.

Доведення.

Розпишемо: ${\displaystyle p=3p-2p=3p-(a+b+c)=(p-a)+(p-b)+(p-c)}$. З того, що ${\displaystyle r_{a}={\frac {S}{p-a}}}$ (одна з попередніх властивостей), маємо ${\displaystyle p-a={\frac {S}{r_{a}}}}$. Аналогічно ${\displaystyle p-b={\frac {S}{r_{b}}}}$ та ${\displaystyle p-c={\frac {S}{r_{c}}}}$. Також справедлива формула ${\displaystyle p={\frac {S}{r}}}$, оскільки ${\displaystyle S=rp}$. Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо ${\displaystyle {\frac {S}{r}}={\frac {S}{r_{a}}}+{\frac {S}{r_{b}}}+{\frac {S}{r_{c}}}}$. Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник ${\displaystyle S}$, отримаємо остаточно ${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}$.

• Нехай ${\displaystyle I}$ — центр вписаного кола, ${\displaystyle I_{A}}$ — центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника ${\displaystyle ABC}$ коло ділить відрізок ${\displaystyle II_{A}}$ навпіл. Іншими словами, якщо ${\displaystyle W}$ — точка перетину бісектриси кута ${\displaystyle \angle A}$ та описаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$, то ${\displaystyle IW=WI_{A}}$ (Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).

Див. також

• Вписане коло
• Описане коло
• Бісектриса

Література

• Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. 
• Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.