У теорії ймовірностей та статистиці відосо́блений розпо́діл (англ. marginal distribution) підмножини набору випадкових змінних — це розподіл імовірності змінних, що містяться у цій підмножині. Він дає ймовірності різних значень змінних цієї підмножини без посилання на значення інших змінних. Він контрастує з умовним розподілом, що дає значення ймовірностей в залежності від значень інших змінних.
Термін відосо́блена змі́нна (англ. marginal variable) використовується для позначення змінних у підмножині збережених змінних. В англійській мові ці терміни отримали позначення англ. marginal, оскільки їх знаходили підсумовуванням значень у таблиці вздовж рядків та стовпчиків, і записуванням сум на полях (англ. margin) таблиці. Розподіл відособлених змінних (відособлений розподіл) отримується шляхом відосо́блення (англ. marginalizing) над розподілом змінних, що скасовуються, а про скасовані змінні кажуть, що їх було знеосо́блено (англ. marginalized out).
Контекстом тут є те, що здійснювані теоретичні дослідження або аналіз даних включають ширший набір випадкових змінних, але увага обмежується зменшеним числом тих змінних. У багатьох застосуваннях аналіз може починатися заданим набором випадкових змінних, потім спершу розширювати набір визначенням нових (таких як сума початкових випадкових змінних), і нарешті зменшувати число змінних шляхом зміщення уваги на відособлений розподіл підмножини (такої як сума). Може здійснюватися декілька різних аналізів, кожен з яких працює з різними підмножинами змінних як з відособленими змінними.
Випадок двох змінних
x1 | x2 | x3 | x4 | py(Y)↓ | |
---|---|---|---|---|---|
y1 | 4⁄32 | 2⁄32 | 1⁄32 | 1⁄32 | 8⁄32 |
y2 | 2⁄32 | 4⁄32 | 1⁄32 | 1⁄32 | 8⁄32 |
y3 | 2⁄32 | 2⁄32 | 2⁄32 | 2⁄32 | 8⁄32 |
y4 | 8⁄32 | 0 | 0 | 0 | 8⁄32 |
px(X) → | 16⁄32 | 8⁄32 | 4⁄32 | 4⁄32 | 32⁄32 |
Спільний та відособлені розподіли пари дискретних випадкових змінних X,Y, що мають ненульову взаємну інформацію I(X; Y). Значення спільного розподілу — в квадраті 4×4, а значення відособлених розподілів — вздовж правого та нижнього країв. |
Для заданих двох випадкових змінних X and Y, для яких є відомим їх спільний розподіл, відособленим розподілом X є просто розподіл імовірності X, усередненої за інформацією про Y. Він є розподілом ймовірності X, коли значення Y є невідомим. Він зазвичай обчислюється підсумовуванням або інтегруванням спільного розподілу за Y.
Для дискретних випадкових змінних відособлену функцію маси ймовірності може бути записано як Pr(X = x). Вона є
де Pr(X = x,Y = y) є спільним розподілом X та Y, тоді як Pr(X = x|Y = y) є умовним розподілом X за умови Y. У цьому випадку змінну Y було від-відособлено.
Двовимірні відособлені та спільні ймовірності дискретних випадкових змінних часто зображують у вигляді двобічних таблиць.
Аналогічно, для неперервних випадкових змінних відособлену функцію густини ймовірності може бути записано як pX(x). Вона є
де pX,Y(x,y) дає спільний розподіл X та Y, тоді як pX|Y(x|y) дає умовний розподіл X за умови Y. Знов-таки, змінну Y було від-відособлено.
Зауважте, що відособлену ймовірність завжди може бути записано як математичне сподівання:
Інтуїтивно, відособлена ймовірність X обчислюється шляхом вивчення умовної ймовірності X для певного значення Y, а потім усереднення цієї умовної ймовірності над розподілом усіх значень Y.
Це випливає із визначення математичного сподівання, тобто, у загальному випадку,
Реальний приклад
Припустімо, що обчислюватиметься ймовірність того, що пішохода, який переходить дорогу пішохідним переходом, не зважаючи на сигнал світлофора, зіб'є машина. Нехай H (від англ. hit) буде дискретною випадковою змінною, що набуватиме значень з {Зіб'є, Не зіб'є}. Нехай L (від англ. light) буде дискретною випадковою змінною, що набуватиме значень з {Червоне, Жовте, Зелене}.
Правдоподібно, що H залежатиме від L. Тобто, P(H = Зіб'є) та P(H = Не зіб'є) набуватимуть різних значень в залежності від того, чи L є червоним, жовтим або зеленим. Пішохода, наприклад, набагато ймовірніше буде збито при спробі перейти, коли світло для поперечного руху є зеленим, ніж коли воно є червоним. Іншими словами, для будь-якої заданої можливої пари значень H та L ми мусимо розглянути спільний розподіл ймовірності H та L, щоби знайти ймовірність того, що така пара трапиться разом, якщо пішохід ігнорує сигнал світлофора.
Тим не менш, у спробі розрахувати відособлену ймовірність P(H = Зіб'є), від нас вимагають ймовірність того, що H = Зіб'є в ситуації, в якій ми фактично не знаємо конкретне значення L, і в якій пішохід ігнорує колір світла світлофора. В загальному випадку пішохода може бути збито, якщо світло є червоним, АБО якщо світло є жовтим, АБО якщо світло є зеленим. Тож у цьому випадку відповідь для відособленої ймовірності може бути знайдено підсумовуванням P(H,L) для всіх можливих значень L, із зважуванням кожного значення L ймовірністю того, що воно може трапитися.
Ось таблиця, що показує умовні ймовірності бути збитим, у залежності від стану світлофора. (Зауважте, що стовпчики в цій таблиці мусять давати в сумі 1, оскільки ймовірність бути збитим або не збитим дорівнює 1 не залежно від стану світлофора.)
Умовний розподіл: P(H|L) | |||
---|---|---|---|
L=Червоне | L=Жовте | L=Зелене | |
H=Не зіб'є | 0.99 | 0.9 | 0.2 |
H=Зіб'є | 0.01 | 0.1 | 0.8 |
Щоби знайти спільний розподіл ймовірності, ми потребуємо більше даних. Нехай P(L=Чевоне) = 0.2, P(L=Жовте) = 0.1, and P(L=Зелене) = 0.7. Домножуючи кожного стовпчика умовного розподілу на ймовірність трапляння цього стовпчика, ми знаходимо спільний розподіл імовірності H та L, наведений у центральному блоці 2×3 записів. (Зауважте, що комірки у цьому блоці 2×3 дають в сумі 1.)
Спільний розподіл: P(H,L) | ||||
---|---|---|---|---|
L=Червоне | L=Жовте | L=Зелене | Відособлена ймовірність P(H) | |
H=Не зіб'є | 0.198 | 0.09 | 0.14 | 0.428 |
H=Зіб'є | 0.002 | 0.01 | 0.56 | 0.572 |
Разом | 0.2 | 0.1 | 0.7 | 1 |
Відособлена ймовірність P(H=Зіб'є) є сумою вздовж рядка H=Зіб'є цієї таблиці спільного розподілу, оскільки вона є ймовірністю бути збитим, коли світло є червоним АБО жовтим АБО зеленим. Аналогічно, відособлена ймовірність P(H=Не зіб'є) є сумою рядка H=Не зіб'є. В цьому прикладі ймовірність того, що пішохода буде збито, якщо він не звертає уваги на стан світлофора, становить 0.572.
Багатовимірні розподіли
Формули для багатовимірних розподілів є подібними до наведені вище, з символами X та/або Y, що інтерпретуються як вектори. Зокрема, кожне підсумовування або інтегрування відбуватиметься над усіма змінними, крім тих, що містяться в X.
Див. також
Примітки
- Trumpler та Weaver, 1962, с. 32—33.
Література
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Everitt, B. S. (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press. ISBN . (англ.)
- Trumpler, Robert J.; Weaver, Harold F. (1962). Statistical Astronomy. Dover Publications. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi jmovirnostej ta statistici vidoso blenij rozpo dil angl marginal distribution pidmnozhini naboru vipadkovih zminnih ce rozpodil imovirnosti zminnih sho mistyatsya u cij pidmnozhini Vin daye jmovirnosti riznih znachen zminnih ciyeyi pidmnozhini bez posilannya na znachennya inshih zminnih Vin kontrastuye z umovnim rozpodilom sho daye znachennya jmovirnostej v zalezhnosti vid znachen inshih zminnih Termin vidoso blena zmi nna angl marginal variable vikoristovuyetsya dlya poznachennya zminnih u pidmnozhini zberezhenih zminnih V anglijskij movi ci termini otrimali poznachennya angl marginal oskilki yih znahodili pidsumovuvannyam znachen u tablici vzdovzh ryadkiv ta stovpchikiv i zapisuvannyam sum na polyah angl margin tablici Rozpodil vidosoblenih zminnih vidosoblenij rozpodil otrimuyetsya shlyahom vidoso blennya angl marginalizing nad rozpodilom zminnih sho skasovuyutsya a pro skasovani zminni kazhut sho yih bulo zneoso bleno angl marginalized out Kontekstom tut ye te sho zdijsnyuvani teoretichni doslidzhennya abo analiz danih vklyuchayut shirshij nabir vipadkovih zminnih ale uvaga obmezhuyetsya zmenshenim chislom tih zminnih U bagatoh zastosuvannyah analiz mozhe pochinatisya zadanim naborom vipadkovih zminnih potim spershu rozshiryuvati nabir viznachennyam novih takih yak suma pochatkovih vipadkovih zminnih i nareshti zmenshuvati chislo zminnih shlyahom zmishennya uvagi na vidosoblenij rozpodil pidmnozhini takoyi yak suma Mozhe zdijsnyuvatisya dekilka riznih analiziv kozhen z yakih pracyuye z riznimi pidmnozhinami zminnih yak z vidosoblenimi zminnimi Vipadok dvoh zminnihx1 x2 x3 x4 py Y y1 4 32 2 32 1 32 1 32 8 32 y2 2 32 4 32 1 32 1 32 8 32 y3 2 32 2 32 2 32 2 32 8 32 y4 8 32 0 0 0 8 32 px X 16 32 8 32 4 32 4 32 32 32 Spilnij ta vidosobleni rozpodili pari diskretnih vipadkovih zminnih X Y sho mayut nenulovu vzayemnu informaciyu I X Y Znachennya spilnogo rozpodilu v kvadrati 4 4 a znachennya vidosoblenih rozpodiliv vzdovzh pravogo ta nizhnogo krayiv Dlya zadanih dvoh vipadkovih zminnih X and Y dlya yakih ye vidomim yih spilnij rozpodil vidosoblenim rozpodilom X ye prosto rozpodil imovirnosti X userednenoyi za informaciyeyu pro Y Vin ye rozpodilom jmovirnosti X koli znachennya Y ye nevidomim Vin zazvichaj obchislyuyetsya pidsumovuvannyam abo integruvannyam spilnogo rozpodilu za Y Dlya diskretnih vipadkovih zminnih vidosoblenu funkciyu masi jmovirnosti mozhe buti zapisano yak Pr X x Vona ye Pr X x y Pr X x Y y y Pr X x Y y Pr Y y displaystyle Pr X x sum y Pr X x Y y sum y Pr X x Y y Pr Y y de Pr X x Y y ye spilnim rozpodilom X ta Y todi yak Pr X x Y y ye umovnim rozpodilom X za umovi Y U comu vipadku zminnu Y bulo vid vidosobleno Dvovimirni vidosobleni ta spilni jmovirnosti diskretnih vipadkovih zminnih chasto zobrazhuyut u viglyadi dvobichnih tablic Analogichno dlya neperervnih vipadkovih zminnih vidosoblenu funkciyu gustini jmovirnosti mozhe buti zapisano yak pX x Vona ye p X x y p X Y x y d y y p X Y x y p Y y d y displaystyle p X x int y p X Y x y operatorname d y int y p X Y x y p Y y operatorname d y de pX Y x y daye spilnij rozpodil X ta Y todi yak pX Y x y daye umovnij rozpodil X za umovi Y Znov taki zminnu Y bulo vid vidosobleno Zauvazhte sho vidosoblenu jmovirnist zavzhdi mozhe buti zapisano yak matematichne spodivannya p X x y p X Y x y p Y y d y E Y p X Y x Y displaystyle p X x int y p X Y x y p Y y operatorname d y mathbb E Y p X Y x Y Intuyitivno vidosoblena jmovirnist X obchislyuyetsya shlyahom vivchennya umovnoyi jmovirnosti X dlya pevnogo znachennya Y a potim userednennya ciyeyi umovnoyi jmovirnosti nad rozpodilom usih znachen Y Ce viplivaye iz viznachennya matematichnogo spodivannya tobto u zagalnomu vipadku E Y f Y y f y p Y y d y displaystyle mathbb E Y f Y int y f y p Y y operatorname d y Realnij prikladPripustimo sho obchislyuvatimetsya jmovirnist togo sho pishohoda yakij perehodit dorogu pishohidnim perehodom ne zvazhayuchi na signal svitlofora zib ye mashina Nehaj H vid angl hit bude diskretnoyu vipadkovoyu zminnoyu sho nabuvatime znachen z Zib ye Ne zib ye Nehaj L vid angl light bude diskretnoyu vipadkovoyu zminnoyu sho nabuvatime znachen z Chervone Zhovte Zelene Pravdopodibno sho H zalezhatime vid L Tobto P H Zib ye ta P H Ne zib ye nabuvatimut riznih znachen v zalezhnosti vid togo chi L ye chervonim zhovtim abo zelenim Pishohoda napriklad nabagato jmovirnishe bude zbito pri sprobi perejti koli svitlo dlya poperechnogo ruhu ye zelenim nizh koli vono ye chervonim Inshimi slovami dlya bud yakoyi zadanoyi mozhlivoyi pari znachen H ta L mi musimo rozglyanuti spilnij rozpodil jmovirnosti H ta L shobi znajti jmovirnist togo sho taka para trapitsya razom yaksho pishohid ignoruye signal svitlofora Tim ne mensh u sprobi rozrahuvati vidosoblenu jmovirnist P H Zib ye vid nas vimagayut jmovirnist togo sho H Zib ye v situaciyi v yakij mi faktichno ne znayemo konkretne znachennya L i v yakij pishohid ignoruye kolir svitla svitlofora V zagalnomu vipadku pishohoda mozhe buti zbito yaksho svitlo ye chervonim ABO yaksho svitlo ye zhovtim ABO yaksho svitlo ye zelenim Tozh u comu vipadku vidpovid dlya vidosoblenoyi jmovirnosti mozhe buti znajdeno pidsumovuvannyam P H L dlya vsih mozhlivih znachen L iz zvazhuvannyam kozhnogo znachennya L jmovirnistyu togo sho vono mozhe trapitisya Os tablicya sho pokazuye umovni jmovirnosti buti zbitim u zalezhnosti vid stanu svitlofora Zauvazhte sho stovpchiki v cij tablici musyat davati v sumi 1 oskilki jmovirnist buti zbitim abo ne zbitim dorivnyuye 1 ne zalezhno vid stanu svitlofora Umovnij rozpodil P H L L Chervone L Zhovte L Zelene H Ne zib ye 0 99 0 9 0 2 H Zib ye 0 01 0 1 0 8 Shobi znajti spilnij rozpodil jmovirnosti mi potrebuyemo bilshe danih Nehaj P L Chevone 0 2 P L Zhovte 0 1 and P L Zelene 0 7 Domnozhuyuchi kozhnogo stovpchika umovnogo rozpodilu na jmovirnist traplyannya cogo stovpchika mi znahodimo spilnij rozpodil imovirnosti H ta L navedenij u centralnomu bloci 2 3 zapisiv Zauvazhte sho komirki u comu bloci 2 3 dayut v sumi 1 Spilnij rozpodil P H L L Chervone L Zhovte L Zelene Vidosoblena jmovirnist P H H Ne zib ye 0 198 0 09 0 14 0 428 H Zib ye 0 002 0 01 0 56 0 572 Razom 0 2 0 1 0 7 1 Vidosoblena jmovirnist P H Zib ye ye sumoyu vzdovzh ryadka H Zib ye ciyeyi tablici spilnogo rozpodilu oskilki vona ye jmovirnistyu buti zbitim koli svitlo ye chervonim ABO zhovtim ABO zelenim Analogichno vidosoblena jmovirnist P H Ne zib ye ye sumoyu ryadka H Ne zib ye V comu prikladi jmovirnist togo sho pishohoda bude zbito yaksho vin ne zvertaye uvagi na stan svitlofora stanovit 0 572 Bagatovimirni rozpodiliBagato zrazkiv iz dvovimirnogo normalnogo rozpodilu Vidosobleni rozpodili pokazano chervonim ta sinim Vidosoblenij rozpodil X takozh nablizheno stvorennyam gistogrami koordinat X bez vrahuvannya koordinat Y Formuli dlya bagatovimirnih rozpodiliv ye podibnimi do navedeni vishe z simvolami X ta abo Y sho interpretuyutsya yak vektori Zokrema kozhne pidsumovuvannya abo integruvannya vidbuvatimetsya nad usima zminnimi krim tih sho mistyatsya v X Div takozhSpilnij rozpodil Metrika VasershtejnaPrimitkiTrumpler ta Weaver 1962 s 32 33 LiteraturaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Everitt B S 2002 The Cambridge Dictionary of Statistics Cambridge University Press ISBN 0 521 81099 X angl Trumpler Robert J Weaver Harold F 1962 Statistical Astronomy Dover Publications angl